Изображение (математика)

Для функции, которая сопоставляет человека с его любимой едой, изображением Габриэлы является яблоко. Прообразом Apple является набор {Габриэла, Марьям}. Прообраз Рыбы – пустое множество. Образ подмножества {Ричард, Марьям} — это {Райс, Эппл}. Прообраз {Райс, Эппл} — это {Габриэла, Ричард, Марьям}.

Чтобы узнать о других значениях, см. Изображение (значения) .

В математике для функции $f:X\to Y$, изображение входного значения $x$ это единственное выходное значение, полученное $f$ когда прошло $x$. Прообраз выходного значения $y$ это набор входных значений, которые производят $y$.

В более общем плане оценка $f$ в каждом элементе данного подмножества $A$ своего домена $X$ создает набор, называемый образом « $A$ под (или через) $f$". Аналогично, прообраз (или прообраз ) данного подмножества $B$ кодомена ​ $Y$ представляет собой совокупность всех элементов $X$ эта карта для члена $B.$

Изображение ​ функции $f$ — это набор всех выходных значений, которые он может произвести, то есть образ $X$. Прообраз ​ ​ $f$, то есть прообраз $Y$ под $f$, всегда равно $X$ ( домен ​ $f$); поэтому первое понятие используется редко.

Изображение и обратное изображение также могут быть определены для общих бинарных отношений , а не только для функций.

Определение

$f$ это функция из домена $X$ в кодомен $Y$. Изображение элемента $x$ это элемент $y$. Прообраз элемента $y$ это набор { $x,x'$}. Прообраз элемента $y'$ является $\varnothing$.

$f$ это функция из домена $X$ в кодомен $Y$. Изображение всех элементов в подмножестве $A$ является подмножеством $B$. Прообраз $B$ является подмножеством $C$

$f$ это функция из домена $X$ в кодомен $Y.$ Желтый овал внутри $Y$ это образ $f$. Прообраз $Y$ это весь домен $X$

Слово «изображение» используется в трех связанных значениях. В этих определениях $f:X\to Y$ — функция из множества $X$ на съемочную площадку $Y.$

Изображение элемента

Если $x$ является членом $X,$ тогда образ $x$ под $f,$ обозначенный $f(x),$ это ценность ​ $f$ применительно к $x.$ $f(x)$ альтернативно известен как результат $f$ для спора $x.$

Данный $y,$ функция $f$ Говорят, что он принимает значение $y$ или возьми $y$ как значение, если существует некоторое $x$ в области определения функции такой, что $f(x)=y.$ Аналогично, учитывая набор $S,$ $f$ говорят, что он принимает значение в $S$ если существует какой-то $x$ в области определения функции такой, что $f(x)\in S.$ Однако, $f$ принимает [все] значения в $S$ и $f$ ценится в $S$ означает, что $f(x)\in S$ за каждую точку $x$ в области $f$ .

Изображение подмножества

Всюду пусть $f:X\to Y$ быть функцией. Изображение ​ под $f$ из подмножества $A$ из $X$ это совокупность всех $f(a)$ для $a\in A.$ Это обозначается $f[A],$ или через $f(A),$ когда нет риска путаницы. Используя нотацию set-builder , это определение можно записать как $$f[A]=\{f(a):a\in A\}.$$

Это индуцирует функцию $f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),$ где ${\mathcal {P}}(S)$ обозначает набор мощности набора $S;$ это набор подмножеств всех $S.$ см. в § Обозначениях Дополнительную информацию ниже.

Изображение функции

Образ функции — это образ всей ее области определения , также известный как диапазон функции. Этого последнего использования следует избегать, поскольку слово «диапазон» также часто используется для кодомена обозначения $f.$

Обобщение на бинарные отношения

Если $R$ — произвольное бинарное отношение на $X\times Y,$ тогда набор $\{y\in Y:xRy{\text{ for some }}x\in X\}$ называется образом или диапазоном $R.$ Двойственно, набор $\{x\in X:xRy{\text{ for some }}y\in Y\}$ называется областью $R.$

Обратное изображение

«Прообраз» перенаправляется сюда. О криптографической атаке на хеш-функции см. Атака прообразом .

Позволять $f$ быть функцией от $X$ к $Y.$ Прообраз ​ или прообраз множества $B\subseteq Y$ под $f,$ обозначается $f^{-1}[B],$ является подмножеством $X$ определяется $$f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.$$

Другие обозначения включают $f^{-1}(B)$ и $f^{-}(B).$ Обратный образ одноэлементного набора , обозначаемый $f^{-1}[\{y\}]$ или через $f^{-1}[y],$ также называется волокном или волокном над $y$ или уровней набор $y.$ Множество всех слоев над элементами $Y$ представляет собой семейство множеств, индексированных $Y.$

Например, для функции $f(x)=x^{2},$ обратный образ $\{4\}$ было бы $\{-2,2\}.$ Опять же, если нет риска путаницы, $f^{-1}[B]$ может быть обозначено $f^{-1}(B),$ и $f^{-1}$ также можно рассматривать как функцию из набора степеней $Y$ к силовому набору $X.$ Обозначения $f^{-1}$ не следует путать с образом для обратной функции , хотя оно совпадает с обычным для биекций тем, что обратный образ $B$ под $f$ это образ $B$ под $f^{-1}.$

Обозначения изображения и прообраза

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, не выделяют исходную функцию $f:X\to Y$ из функции изображения множеств $f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$; аналогичным образом они не различают обратную функцию (при условии, что она существует) от функции обратного образа (которая снова связывает наборы степеней). При правильном контексте это делает обозначения легкими и обычно не вызывает путаницы. Но при необходимости альтернатива заключается в том, чтобы дать явные имена изображению и прообразу как функциям между наборами степеней:

Обозначение стрелки

• $f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ с $f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}$
• $f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ с $f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}$

Звездное обозначение

• $f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ вместо $f^{\rightarrow }$
• $f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ вместо $f^{\leftarrow }$

Другая терминология

• Альтернативное обозначение для $f[A]$ используется в математической логике и теории множеств . $f\,''A.$
• В некоторых текстах упоминается образ $f$ как диапазон $f,$ но этого использования следует избегать, поскольку слово «диапазон» также часто используется для кодомена обозначения $f.$

Примеры

1. $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ определяется $\left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.$
   Изображение ​ набора $\{2,3\}$ под $f$ является $f(\{2,3\})=\{a,c\}.$ Изображение ​ функции $f$ является $\{a,c\}.$ Прообраз ​ ​ $a$ является $f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.$ Прообраз ​ ​ $\{a,b\}$ также $f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.$ Прообраз ​ ​ $\{b,d\}$ под $f$ это пустой набор $\{\ \}=\emptyset .$
2. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $f(x)=x^{2}.$
   Образ ​ ​ $\{-2,3\}$ под $f$ является $f(\{-2,3\})=\{4,9\},$ и образ ​ $f$ является $\mathbb {R} ^{+}$ (множество всех положительных действительных чисел и нуля). Прообраз ​ ​ $\{4,9\}$ под $f$ является $f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.$ Прообраз ​ набора $N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}$ под $f$ это пустое множество, поскольку отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве действительных чисел.
3. $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ определяется $f(x,y)=x^{2}+y^{2}.$
   Волокна ​ $f^{-1}(\{a\})$ представляют собой концентрические окружности вокруг начала координат , самого начала координат и пустого множества (соответственно), в зависимости от того, $a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0$ (соответственно). (Если $a\geq 0,$ затем волокно $f^{-1}(\{a\})$ это совокупность всех $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ удовлетворяющее уравнению $x^{2}+y^{2}=a,$ то есть круг с центром в начале координат и радиусом ${\sqrt {a}}.$)
4. Если $M$ является многообразием и $\pi :TM\to M$ — каноническая проекция касательного расслоения $TM$ к $M,$ затем волокна ​ $\pi$ являются касательными пространствами $T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.$ Это также пример пучка волокон .
5. Факторгруппа — это гомоморфный образ .

Характеристики

См. Также: Список тождеств и отношений множества § Функции и множества

Контрпримеры, основанные на реальных числах $\mathbb {R} ,$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $x\mapsto x^{2},$ показывая, что равенство обычно требует не выполняется для некоторых законов:
Изображение, показывающее неравные наборы: $f\left(A\cap B\right)\subsetneq f(A)\cap f(B).$ Наборы $A=[-4,2]$ и $B=[-2,4]$ показаны в синий сразу под $x$-ось при их пересечении $A_{3}=[-2,2]$ показано в зеленый .
$f\left(f^{-1}\left(B_{3}\right)\right)\subsetneq B_{3}.$
$f^{-1}\left(f\left(A_{4}\right)\right)\supsetneq A_{4}.$

Общий

Для каждой функции $f:X\to Y$ и все подмножества $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y,$ имеют место следующие свойства:

Изображение	Прообраз
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f\left(f^{-1}(Y)\right)=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f\left(f^{-1}(B)\right)\subseteq B$ (равен, если $B\subseteq f(X);$ например, если $f$ является сюръективным)	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (равен, если $f$ является инъективным)
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$\left(f\vert _{A}\right)^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f\left(f^{-1}(f(A))\right)=f(A)$	$f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(B)\right)\right)=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\,{\text{ if and only if }}{\text{ there exists }}C\subseteq A{\text{ such that }}f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\,{\text{ if and only if }}\,f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\,{\text{ if and only if }}\,f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\,{\text{ if and only if }}\,f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$
$f\left(A\cup f^{-1}(B)\right)\subseteq f(A)\cup B$	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$
$f\left(A\cap f^{-1}(B)\right)=f(A)\cap B$	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$

Также:

• $f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

Несколько функций

Для функций $f:X\to Y$ и $g:Y\to Z$ с подмножествами $A\subseteq X$ и $C\subseteq Z,$ имеют место следующие свойства:

• $(g\circ f)(A)=g(f(A))$
• $(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Несколько подмножеств домена или кодомена

Для функции $f:X\to Y$ и подмножества $A,B\subseteq X$ и $S,T\subseteq Y,$ имеют место следующие свойства:

Изображение	Прообраз
$A\subseteq B\,{\text{ implies }}\,f(A)\subseteq f(B)$	$S\subseteq T\,{\text{ implies }}\,f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T)$
$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$	$f^{-1}(S\cup T)=f^{-1}(S)\cup f^{-1}(T)$
$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$ (равен, если $f$ является инъективным )	$f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T)$
$f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B)$ (равен, если $f$ является инъективным )	$f^{-1}(S\setminus T)=f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T)$
$f\left(A\triangle B\right)\supseteq f(A)\triangle f(B)$ (равен, если $f$ является инъективным)	$f^{-1}\left(S\triangle T\right)=f^{-1}(S)\triangle f^{-1}(T)$

Результаты, связывающие изображения и прообразы с ( булевой ) алгеброй пересечения и объединения, работают для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

• $f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)$
• $f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)$
• $f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)$
• $f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)$

(Здесь, $S$ может быть бесконечным, даже неисчислимо бесконечным .)

По отношению к алгебре подмножеств, описанной выше, функция обратного образа является решеточным гомоморфизмом , тогда как функция образа является лишь полурешеточным гомоморфизмом (т. е. она не всегда сохраняет пересечения).

См. также

• Биекция, инъекция и сюръекция - Свойства математических функций
• Волокно (математика) - набор всех точек в области определения функции, которые все сопоставляются с некоторой одной заданной точкой.
• Изображение (теория категорий) - термин в теории категорий. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Ядро функции — отношение эквивалентности, выражающее, что два элемента имеют одно и то же изображение под функцией. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Инверсия набора - математическая проблема поиска набора, сопоставленного указанной функцией с определенным диапазоном.

Ссылки

• Артин, Майкл (1991). Алгебра . Прентис Холл. ISBN  81-203-0871-9 .
• Блит, Т.С. (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Спрингер. ISBN  1-85233-905-5 . .
• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Университетская серия по математике для студентов. Компания Ван Ностранд. ISBN  9780442030643 . Збл   0087.04403 .
• Келли, Джон Л. (1985). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27 (2-е изд.). Биркхойзер. ISBN  978-0-387-90125-1 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .

В эту статью включены материалы из Fiber на PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .