Установить оценку

В статистике случайный вектор x классически представляется функцией плотности вероятности . В подходе, основанном на членстве в множестве , или оценке множества , x представляется набором X , которому x предполагается, что принадлежит. Это означает, что распределения вероятностей x включена X. внутрь поддержка функции С одной стороны, представление случайных векторов наборами позволяет сделать меньше предположений о случайных величинах (таких как независимость) и легче справляться с нелинейностями. С другой стороны, функция распределения вероятностей предоставляет более точную информацию, чем набор, содержащий ее опору.

Оценка членства в множестве

Оценка членства в наборе (или для краткости оценка набора ) — это подход к оценке , который предполагает, что измерения представлены набором Y (в большинстве случаев это блок R ^м, где м – количество измерений) пространства измерений. Если p — вектор параметров, а f — функция модели, то набор всех допустимых векторов параметров равен

P=P_{0}\cap f^{-1}(Y)

,

где P ₀ - априорный набор параметров. Характеризация P соответствует проблеме обращения множества . ^[1]

Разрешение

Когда f линейно, допустимое множество P можно описать линейными неравенствами и аппроксимировать с помощью методов линейного программирования . ^[2]

Когда f нелинейно, разрешение можно выполнить с помощью интервального анализа . P Затем допустимое множество аппроксимируется внутренним и внешним подмощением . Основным ограничением метода является его экспоненциальная сложность по количеству параметров. ^[3]

Пример

Рассмотрим следующую модель

\phi (p_{1},p_{2},t)=(tp_{1})^{2}+tp_{2}^{2}+\sin(p_{1}+tp_{2}),

где p ₁ и p ₂ — два параметрабыть оценены.

Предположим, что в моменты времени t ₁ =−1, t ₂ =1, t ₃ =2,были собраны следующие интервальные измерения:

[ y ₁ ]=[−4,−2],

[ у ₂ ]=[4,9],

[ у ₃ ]=[7,11],

как показано на рисунке 1. Соответствующий набор измерений (здесь прямоугольник)

Y=[y_{1}]\times [y_{2}]\times [y_{3}]

.

Функция модели определяется выражением

f(p_{1},p_{2})={\begin{bmatrix}p_{1}^{2}-p_{2}^{2}+\sin(p_{1}-p_{2})\\p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+p_{2})\\(2p_{1})^{2}+2p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+2p_{2})\end{bmatrix}}

Компоненты f получаются с использованием модели для каждого измерения времени.Решив задачу обращения множества, мы получим приближение, изображенное на рисунке 2. прямоугольники находятся внутри допустимого множества P , а синие — вне P. Красные

Рекурсивный случай

Оценка набора может использоваться для оценки состояния системы, описываемой уравнениями состояния, с использованием рекурсивной реализации.Когда система линейна, соответствующее допустимое множество для вектора состояния может быть описано многогранниками или эллипсоидами. ^[4]. ^[5] Если система нелинейна, ее можно оградить грунтовым покрытием. ^[6]

Прочный корпус

При возникновении выбросов метод оценки набора обычно возвращает пустой набор. Этоиз-за того, что пересечение наборов векторов параметров, которые согласованыс i -й панелью данных пусто. Чтобы быть устойчивым к выбросам,мы обычно характеризуем набор векторов параметров, которые согласуются свсе гистограммы, кроме q из них. Это возможно, используя понятие q - релаксированного пересечения .

См. также

Установить идентификацию

Ссылки

^ Жолен, Л.; Уолтер, Э. (1993). «Гарантированная нелинейная оценка параметров посредством интервальных вычислений» (PDF) . Интервальный расчет .
^ Уолтер, Э.; Пит-Лаханье, Х. (1989). «Точное рекурсивное многогранное описание возможного набора параметров для моделей с ограниченной ошибкой». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 34 (8): 911–915. дои : 10.1109/9.29443 .
^ Крейнович В.; Лакеев А.В.; Рон, Дж.; Каль, PT (1997). «Вычислительная сложность и возможности обработки данных и интервальных вычислений». Надежные вычисления . 4 (4).
^ Фогель, Э.; Хуанг, Ю.Ф. (1982). «О ценности информации при идентификации системы - случай ограниченного шума». Автоматика . 18 (2): 229–238. дои : 10.1016/0005-1098(82)90110-8 .
^ Швеппе, ФК (1968). «Рекурсивная оценка состояния: неизвестные, но ограниченные ошибки и системные входы». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 13 (1): 22–28. дои : 10.1109/tac.1968.1098790 .
^ Киффер, М.; Жолен, Л.; Уолтер, Э. (1998). «Гарантированная рекурсивная нелинейная оценка состояния с использованием интервального анализа» (PDF) . Материалы 37-й конференции IEEE по принятию решений и управлению . 4 .

[1] Жолен, Л.; Уолтер, Э. (1993). «Гарантированная нелинейная оценка параметров посредством интервальных вычислений» (PDF) . Интервальный расчет .

[2] Уолтер, Э.; Пит-Лаханье, Х. (1989). «Точное рекурсивное многогранное описание возможного набора параметров для моделей с ограниченной ошибкой». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 34 (8): 911–915. дои : 10.1109/9.29443 .

[3] Крейнович В.; Лакеев А.В.; Рон, Дж.; Каль, PT (1997). «Вычислительная сложность и возможности обработки данных и интервальных вычислений». Надежные вычисления . 4 (4).

[4] Фогель, Э.; Хуанг, Ю.Ф. (1982). «О ценности информации при идентификации системы - случай ограниченного шума». Автоматика . 18 (2): 229–238. дои : 10.1016/0005-1098(82)90110-8 .

[5] Швеппе, ФК (1968). «Рекурсивная оценка состояния: неизвестные, но ограниченные ошибки и системные входы». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 13 (1): 22–28. дои : 10.1109/tac.1968.1098790 .

[6] Киффер, М.; Жолен, Л.; Уолтер, Э. (1998). «Гарантированная рекурсивная нелинейная оценка состояния с использованием интервального анализа» (PDF) . Материалы 37-й конференции IEEE по принятию решений и управлению . 4 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]