Установить инверсию
В математике , инверсия множества это проблема характеристики прообраза X множества X Y функцией f = е. — т . f. −1 ( Y ) знак равно { Икс ∈ р н | ж ( Икс ) ∈ Y }. Ее также можно рассматривать как проблему описания множества решений количественного ограничения « Y ( f ( x ))», где Y ( y ) — ограничение, например неравенство описывающее множество Y. ,
В большинстве приложений f является функцией из R н в Р п и множество Y является коробкой R п т.е. декартово произведение интервалов p ( R ) .
Когда f нелинейно, можно решить проблему инверсии множества. [1] с использованием интервального анализа в сочетании с алгоритмом ветвей и границ . [2]
Основная идея заключается в строительстве дорожного покрытия R п изготовлены из неперекрывающихся коробок. Для каждого ящика [ x ] мы выполняем следующие тесты:
- если f ([ x ]) ⊂ Y, заключаем, что [ x ] ⊂ X ;
- если f ([ x ]) ∩ Y = ∅, заключаем, что [ x ] ∩ X = ∅;
- В противном случае поле [ x ] делится пополам, за исключением случаев, когда его ширина меньше заданной точности.
Чтобы проверить два первых теста, нам нужно расширение интервала (или функция включения) [ f ] для f . Классифицированные коробки хранятся в подмощениях , т. е. в объединении непересекающихся ячеек. Алгоритм можно сделать более эффективным, заменив тесты включения подрядчиками .
Пример
[ редактировать ]Множество X = f −1 ([4,9]) где f ( x 1 , x 2 ) = x 2
1 + х 2
2 представлен на рисунке.
Например, поскольку [−2,1] 2 + [4,5] 2 = [0,4] + [16,25] = [16,29] не пересекает интервал [4,9], заключаем, что ящик [−2,1] × [4,5] находится вне X . Поскольку [−1,1] 2 + [2, √ 5 ] 2 = [0,1] + [4,5] = [4,6] находится внутри [4,9], заключаем, что весь ящик [−1,1] × [2, √ 5 ] находится внутри X .
Приложение
[ редактировать ]Инверсия набора в основном используется для планирования пути нелинейных параметров , для оценки набора , [3] [4] для локализации [5] [6] или для характеристики областей устойчивости линейных динамических систем . [7]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Жолен, Л.; Уолтер, Э. (1993). «Инверсия установок с помощью интервального анализа для нелинейной оценки ограниченной ошибки» (PDF) . Автоматика . 29 (4): 1053–1064. дои : 10.1016/0005-1098(93)90106-4 .
- ^ Жолен, Л.; Киффер, М.; Дидрит, О.; Уолтер, Э. (2001). Прикладной интервальный анализ . Берлин: Шпрингер. ISBN 1-85233-219-0 .
- ^ Жолен, Л.; Годе, JL; Уолтер, Э.; Эллиасмин, А.; Ледафф, Ю. (1997). «Анализ данных светорассеяния посредством инверсии множеств» (PDF) . Журнал физики A: Математический и общий . 30 (22): 7733–7738. Бибкод : 1997JPhA...30.7733J . дои : 10.1088/0305-4470/30/22/012 .
- ^ Брамс, И.; Бертье, Ф.; Жолен, Л.; Киффер, М.; Уолтер, Э. (2001). «Гарантированная оценка электрохимических параметров путем инверсии множеств с использованием интервального анализа» (PDF) . Журнал электроаналитической химии . 495 (1).
- ^ Колле, Э.; Галерн, С. (2013). «Локализация мобильного робота методом мультиангуляции с использованием инверсии множеств». Робототехника и автономные системы . 66 (1): 39–48. дои : 10.1016/j.robot.2012.09.006 .
- ^ Древель, В.; Боннифе, доктор философии (2011). «Подход с использованием набора участников для высокоточного спутникового позиционирования с использованием высоты» . GPS-решения . 15 (4): 357–368. дои : 10.1007/s10291-010-0195-3 . S2CID 121728552 .
- ^ Уолтер, Э.; Жолен, Л. (1994). «Гарантированная характеристика областей устойчивости посредством инверсии множеств» (PDF) . IEEE Транс. Автомат. Контроль . 39 (4): 886–889. дои : 10.1109/9.286277 .