Вероятностное метрическое пространство

В математике вероятностные метрические пространства представляют собой обобщение метрических пространств , где расстояние больше не принимает значения в неотрицательных действительных числах R _{≥   0} , а в функциях распределения.

Пусть D+ — множество всех функций распределения вероятностей F таких, что F (0) = 0 ( F — неубывающее непрерывное слева отображение R в [0, 1] такое, что max ( F ) = 1).

Тогда для непустого множества S и функции F : S × S → D+, где мы обозначаем F ( p , q ) через F _{p , q} для каждого ( p , q ) ∈ S × S , упорядоченная пара ( S , q ) F ) называется вероятностным метрическим пространством, если:

• Для всех u и v в S F u = v тогда и только тогда, когда u _{, v (} x ) = 1 для всех x > 0.
• Для всех u и v в S , F _{u , v} знак равно F _{v , ты} .
• Для всех u , v и w в S , F _{u , v} ( x ) = 1 и F _{v , w} ( y ) знак равно 1 ⇒ F _{u , w} ( x + y ) = 1 для x , y > 0 .

История

Вероятностные метрические пространства первоначально были введены Менгером и названы статистическими метриками . Вскоре после этого Уолд раскритиковал обобщенное неравенство треугольника и предложил альтернативное. Однако оба автора пришли к выводу, что в некоторых отношениях неравенство Вальда было слишком строгим требованием, чтобы налагать его на все вероятностные метрические пространства, что частично включено в работы Швейцера и Склара. Позже выяснилось, что вероятностные метрические пространства очень подходят для использования с нечеткими множествами. и далее называемые нечеткими метрическими пространствами

Вероятностная метрика случайных величин

Вероятностная метрика D между двумя случайными величинами X и Y может быть определена, например, как $$D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|F(x,y)\,dx\,dy$$где F ( x , y ) обозначает совместную функцию плотности вероятности случайных величин X и Y . Если X и Y независимы друг от друга, то приведенное выше уравнение преобразуется в $$D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|f(x)g(y)\,dx\,dy$$где f ( x ) и g ( y ) — функции плотности вероятности X и Y соответственно.

Можно легко показать, что такие вероятностные метрики не удовлетворяют первой метрической аксиоме или удовлетворяют ей тогда и только тогда, когда оба аргумента X и Y являются определенными событиями, описываемыми Дирака дельта- плотности функциями распределения вероятностей . В этом случае: $$D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|\delta (x-\mu _{x})\delta (y-\mu _{y})\,dx\,dy=|\mu _{x}-\mu _{y}|$$метрика вероятности просто преобразуется в метрику между ожидаемыми значениями $\mu _{x}$, $\mu _{y}$ переменных X и Y .

Для всех остальных случайных величин X , Y метрика вероятности не удовлетворяет тождественному условию неразличимости , которому должна удовлетворять метрика метрического пространства, то есть: $$D\left(X,X\right)>0.$$

Метрика вероятности между двумя случайными величинами X и Y , имеющими нормальное распределение и одинаковое стандартное отклонение. $\sigma =0,\sigma =0.2,\sigma =0.4,\sigma =0.6,\sigma =0.8,\sigma =1$ (начиная с нижней кривой). $m_{xy}=|\mu _{x}-\mu _{y}|$ расстояние между значениями средними X и Y. обозначает

Пример

Например, если обе функции распределения вероятностей случайных величин X и Y являются нормальными распределениями (N) с одинаковым стандартным отклонением. $\sigma$, интегрируя $D\left(X,Y\right)$ дает: $$D_{NN}(X,Y)=\mu _{xy}+{\frac {2\sigma }{\sqrt {\pi }}}\exp \left(-{\frac {\mu _{xy}^{2}}{4\sigma ^{2}}}\right)-\mu _{xy}\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu _{xy}}{2\sigma }}\right)$$где $$\mu _{xy}=\left|\mu _{x}-\mu _{y}\right|,$$и $\operatorname {erfc} (x)$ — дополнительная функция ошибок .

В этом случае: $$\lim _{\mu _{xy}\to 0}D_{NN}(X,Y)=D_{NN}(X,X)={\frac {2\sigma }{\sqrt {\pi }}}.$$

Вероятностная метрика случайных векторов

Вероятностная метрика случайных величин может быть расширена до метрики D ( X , Y ) случайных векторов X , Y путем замены $|x-y|$ с любым метрическим оператором d ( x , y ): $$D(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\int _{\Omega }\int _{\Omega }d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )F(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\,d\Omega _{x}d\Omega _{y}$$где F ( X , Y ) — совместная функция плотности вероятности случайных X и Y. векторов Например, замена d ( x , y ) евклидовой метрикой и обеспечение взаимной независимости векторов X и Y приведет к: $$D(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\sqrt {\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}}}F(\mathbf {x} )G(\mathbf {y} )\,d\Omega _{x}d\Omega _{y}.$$