Подход к пространству

В топологии , разделе математики , пространства подхода представляют собой обобщение метрических пространств , основанное на расстояниях между точками , а не на расстояниях между точками. Они были представлены Робертом Лоуэном в 1989 году в серии статей по теории подхода между 1988 и 1995 годами.

Определение

Учитывая метрическое пространство ( X , d ) или, в более общем смысле, расширенную псевдоквазиметрику ] (которая здесь будет сокращенно называться ∞pq-метрикой ), можно определить индуцированное отображение d : X × P( X ) → [0,∞ d ( ( Икс , А ) знак равно инф { d Икс } , а ) : а ∈ А . Учитывая этот пример, расстояние на X определяется как отображение X × P( X ) → [0,∞], удовлетворяющее для всех x в X и A , B ⊆ X ,

1. d ( x , { x }) = 0,
2. d ( x , Ø) = ∞,
3. d ( Икс , А ∪ B ) знак равно min( d ( Икс , А ), d ( Икс , B )),
4. Для всех 0 ≤ ε ≤ ∞ d ( x , A ) ≤ d ( x , A ^(е) ) + е,

где мы определяем A ^(е) знак равно { Икс : d ( Икс , А ) ≤ ε}.

(Соглашение « пустая нижняя грань — это положительная бесконечность» похоже на то, что нулевое пересечение — это соглашение всего .)

Пространство подхода определяется как пара ( X , d где d — функция расстояния на X. ) , Каждое пространство подхода имеет топологию , заданную рассмотрением A → A ⁽⁰⁾ как оператор замыкания Куратовского .

Соответствующими картами между пространствами подхода являются сокращения . Отображение f : ( X , d ) → ( Y , e ) является сжатием, если e ( f ( x ), f [ A ]) ⩽ d ( x , A ) для всех x ∈ X и A ⊆ X .

Примеры

Каждое ∞pq-метрическое пространство ( X , d ) можно дистанцировать до ( X , d ), как описано в начале определения.

Учитывая набор X , дискретное расстояние определяется как d ( x , A ) = 0, если ∈ A , и d ( x , A ) = ∞, если x ∉ A. x Индуцированная топология является дискретной топологией .

Учитывая набор X , недискретное расстояние определяется как d ( x , A ) = 0, если A непусто, и d ( x , A ) = ∞, если A пусто. Индуцированная топология является недискретной топологией.

Для топологического пространства X топологическое ) = 0 , расстояние определяется как d ( x , A если x ∈ A , и d ( x , A ) = ∞ в противном случае. Индуцированная топология является исходной топологией. Фактически, единственные двузначные расстояния — это топологические расстояния.

Пусть P = [0, ∞] — расширенные неотрицательные числа . Пусть д ⁺ ( Икс , А ) знак равно max( Икс - суп   А , 0) для Икс ∈ P и А ⊆ P . Для любого пространства подхода ( X , d ) отображения (для каждого A ⊆ X ) d (., A ): ( X , d ) → ( P , d ⁺ ) являются сокращениями.

На P пусть e ( x , A ) = inf{| Икс - а | : a ∈ A } для x < ∞, пусть e (∞, A ) = 0, если A неограничено, и пусть e (∞, A ) = ∞, если A ограничено. Тогда ( P , e ) — пространство подхода. Топологически P является одноточечной компактификацией [0, ∞). Обратите внимание, что e расширяет обычное евклидово расстояние. Этого нельзя сделать с помощью обычной евклидовой метрики.

Пусть β N — компактификация Стоуна–Чеха целых чисел . Точка U ∈ β N является ультрафильтром на N . Подмножество A ⊆ β N индуцирует фильтр F ( A ) = ∩ { U : U ∈ A }. Пусть b ( U , A ) = sup { inf { | п - j | : n € X , j € E }: X € U , E € F ( A )}. Тогда (β N , b ) — пространство сближения, расширяющее обычное евклидово расстояние на N . Напротив, β N не метризуемо.

Эквивалентные определения

Лоуэн предложил по крайней мере семь эквивалентных формулировок. Два из них ниже.

Обозначим через XPQ( X ) множество xpq-метрик на X . Подсемейство G группы XPQ( X ) называется калибровочным , если

1. 0 ∈ G , где 0 — нулевая метрика, то есть 0( x , y ) = 0 для всех x , y ,
2. e ⩽ d ∈ G влечет за собой e ∈ G ,
3. d , e ∈ G подразумевает max( d , e ) ∈ G («макс» здесь — это поточечный максимум ),
4. Для всех d ∈ XPQ( X ), если для всех x ∈ X , ε > 0, N < ∞ существует e ∈ G такой, что min( d ( x , y ), N ) ⩽ e ( x , y ) + ε для всех y , d ∈ G. то

Если G — калибровка на X , то d ( x , A sup { e ( x , a )}: e ∈ G } — функция расстояния на X. ) = наоборот, для заданной дистанционной функции d на X множество e ∈ XPQ( X ) таких, что e ⩽ d, является калибровкой на X. И Эти две операции обратны друг другу.

Сжатие f : ( X , d ) → ( Y , e ) в терминах ассоциированных калибров G и H соответственно представляет собой отображение такое, что для всех d ∈ H , d ( f (.), f (.)) ∈ Г .

Башня A на X это набор карт A → — ^[э] для A ⊆ X , ε ≥ 0, удовлетворяющее для всех A , B ⊆ X и δ, ε ≥ 0

1. А ⊆ А ^[э] ,
2. Ø ^[э] = Ø,
3. ( А ∪ Б ) ^[э] = А ^[э] ∪ Б ^[э] ,
4. А ^{[э] [д]} ⊆ А ^[э+д] ,
5. А ^[э] = ∩ _δ>ε   А ^[д] .

Учитывая расстояние d , связанное A → A ^(е) это башня. И наоборот, для данной башни отображение d ( x , A ) = inf{ε : x ∈ A ^[э] } — расстояние, и эти две операции обратны друг другу.

Сжатие f :( X , d )→( Y , e ) — это, в терминах ассоциированных башен, такое отображение, что для всех ε ≥ 0 f [ A ^[э] ] ⊆ ж [ А ] ^[э] .

Категориальные свойства

Основной интерес к пространствам подходов и их сокращениям заключается в том, что они образуют категорию с хорошими свойствами, но при этом остаются количественными, как метрические пространства. Можно взять произвольные произведения , копроизведения и факторы, и результаты соответствующим образом обобщают соответствующие результаты для топологий. Можно даже «дистанцировать» такие плохо неметризуемые пространства, как β N , компактификацию Стоуна-Чеха целых чисел.

Некоторые гиперпространства, пространства с мерой и вероятностные метрические пространства естественным образом наделены расстоянием. Приложения были также сделаны к теории приближения .

Ссылки

• Лоуэн, Роберт (1997). Пространства подхода: недостающее звено в триаде топология-равномерность-метрика . Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Кларендон Пресс . ISBN  0-19-850030-0 . Збл   0891.54001 .
• Лоуэн, Роберт (2015). Индексный анализ: теория подхода в действии . Спрингер.

Внешние ссылки

• Роберт Лоуэн