Глоссарий топологии

Это глоссарий некоторых терминов, используемых в разделе математики, известном как топология . Хотя абсолютного различия между различными областями топологии не существует, основное внимание здесь уделяется общей топологии . Следующие определения также являются фундаментальными для алгебраической топологии , дифференциальной топологии и геометрической топологии .

Все пространства в этом глоссарии считаются топологическими пространствами, если не указано иное.

А

Абсолютно закрыто

См. H-закрытый

Доступный

Видеть $T_{1}$.

Точка накопления

См . предельную точку .

Топология Александрова

Топология пространства X является топологией Александрова (или конечно порождена ), если произвольные пересечения открытых множеств в X открыты, или, что то же самое, если произвольные объединения замкнутых множеств замкнуты, или, снова то же самое, если открытые множества являются верхние множества частичного набора .

Почти дискретный

Пространство почти дискретно, если каждое открытое множество замкнуто (следовательно, открыто-замкнуто). Почти дискретные пространства — это в точности конечно порожденные нульмерные пространства.

α-закрытый, α-открытый

Подмножество A топологического пространства X является α-открытым, если $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\right)$, и дополнение такого множества α-замкнуто.

Подход к пространству

— Пространство подхода это обобщение метрического пространства, основанное на расстояниях от точки к точке, а не от точки к точке.

Б

Пространство Бэра

Это имеет два различных общих значения:

1. Пространство называется пространством Бэра , если пересечение любого счетного набора плотных открытых множеств плотно; см. пространство Бэра .
2. Пространство Бэра — это набор всех функций от натуральных чисел до натуральных чисел с топологией поточечной сходимости; см. пространство Бэра (теория множеств) .

База

Коллекция B открытых множеств является базой (или базисом ) топологии. $\tau$ если каждый открытый набор в $\tau$ представляет собой объединение множеств в $B$. Топология $\tau$ это наименьшая топология на $X$ содержащий $B$ и называется порожденным $B$.

Основа

См . Базу .

β-открытый

См. Полупредварительно открытый .

б-открыто, б-закрыто

Подмножество $A$ топологического пространства $X$ является b-открытым, если $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\cup \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)$. Дополнение к b-открытому множеству является b-замкнутым.

Борелевская алгебра

Алгебра Бореля в топологическом пространстве $(X,\tau )$ самый маленький $\sigma$-алгебра, содержащая все открытые множества. Его получают пересечением всех $\sigma$-алгебры на $X$ содержащий $\tau$.

Набор Бореля

Борелевское множество — это элемент борелевской алгебры.

Граница

Граница граница (или . ) множества — это замыкание множества за вычетом его внутренней части Аналогично, граница множества — это пересечение его замыкания с замыканием его дополнения. Граница набора $A$ обозначается $\partial A$ или $bd$ $A$.

Ограниченный

Множество в метрическом пространстве ограничено , если оно имеет конечный диаметр. Эквивалентно, множество ограничено, если оно содержится в некотором открытом шаре конечного радиуса. Функция , принимающая значения в метрическом пространстве, ограничена , если ее образ является ограниченным множеством.

С

Категория топологических пространств

Категория Top непрерывные имеет топологические пространства в качестве объектов и отображения в качестве морфизмов .

Последовательность Коши

Последовательность } в { x _n метрическом пространстве ( M , d ) является последовательностью Коши , если для каждого положительного действительного числа r существует целое число N такое, что для всех целых чисел m , n > N мы имеем d ( x _m , Икс _п ) < р .

Закрытый набор

Множество называется открыто-открытым, если оно одновременно открыто и закрыто.

Закрытый шар

Если ( M , d ) — метрическое пространство , замкнутый шар — это множество вида D ( x ; r ) := { y in M ​​: d ( x , y ) ≤ r }, где x находится в M и r — положительное действительное число , радиус шара. Замкнутый шар радиуса r является замкнутым r -шаром . Каждый замкнутый шар является замкнутым множеством в топологии, индуцированной на M посредством d . Обратите внимание, что закрытый шар D ( x ; r ) может не совпадать с закрытием открытого шара B ( x ; r ).

Закрытый набор

Множество является замкнутым , если его дополнение является членом топологии.

Закрытая функция

Функция перехода из одного пространства в другое замкнута, если образ каждого замкнутого множества. замкнут

Закрытие

Замыкание . множества — это наименьшее замкнутое множество, содержащее исходное множество Оно равно пересечению всех замкнутых множеств, которые его содержат. замыкания множества S является точка замыкания S . Элементом

Оператор закрытия

См. аксиомы замыкания Куратовского .

Более грубая топология

Если X множество, и если и _— T2 топологии _, на X , то грубее _{) ,} ( — или меньше , слабее чем T2 _T1 если T1 _{содержится} в T2 _T1 . Будьте осторожны: некоторые авторы, особенно аналитики , используют этот термин сильнее .

Comeagre

Подмножество А пространства X называется соединённым ( comager если его дополнение X \ A скудно ) , . Также называется остаточным .

Компактный

Пространство называется компактным , если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Всякий компакт линделефов и паракомпактен. Следовательно, всякий бикомпак нормален . См. также квазикомпакт .

Компактно-открытая топология

Компактно -открытая топология на множестве C ( X , Y ) всех непрерывных отображений между двумя пространствами X и Y определяется следующим образом: для данного компактного подмножества K пространства X и открытого подмножества U пространства Y пусть V ( K , U ) обозначают множество всех отображений f в C ( X , Y ) таких, что ( K ) содержится в U. f Тогда совокупность всех таких V ( K , U ) является подбазой компактно-открытой топологии.

Полный

Метрическое пространство является полным , если каждая последовательность Коши сходится.

Полностью метризуемый/полностью метризуемый

Увидеть полный космос .

Совершенно нормально

Пространство является совершенно нормальным, если любые два разделенных множества имеют непересекающиеся окрестности.

Совершенно нормальный Хаусдорф.

Совершенно нормальное хаусдорфово пространство (или Т ₅ пространство ) — это вполне нормальное пространство Т ₁ . (Вполне нормальное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₁ , поэтому терминология непротиворечива .) Каждое вполне нормальное Хаусдорфово пространство является нормальным Хаусдорфом.

Совершенно регулярно

Пространство является полностью регулярным , если всякий раз, когда C — замкнутое множество, а x — точка, не принадлежащая C , то C и { x } функционально разделены.

Полностью Т ₃

См . Тихонов .

Компонент

См. Подключенный компонент / Компонент, связанный с путем .

Подключено

Пространство связно , если оно не является объединением пары непересекающихся непустых открытых множеств. Эквивалентно, пространство связно, если единственными замкнуто-замкнутыми множествами являются все пространство и пустое множество.

Подключенный компонент

Компонента связности пространства — это максимальное непустое связное подпространство. Каждая компонента связности замкнута, а множество компонент связности пространства является разбиением . его

Непрерывный

Функция из одного пространства в другое непрерывна , если прообраз каждого открытого множества открыт.

Континуум

Пространство называется континуумом, если оно компактное связное хаусдорфово пространство.

сжимаемый

Пространство X сжимаемо, если тождественное отображение на X гомотопно постоянному отображению. Всякое сжимаемое пространство односвязно.

Топология копродукции

Если { X _i } — набор пространств, а X — (теоретико-множественное) несвязное объединение { X _i }, то топология копродукции (или топология несвязного объединения i ) на , топологическая сумма X _X является наилучшей топологией. для которого все отображения вложения непрерывны.

Ядро-компактное пространство

Космическое пространство

Непрерывный сепарабельного образ некоторого метрического пространства .

Состояние счетной цепи

Пространство X удовлетворяет условию счетной цепи, если каждое семейство непустых попарно непересекающихся открытых множеств счетно.

Счетно компактный

Пространство называется счетно компактным, если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Всякое счетно-компактное пространство псевдокомпактно и слабо счетно-компактно.

Счётно локально конечный

Набор подмножеств пространства X счетно локально конечен (или σ-локально конечен ), если он является объединением счетного набора локально конечных наборов подмножеств X .

Крышка

Коллекция подмножеств пространства является покрытием (или покрытием ) этого пространства, если объединение коллекции представляет собой все пространство.

Покрытие

См . Обложка .

Точка разреза

Если X — связное пространство с более чем одной точкой, то точка x из X является точкой разреза, если подпространство X − { x } несвязно.

Д

δ-кластерная точка, δ-замкнутая, δ-открытая

Точка x топологического пространства X является точкой δ-кластера подмножества A , если $A\cap \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}(U)\right)\neq \emptyset$ для каждой открытой окрестности U точки x в X . Подмножество A является δ-замкнутым, если оно равно множеству точек его δ-кластера, и δ-открытым, если его дополнение δ-замкнуто.

Плотный набор

Множество является плотным, если оно имеет непустое пересечение с каждым непустым открытым множеством. Аналогично, множество является плотным, если его замыканием является все пространство.

Плотный сам по себе набор

Множество является плотным в себе, если оно не имеет изолированной точки .

Плотность

минимальная мощность плотного подмножества топологического пространства. Множество плотности ℵ ₀ является сепарабельным пространством .

Производный набор

Если X — пространство, а — подмножество X , производное множество S в X — это множество предельных точек S в X. S

Развивающееся пространство

Топологическое пространство с развитием .

Разработка

Счетный p набор открытых покрытий топологического пространства, такой, что для любого замкнутого множества C и любой точки p в его дополнении существует такое покрытие в наборе, что каждая окрестность в покрытии не пересекается с C .

Диаметр

Если ( M , d ) метрическое пространство и S является подмножеством M , диаметр S является верхней границей расстояний d ( x , y ), где x и y варьируются в пределах S .

Дискретная метрика

множестве X — это функция d : X × X → R такая, что для всех x , y в X d Дискретная метрика на ( x , x ) = 0 и d ( x , y ) = 1, если x ≠ y . Дискретная метрика индуцирует дискретную топологию на X .

Дискретное пространство

Пространство X дискретно , если каждое его подмножество открыто . Мы говорим, что X несет дискретную топологию .

Дискретная топология

См. дискретное пространство .

Топология несвязного объединения

См. топологию Coproduct .

Точка рассеивания

Если X - связное пространство с более чем одной точкой, то точка x из X является точкой дисперсии, если подпространство X - { x } наследственно несвязно (его единственные компоненты связности - это одноточечные множества).

Расстояние

См. метрическое пространство .

Тупая шляпа (топология)

Э

Антураж

См. Единообразное пространство .

Экстерьер

Внешняя часть множества — это внутренняя часть его дополнения.

Ф

F _σ множество

Множество F _σ объединение — это счетное замкнутых множеств.

Фильтр

См. также: Фильтры в топологии . Фильтр в пространстве X — это непустое семейство F подмножеств X такое, что выполняются следующие условия:

1. не Пустое множество находится в F .
2. Пересечение любого конечного числа элементов F снова находится в F .
3. Если A находится в F и если содержит A , то B находится в F. B

Окончательная топология

На множестве X относительно семейства функций в $X$, является тончайшей топологией на X , которая делает эти функции непрерывными .

Тонкая топология (теория потенциала)

В евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, самая грубая топология, делающая все субгармонические функции (что эквивалентно всем супергармоническим функциям) непрерывными.

Более тонкая топология

Если X множество, и если и _, T2 — _T1 на X , то тоньше _, ( или больше , сильнее ) чем T1 _T1 если T2 _{топологии} содержит T2 _— . Будьте осторожны, некоторые авторы, особенно аналитики , используют этот термин более слабым образом .

Конечно сгенерировано

См. топологию Александрова .

Первая категория

См . Мигер .

Первично-счетный

Пространство является первичным счетным, если каждая точка имеет счетную локальную базу.

Фреше

См. Т ₁ .

Граница

См . Граница .

Полный комплект

Компактное если подмножество K комплексной плоскости называется полным, его дополнение связно. Например, замкнутый единичный диск заполнен, а единичный круг — нет.

Функционально разделенный

Два множества A и B в пространстве X функционально разделены, если существует непрерывное отображение f : X → [0, 1] такое, что f ( A ) = 0 и f ( B ) = 1.

Г

G _δ набор

Множество G _δ — или внутреннее предельное множество это счетное пересечение открытых множеств.

G _δ пространство

Пространство, в котором каждое замкнутое множество является множеством G _δ .

Общая точка

Общая точка для замкнутого множества — это точка, для которой замкнутое множество является замыканием одноэлементного множества, содержащего эту точку.

Х

Хаусдорф

Хаусдорфово пространство (или T ₂ пространство ) — это пространство, в котором каждые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Каждое Хаусдорфово пространство есть T ₁ .

H-закрытый

Пространство называется H-замкнутым, хаусдорфовым или абсолютно замкнутым , если оно замкнуто в каждом содержащем его хаусдорфовом пространстве.

Гемикомпактный

Пространство называется полукомпактным, если существует такая последовательность компактных подмножеств, что каждое компактное подмножество содержится в одном из них.

Наследственно П

Пространство наследственно P для некоторого свойства P , если каждое подпространство также является P .

наследственный

Свойство пространств называется наследственным, если всякий раз, когда пространство обладает этим свойством, то же самое имеет и каждое его подпространство. Например, секундная счетность — наследственное свойство.

Гомеоморфизм

Если X и Y — пространства, гомеоморфизм из X в Y — это биективная функция f : X → Y такая, что f и f ⁻¹ являются непрерывными. Пространства X и Y тогда называются гомеоморфными . С точки зрения топологии гомеоморфные пространства тождественны.

Однородный

Пространство X является однородным , если для любых x и y в X существует гомеоморфизм f : X → X такой, что f ( x ) = y . Интуитивно пространство выглядит одинаково в каждой точке. Любая топологическая группа однородна.

Гомотопные карты

Два непрерывных отображения f , g : X → Y гомотопны , 0 ) (в Y ), если существует непрерывное отображение H : X × [0, 1] → Y такое, что H ( x = f ( x ) и H ( x , 1) = g ( x ) для всех x в X . Здесь X × [0, 1] задана топология произведения. Функция H называется гомотопией (в Y ) между f и g .

Гомотопия

См. Гомотопные карты .

Гиперсвязь

Пространство называется гиперсвязным, если никакие два непустых открытых множества не пересекаются. Каждое гиперсвязное пространство связно.

Я

Идентификационная карта

См. карту коэффициентов .

Идентификационное пространство

См. Факторное пространство .

Нескромные пространства

См. Тривиальная топология .

Бесконечномерная топология

См. Гильбертово многообразие и Q-многообразия , т. е. (обобщенные) многообразия, моделируемые на гильбертовом пространстве и на гильбертовом кубе соответственно.

Внутренний ограничительный комплект

Набор G _δ .

Интерьер

Внутренняя часть набора — это самый большой открытый набор, содержащийся в исходном наборе. Оно равно объединению всех содержащихся в нем открытых множеств. Элемент внутренности множества S является внутренней точкой S .

Внутренняя точка

См . Интерьер .

Изолированная точка

Точка x является изолированной точкой, если синглтон { x } открыт. В более общем смысле, если S — подмножество пространства X , и если x — точка S , то x — изолированная точка S , если { x } открыто в топологии подпространства S. на

Изометрический изоморфизм

Если M ₁ и M ₂ — метрические пространства, изометрический изоморфизм из M ₁ в M ₂ является биективной изометрией f : M ₁ → M ₂ . Метрические пространства тогда называются изометрически изоморфными . С точки зрения теории метрических пространств изометрически изоморфные пространства тождественны.

Изометрия

Если ( M ₁ , d ₁ ) и ( M ₂ , d ₂ ) являются метрическими пространствами, изометрией от M ₁ до M ₂ является функция f : M ₁ → M ₂ такая, что d ₂ ( f ( x ), f ( y )) знак равно d ₁ ( x , y ) для всех x , y в M ₁ . Всякая изометрия инъективна , хотя не всякая изометрия сюръективна .

К

аксиома Колмогорова

См. Т ₀ .

Аксиомы замыкания Куратовского

Аксиомы замыкания Куратовского — это набор аксиом, которым удовлетворяет функция, которая переводит каждое подмножество X в замыкание:

1. Изотонность : каждое множество содержится в своем замыкании.
2. Идемпотентность : Замыкание замыкания множества равно замыканию этого множества.
3. Сохранение бинарных союзов : Замыкание объединения двух множеств является объединением их замыканий.
4. Сохранение нулевых союзов : Замыкание пустого множества пусто.

Если c — функция из степенного множества в X себя, то c — оператор замыкания, если он удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского. Аксиомы замыкания Куратовского затем можно использовать для определения топологии на X , объявляя замкнутые множества неподвижными точками этого оператора, т. е. множество A замкнуто тогда и только тогда, когда c ( A ) = A .

Топология Колмогорова

T _Kol = {R, $\varnothing$}∪{(a,∞): a — действительное число}; пара (R,T _Kol ) называется прямой Колмогорова .

Л

L-пространство

L -пространство — это наследственно пространство Линделефа , которое не является наследственно сепарабельным . Линия Суслина будет L-пространством.

Большая топология

См. Более тонкая топология .

Предельная точка

Точка x в пространстве X является предельной точкой подмножества S , если каждое открытое множество, содержащее x, также содержит точку S, отличную от самой x . Это эквивалентно требованию, чтобы каждая окрестность точки x содержала точку S, отличную от самой точки x .

Конечная точка компактная

См. Слабо счетно компактный .

Линделёф

Пространство является линделёфовым , если каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие.

Местная база

Множество B окрестностей точки x пространства X является локальной базой (или локальным базисом , базой окрестностей , базисом окрестностей ) в точке x если каждая окрестность точки x содержит некоторый член B. ,

Локальная основа

См. Локальная база .

Локально (P) пространство

Существует два определения пространства как «локального (P)», где (P) — топологическое или теоретико-множественное свойство: каждая точка имеет окрестность со свойством (P) или что каждая точка имеет базу окрестностей, для которой у каждого члена есть собственность (P). Первое определение обычно принимают за локально компактные, счетно компактные, метризуемые, сепарабельные, счетные; второй для локального подключения.

Локально закрытое подмножество

Подмножество топологического пространства, являющееся пересечением открытого и закрытого подмножества. Эквивалентно, это относительно открытое подмножество своего замыкания.

Локально компактный

Пространство является локально компактным, если каждая точка имеет компактную окрестность: иногда используется альтернативное определение, согласно которому каждая точка имеет локальную базу, состоящую из компактных окрестностей: они эквивалентны для хаусдорфовых пространств. Каждое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновским.

Локальное подключение

Пространство называется локально связным , если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из связных окрестностей.

Локально плотный

см . Предварительное открытие .

Локально конечный

Набор подмножеств пространства локально конечен, если каждая точка имеет окрестность, имеющую непустое пересечение лишь с конечным числом подмножеств. См. также счетно локально конечный , точечно конечный .

Локально метризуемый / Локально метризуемый

Пространство называется локально метризуемым, если каждая точка имеет метризуемую окрестность.

Локальное подключение по пути

Пространство называется локально линейно связным, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из линейно связных окрестностей. Пространство, локально связное по путям, связно тогда и только тогда, когда оно связно по путям.

Локально просто подключен

Пространство называется локально односвязным, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из односвязных окрестностей.

Петля

Если x — точка в пространстве X , петля в x в X (или петля в X с базовой точкой x ) — это путь f в X , такой что f (0) = f (1) = x . Эквивалентно, петля в X — это непрерывное отображение единичной окружности S. ¹ в Х. ​

М

Мигер

Если X — пространство и A — подмножество X , то A скудно в X (или относится к первой категории в X ), если оно является счетным объединением нигде не плотных множеств. Если A не является скудным в X , A принадлежит второй категории в X. то

Метакомпакт

Пространство называется метакомпактным, если каждое открытое покрытие имеет точечное конечное открытое уточнение.

Метрика

См. Метрическое пространство .

Метрический инвариант

Метрический инвариант — это свойство, сохраняющееся при изометрическом изоморфизме.

Метрическая карта

Если X и Y — метрические пространства с метриками X _и d Y _{соответственно} , то метрическое отображение — это функция f из X в Y , такая, что для любых точек x и y в X d Y _d ( f ( x ), f ( y )) ≤ d _Икс ( Икс , y ). Метрическое отображение является строго метрическим , если приведенное выше неравенство строго для всех x и y в X .

Метрическое пространство

Метрическое пространство ( M , d ) — это множество M, снабженное функцией d : M × M → R, удовлетворяющей следующим аксиомам для всех x , y и z в M :

1. d ( Икс , y ) ≥ 0
2. d ( Икс , Икс ) знак равно 0
3. если d ( x , y ) = 0, то x = y ( тождество неразличимых )
4. d ( Икс , y ) знак равно d ( y , Икс ) ( симметрия )
5. d ( Икс , z ) ≤ d ( Икс , y ) + d ( y , z ) ( неравенство треугольника )

Функция d является метрикой на M , а d ( x , y ) — расстояние между x и y . Совокупность всех открытых шаров M является основой топологии M ; это топология на M, индуцированная d . Каждое метрическое пространство хаусдорфово и паракомпактно (а значит, нормально и тихоново). Каждое метрическое пространство первично счетно.

Метризуемый / Метризируемый

Пространство называется метризуемым, если оно гомеоморфно метрическому пространству. Всякое метризуемое пространство является хаусдорфовым и паракомпактным (а значит, нормальным и тихоновским). Всякое метризуемое пространство первосчетно.

Монолит

Каждый непустой ультрасвязный компакт X имеет наибольшее собственное открытое подмножество; это подмножество называется монолитом .

Пространство Мура

Пространство Мура — это развертывающееся регулярное пространство Хаусдорфа .

Н

Почти открыто

см . предварительное открытие .

Район / Район

Окрестность точки x — это множество, содержащее открытое множество, которое, в свою очередь, содержит точку x . В более общем смысле, окрестность множества S содержит множество S. — это множество, содержащее открытое множество, которое, в свою очередь , Таким образом, окрестность точки x является окрестностью одноэлементного множества { x }. (Обратите внимание, что согласно этому определению район сам по себе не обязательно должен быть открытым. Многие авторы требуют, чтобы районы были открытыми; будьте осторожны, соблюдая соглашения.)

соседства База / базис

См. Локальная база .

Система соседства для точки x

Система окрестностей в точке x в пространстве — это совокупность всех окрестностей точки x .

Сеть

Сеть A в пространстве X это отображение направленного множества в X. — Сеть от A до X обычно обозначается ( x _α ), где α — индексная переменная, простирающаяся в пределах A . Любая последовательность представляет собой сеть, в которой A представляет собой направленный набор натуральных чисел с обычным порядком.

Нормальный

Пространство является нормальным , если любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. Каждое нормальное пространство допускает разбиение единицы .

Обычно Хаусдорф

Нормальное хаусдорфово пространство (или T ₄ пространство ) — это нормальное пространство T ₁ . (Нормальное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₁ , поэтому терминология непротиворечива.) Каждое нормальное хаусдорфово пространство является тихоновским.

Нигде не густо

— Нигде не плотное множество это множество, замыкание которого имеет пустую внутреннюю часть.

О

Открыть крышку

– Открытая крышка это оболочка, состоящая из открытых множеств.

Открытый мяч

Если ( M , d ) — метрическое пространство, открытый шар — это множество вида B ( x ; r ) := { y in M ​​: d ( x , y ) < r }, где x находится в M и r — положительное действительное число , радиус шара. Открытый шар радиуса r является открытым r -шаром . Каждый открытый шар является открытым множеством в топологии на M, индуцированной d .

Открытое состояние

См. открытую собственность .

Открытый набор

является Открытое множество членом топологии.

Открытая функция

Функция перехода из одного пространства в другое открыта , если образ каждого открытого множества. открыт

Открыть собственность

Свойство точек топологического пространства называется «открытым», если те точки, которые им обладают, образуют открытое множество . Такие условия часто принимают общую форму, и эту форму можно назвать открытым состоянием ; например, в метрических пространствах один определяет открытый шар, как указано выше, и говорит, что «строгое неравенство является открытым условием».

Ортокомпакт

Пространство называется ортокомпактным, если каждое открытое покрытие имеет сохраняющее внутреннюю часть открытое уточнение .

П

Паракомпакт

Пространство называется паракомпактным , если каждое открытое покрытие имеет локально конечное открытое уточнение. Паракомпакт подразумевает метакомпакт. Паракомпакты Хаусдорфа являются нормальными.

Раздел единства

Разбиение единицы пространства X — это набор непрерывных функций от X до [0, 1] такой, что любая точка имеет окрестность, в которой все функции, кроме конечного числа, равны тождественному нулю, а сумма всех функций на все пространство тождественно 1.

Путь

Путь X в пространстве X — это непрерывное отображение f единичного интервала 0, 1] в [ . Точка f (0) является начальной точкой f ; точка f (1) является конечной точкой f .

Подключен по пути

Пространство X является линейно связным , если для каждых двух точек x , y в X существует путь f от x до y , т. е. путь с начальной точкой f (0) = x и конечной точкой f (1) = й . Каждое пространство, связанное путями, связно.

Компонент, связанный с путем

Линейно-связная компонента пространства — это максимальное непустое линейно-связное подпространство. Множество компонентов пространства, связанных путями, представляет собой разбиение этого пространства, которое тоньше , чем разбиение на компоненты связности. Множество компонент линейной связности пространства X обозначается π ₀ ( X ) .

Совершенно нормально

нормальное пространство, которое также является G _δ .

π-база

Коллекция B непустых открытых множеств называется π-базой топологии τ, если каждое непустое открытое множество из τ включает в себя множество из B .

Точка

Точка – это элемент топологического пространства. В более общем смысле точка — это элемент любого множества с базовой топологической структурой; например, элемент метрического пространства или топологической группы также является «точкой».

Точка закрытия

См . Закрытие .

Польский

Пространство называется польским, если оно сепарабельно и вполне метризуемо, т. е. если оно гомеоморфно сепарабельному и полному метрическому пространству.

Полиадический

Пространство называется полиадическим, если оно является непрерывным образом степени одноточечной компактификации локально компактного некомпактного хаусдорфова пространства.

P-точка

Точка топологического пространства называется P-точкой, если ее фильтр окрестностей замкнут относительно счетных пересечений.

Предварительно компактный

См. Относительно компактный .

Предварительно открытый набор

Подмножество A топологического пространства X предоткрыто, если $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)$.

Продискретная топология

Продискретная топология произведения A ^Г — это топология произведения, когда каждому фактору A присвоена дискретная топология.

Топология продукта

Если $\left(X_{i}\right)$ — это набор пространств, а X — (теоретико-множественное) декартово произведение $\left(X_{i}\right),$ тогда топология произведения на X является самой грубой топологией, для которой все отображения проекций непрерывны.

Правильная функция/отображение

Непрерывная функция f из пространства X в пространство Y является собственной, если $f^{-1}(C)$ является компактом в X для любого компактного подпространства C в Y .

Близость пространства

Пространство близости ( X , d ) — это множество X, снабженное бинарным отношением d между подмножествами X, удовлетворяющее следующим свойствам:

Для всех подмножеств A , B и C из X ,

1. A d B подразумевает B d A
2. A d B подразумевает, что A непусто
3. Если A и B имеют непустое пересечение, то A d B
4. А д ( Б  $\cup$ C ) тогда и только тогда, когда ( A d B или A d C )
5. Если для всех подмножеств E из X мы имеем ( A d E или B d E ), то мы должны иметь A d ( X − B )

Псевдокомпактный

Пространство называется псевдокомпактным, если каждая вещественнозначная непрерывная функция в нем ограничена.

Псевдометрический

См. Псевдометрическое пространство .

Псевдометрическое пространство

Псевдометрическое пространство ( M , d ) — это множество M, снабженное вещественной функцией $d:M\times M\to \mathbb {R}$ удовлетворяющее всем условиям метрического пространства, за исключением, возможно, тождественности неразличимых. То есть точки в псевдометрическом пространстве могут быть «бесконечно близкими», но не идентичными. Функция d является псевдометрикой на M. ​Любая метрика является псевдометрикой.

Проколотый район / Проколотый район

Проколотая окрестность точки x — это окрестность точки минус x { x } . Например, интервал (−1, 1) = { y : −1 < y < 1} является окрестностью точки x = 0 на вещественной прямой , поэтому множество $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}$ является проколотой окрестностью 0.

Вопрос

Квазикомпактный

См . компактный . Некоторые авторы определяют термин «компактный», включающий аксиому разделения Хаусдорфа , и они используют термин «квазикомпактный» для обозначения того, что мы называем в этом глоссарии просто «компактным» (без аксиомы Хаусдорфа). Это соглашение чаще всего встречается во французском языке, а также во многих разделах математики, находящихся под сильным французским влиянием.

Коэффициентная карта

Если X и Y — пространства, и если f — сюръекция из X в Y , то f — факторкарта (или идентификационная карта ), если для каждого подмножества U из Y U когда открыто в Y тогда и только тогда, f  ^{- 1} ( U ) открыто в X . Другими словами, Y имеет f -сильную топологию. Эквивалентно, $f$ является фактор-отображением тогда и только тогда, когда оно является трансфинитной композицией отображений $X\rightarrow X/Z$, где $Z\subset X$ является подмножеством. Обратите внимание: это не означает, что f — открытая функция.

Факторное пространство

Если X — пространство, Y — множество и f : X → Y — любая сюръективная функция, то фактор-топология на Y, индуцированная f, является тончайшей топологией, для которой f непрерывна. Пространство X является фактор-пространством или идентификационным пространством . По определению, f является фактор-отображением. Наиболее распространенным примером этого является рассмотрение отношения эквивалентности на X , где Y — набор классов эквивалентности , а f — естественное отображение проекции. Эта конструкция двойственна конструкции топологии подпространства.

Р

Уточнение

Покрытие K является уточнением покрытия L, если каждый элемент K является подмножеством некоторого элемента L .

Обычный

Пространство является регулярным , если всякий раз, когда C — замкнутое множество и x — точка, не принадлежащая C , тогда C и x имеют непересекающиеся окрестности.

Обычный Хаусдорф

Пространство является регулярным по Хаусдорфу (или T ₃ ), если оно является регулярным T ₀ пространством. (Регулярное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₀ , поэтому терминология согласована.)

Регулярное открытие

Подмножество пространства X является регулярно открытым, если оно равно внутренней части его замыкания; Двойственным образом регулярное замкнутое множество равно замыканию его внутренности. Примером нерегулярного открытого множества является множество U = (0,1) ∪ (1,2) в R с его нормальной топологией, поскольку 1 находится внутри замыкания U , но не в U . Регулярные открытые подмножества пространства образуют полную булеву алгебру .

Относительно компактный

Подмножество Y пространства X относительно компактно в X , если замыкание Y в X компактно.

Остаточный

Если X — пространство, а A — подмножество X , то A является остаточным в X, дополнение A скудно в X. если Также называется Comeagre или Comeager .

разрешимый

Топологическое пространство называется разрешимым, если оно выражается как объединение двух непересекающихся плотных подмножеств .

Обод-компактный

Пространство называется компактным по краю, если оно имеет базу открытых множеств, границы которых компактны.

С

S-пространство

S -пространство — это наследственно сепарабельное пространство , которое не является наследственно линделёфовым .

Разбросанный

Пространство X называется рассеянным , если каждое непустое подмножество A X в содержит точку, изолированную A .

Скотт

Топология Скотта на ЧУМ — это топология, в которой открытыми множествами являются те верхние множества, которые недоступны посредством направленных соединений.

Вторая категория

См . Мигер .

секундно-счетный

Пространство является счетно-секундным или совершенно сепарабельным, если оно имеет счетную базу своей топологии. Каждое второе счетное пространство является первым счетным, сепарабельным и линделефовым.

Полулокально односвязный

Пространство X , полулокально односвязно если для каждой точки x в X существует окрестность U точки x такая, что каждая петля в точке x в U гомотопна в X постоянной петле x . Всякое односвязное пространство и всякое локально односвязное пространство полулокально односвязно. (Сравните с локально односвязным; здесь гомотопии разрешено жить в X , тогда как в определении локально односвязного гомотопия должна жить в U. )

Полуоткрытый

Подмножество A топологического пространства X называется полуоткрытым, если $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)$.

Полупредоткрытый

Подмножество A топологического пространства X называется полупредоткрытым, если $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\right)$

Полурегулярный

Пространство называется полурегулярным, если регулярные открытые множества образуют базу.

Сепарабельный

Пространство называется сепарабельным, если оно имеет счетное плотное подмножество.

Отдельный

Два множества A и B разделяются , если каждое из них не пересекается с замыканием другого.

Последовательно компактный

Пространство называется секвенциально компактным, если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. Всякое секвенциально-компактное пространство счетно компактно, а каждое счетно-компактное пространство секвенциально компактно.

Краткая карта

Посмотреть метрическую карту

Просто подключено

Пространство называется односвязным, если оно линейно связно и каждая петля гомотопна постоянному отображению.

Меньшая топология

См. более грубую топологию .

Трезвый

В трезвом пространстве каждое неприводимое замкнутое подмножество является замыканием ровно одной точки, то есть имеет единственную точку общего положения .

Звезда

Звезда точки в данном покрытии топологического пространства — это объединение всех множеств покрытия, содержащих эту точку. См. звездную доработку .

$f$-Сильная топология

Позволять $f\colon X\rightarrow Y$ быть картой топологических пространств. Мы говорим, что $Y$ имеет $f$-строгая топология, если для каждого подмножества $U\subset Y$, у одного это есть $U$ открыт в $Y$ тогда и только тогда, когда $f^{-1}(U)$ открыт в $X$

Более сильная топология

См. Более тонкая топология . Будьте осторожны: некоторые авторы, особенно аналитики , используют термин «более слабая топология» .

Подбаза

Совокупность открытых множеств называется подбазой (или подбазисом ) топологии, если каждое непустое собственное открытое множество в топологии является объединением конечного пересечения множеств в подбазе. Если ${\mathcal {B}}$ — это любая коллекция подмножеств множества X , топология X, порожденная ${\mathcal {B}}$ это наименьшая топология, содержащая ${\mathcal {B}};$ эта топология состоит из пустого множества X и всех объединений конечных пересечений элементов ${\mathcal {B}}.$ Таким образом ${\mathcal {B}}$ является подбазой для создаваемой им топологии.

Суббазис

См . Подбаза .

Под прикрытием

Покрытие K называется подпокрытием (или подпокрытием ) покрытия L если каждый элемент K является элементом L. ,

Подпокрытие

См . Подобложку .

Субмаксимальное пространство

Топологическое пространство называется субмаксимальным, если каждое его подмножество локально замкнуто, то есть каждое подмножество является пересечением открытого и закрытого множества .

Вот некоторые факты о субмаксимальности как свойстве топологических пространств:

• Каждое дверное пространство субмаксимально.
• Каждое субмаксимальное пространство слабо субмаксимально , т. е. каждое конечное множество локально замкнуто.
• Каждое субмаксимальное пространство неразрешимо .

Подпространство

Если T — топология в пространстве X , и если A — подмножество X , то топология подпространства в A, T , состоит из всех пересечений открытых множеств в T с A. индуцированная Эта конструкция двойственна конструкции фактортопологии.

Т

Т ₀

Пространство называется T ₀ (или по Колмогорову ), если для каждой пары различных точек x и y в пространстве либо существует открытое множество, содержащее x , но не y , либо существует открытое множество, содержащее y, но не y .

Т ₁

Пространство называется T ₁ (или Фреше или доступным ), если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует открытое множество, содержащее x , но не y . (Сравните с T ₀ ; здесь нам разрешено указать, какая точка будет содержаться в открытом множестве.) Эквивалентно, пространство является T ₁ , если все его одиночные элементы закрыты. Каждое _{T 1} пространство _{является T 0} .

Т ₂

См. пространство Хаусдорфа .

T_Т3

См. Обычный Хаусдорф .

T _3½

См . Тихоновское пространство .

Т ₄

Озеро Нормаль-Хаусдорф .

T_Т5

См . «Совершенно нормальный Хаусдорф» .

Вершина

См. Категория топологических пространств .

θ-кластерная точка, θ-замкнутая, θ-открытая

Точка x топологического пространства X является точкой θ-кластера подмножества A , если $A\cap \operatorname {Cl} _{X}(U)\neq \emptyset$ для каждой открытой окрестности U точки x в X . Подмножество A является θ-замкнутым, если оно равно множеству точек его θ-кластера, и θ-открытым, если его дополнение θ-замкнуто.

Топологический инвариант

Топологический инвариант — это свойство, сохраняющееся при гомеоморфизме. Например, компактность и связность являются топологическими свойствами, а ограниченность и полнота — нет. Алгебраическая топология — это изучение топологически инвариантных абстрактных алгебраических конструкций на топологических пространствах.

Топологическое пространство

Топологическое пространство ( X , T ) — это множество X, снабженное набором T подмножеств X, удовлетворяющих следующим аксиомам :

1. Пустое множество и X находятся в T .
2. Объединение любого набора множеств из T также находится в T .
3. Пересечение любой пары множеств из T также находится в T .

Коллекция T является топологией на X .

Топологическая сумма

См. топологию Coproduct .

Топологически полный

Вполне метризуемые пространства (т. е. топологические пространства, гомеоморфные полным метрическим пространствам) часто называют топологически полными ; иногда этот термин также используется для обозначения полных по Чеху пространств или полностью униформизируемых пространств .

Топология

См. Топологическое пространство .

Полностью ограниченный

Метрическое пространство M вполне ограничено, если для любого r > 0 существует конечное покрытие M открытыми шарами радиуса r . Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.

Полностью отключен

Пространство полностью несвязно, если оно не имеет связного подмножества с более чем одной точкой.

Тривиальная топология

Тривиальная топология (или недискретная топология на множестве X состоит именно из пустого множества и всего пространства X. )

Тихонов

Тихоновское пространство (или вполне регулярное хаусдорфово пространство, вполне пространство T ₃ , пространство T _3,5 ) — это вполне регулярное _{T 0} пространство . (Вполне регулярное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₀ , поэтому терминология непротиворечива.) Каждое тихоновское пространство является регулярным Хаусдорфом.

У

Ультра-подключенный

Пространство называется ультрасвязным, если никакие два непустых замкнутых множества не пересекаются. Каждое сверхсвязное пространство связно по путям.

Ультраметрический

Метрика является ультраметрикой, если она удовлетворяет следующей более сильной версии неравенства треугольника : для всех x , y , z в M , d ( x , z ) ≤ max( d ( x , y ), d ( y , z )) .

Равномерный изоморфизм

Если X и Y — равномерные пространства , равномерный изоморфизм из X в Y — это биективная функция f : X → Y такая, что f и f ⁻¹ непрерывны равномерно . Пространства тогда называются равномерно изоморфными и обладают одинаковыми равномерными свойствами .

Униформизируемый /Униформизируемый

Пространство называется униформизируемым, если оно гомеоморфно равномерному пространству.

Единое пространство

Равномерное пространство — это множество X, снабженное непустой совокупностью Φ подмножеств декартова произведения X × X, удовлетворяющей следующим аксиомам :

1. если U находится в Φ, то U содержит { ( x , x ) | х в Х }.
2. если U находится в Φ, то { ( y , x ) | ( x , y ) в U } также находится в Φ
3. если U находится в Φ, а V — подмножество X × X , содержащее U , то V находится в Φ
4. если U и V находятся в Φ, то U ∩ V находится в Φ
5. если U находится в Φ, то существует V в Φ такой, что всякий раз, когда ( x , y ) и ( y , z ) находятся в V , тогда ( x , z находится в U. )

Элементы Φ называются окружениями Φ называется однородной структурой на X. , а сама Равномерная структура индуцирует топологию на X, где основные окрестности точки x являются множествами вида { y : ( x , y )ε U } для U ∈Φ.

Единая структура

См. Единообразное пространство .

В

Слабая топология

Слабая топология множества по отношению к набору функций из этого множества в топологических пространствах — это самая грубая топология на множестве, которая делает все функции непрерывными.

Более слабая топология

См. более грубую топологию . Будьте осторожны: некоторые авторы, особенно аналитики , используют термин «сильная топология» .

Слабо счетно компактный

Пространство называется слабо счётно компактным (или компактным в предельной точке ), если каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку.

Слабо наследственный

Свойство пространств называется слабо наследственным, если всякий раз, когда пространство обладает этим свойством, то же самое имеет и каждое его замкнутое подпространство. Например, компактность и свойство Линделефа являются слабо наследственными свойствами, хотя ни одно из них не является наследственным.

Масса

Вес пространства X — это наименьшее кардинальное число κ такое, что X имеет базу кардинала κ. (Обратите внимание, что такое кардинальное число существует, потому что вся топология образует базу и потому что класс кардинальных чисел хорошо упорядочен .)

Хорошие связи

См. раздел «Ультра-подключение» . (Некоторые авторы используют этот термин строго для ультрасвязных компактов.)

З

Нульмерный

Пространство нульмерно, если оно имеет базу из открытозамкнутых множеств.

См. также

• Наивная теория множеств , Аксиоматическая теория множеств и Функция для определений множеств и функций.
• Топология для краткой истории и описания предметной области.
• Топологические пространства для основных определений и примеров
• Список общих тем по топологии
• Список примеров общей топологии

Конкретные концепции топологии

• Компактное пространство
• Подключенное пространство
• Непрерывность
• Метрическое пространство
• Отдельные наборы
• Аксиома разделения
• Топологическое пространство
• Единое пространство

Другие глоссарии

• Глоссарий алгебраической топологии
• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
• Глоссарий областей математики
• Глоссарий римановой и метрической геометрии

Ссылки

• Харт, Класс Питер; Нагата, Джун-ин; Воан, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии Эльзевир. ISBN  978-0-444-50355-8 .
• Кунен, Кеннет ; Воган, Джерри Э., ред. (1984). Справочник по теоретико-множественной топологии . Северная Голландия. ISBN  0-444-86580-2 .
• Нагата, Джун-ити (1985). Современная общая топология . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 33 (2-е исправленное изд.). Амстердам-Нью-Йорк-Оксфорд: Северная Голландия. ISBN  0080933793 . Збл   0598.54001 .
• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1978). Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-486-68735-3 . МР   0507446 .
• Викерс, Стивен (1989). Топология через логику . Кембриджские трактаты по теоретической информатике. Том. 5. ISBN  0-521-36062-5 . Збл   0668.54001 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Серия Аддисона-Уэсли по математике. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-08707-9 . Збл   0205.26601 . Также доступно в виде переиздания Dover.

Внешние ссылки

• Глоссарий определений топологии