Ядро (теория множеств)

В теории ядро функции множеств $f$ (или ядро эквивалентности ^[1]) можно принять либо за

в отношение эквивалентности функции области определения , которое примерно выражает идею «эквивалентности, насколько функция $f$ могу сказать", ^[2] или
соответствующий раздел домена.

Несвязанное понятие - это понятие ядра непустого семейства множеств. ${\mathcal {B}},$ который по определению является пересечением всех его элементов:

\ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.

Это определение используется в теории фильтров для их классификации на свободные и основные .

Определение [ править ]

Ядро функции

Для формального определения пусть $f:X\to Y$ быть функцией между двумя множествами . Элементы $x_{1},x_{2}\in X$ эквивалентны , если $f\left(x_{1}\right)$ и $f\left(x_{2}\right)$ равны , то есть являются одним и тем же элементом $Y.$ Ядро $f$ – это определенное таким образом отношение эквивалентности. ^[2]

Ядро семейства множеств

The ядро семьи ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ наборов ^[3]

\ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.

Ядро

{\mathcal {B}}

также иногда обозначается

\cap {\mathcal {B}}.

Ядро пустого множества ,

\ker \varnothing ,

обычно остается неопределенным. Семья называется фиксированный и, как говорят, имеет непустое пересечение , если его ядро не пусто. ^[3] Говорят, что семья бесплатно , если не исправлено; то есть, если его ядро представляет собой пустое множество. ^[3]

Частные [ править ]

Как и любое отношение эквивалентности, ядро можно преобразовать в фактормножество , и фактормножество представляет собой раздел:

\left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{-1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.

Этот набор факторов $X/=_{f}$ называется кообразом функции $f,$ и обозначил $\operatorname {coim} f$ (или вариация). Кообраз естественно изоморфен (в теоретико-множественном смысле ) образу биекции , $\operatorname {im} f;$ в частности, класс эквивалентности $x$ в $X$ (который является элементом $\operatorname {coim} f$ ) соответствует $f(x)$ в $Y$ (который является элементом $\operatorname {im} f$ ).

декартова произведения Как подмножество

Как и любое бинарное отношение , ядро функции можно рассматривать как подмножество декартова произведения. $X\times X.$ В этом виде ядро можно обозначить $\ker f$ (или вариант) и может быть символически определен как ^[2]

\ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.

Изучение свойств этого подмножества может пролить свет на $f.$

Алгебраические структуры [ править ]

Если $X$ и $Y$ являются алгебраическими структурами некоторого фиксированного типа (такими как группы , кольца или векторные пространства ), и если функция $f:X\to Y$ является гомоморфизмом , то $\ker f$ является отношением конгруэнтности (то есть отношением эквивалентности , совместимым с алгебраической структурой), а кообраз $f$ является частным $X.$ ^[2] Биекция между ко-образом и образом $f$ является изоморфизмом в алгебраическом смысле; это наиболее общая форма первой теоремы об изоморфизме .

В топологии [ править ]

Если $f:X\to Y$ является непрерывной функцией между двумя топологическими пространствами , то топологические свойства $\ker f$ может пролить свет на пространство $X$ и $Y.$ Например, если $Y$ является хаусдорфовым пространством , тогда $\ker f$ должно быть замкнутым множеством . И наоборот, если $X$ является хаусдорфовым пространством и $\ker f$ является замкнутым множеством, то кообраз $f,$ если задана топология факторпространства , оно также должно быть хаусдорфовым пространством.

Пространство (FIP) , компактно тогда и только тогда , когда ядро каждого семейства замкнутых подмножеств , обладающего свойством конечного пересечения непусто; ^[4]^[5] иными словами, пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство замкнутых подмножеств с FIP фиксировано .

См. также [ править ]

Фильтр (теория множеств) - семейство множеств, представляющих «большие» множества.

Ссылки [ править ]

^ Мак Лейн, Сондерс; Биркгоф, Гарретт (1999), Алгебра , издательство Chelsea Publishing Company , стр. 33, ISBN 0821816462 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бергман, Клиффорд (2011), Универсальная алгебра: основы и избранные темы , Чистая и прикладная математика, том. 301, CRC Press , стр. 14–16, ISBN. 9781439851296 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Долецки и Минард, 2016 , стр. 27–29, 33–35.
^ Манкрес, Джеймс (2004). Топология . Нью-Дели: Прентис-Холл Индии. п. 169. ИСБН 978-81-203-2046-8 .
^ Пространство компактно тогда и только тогда, когда любое семейство замкнутых множеств, имеющих fip, имеет непустое пересечение в PlanetMath .

Библиография [ править ]

Аводи, Стив (2010) [2006]. Теория категорий . Оксфордские руководства по логике. Том. 49 (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-923718-0 .
Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4 . OCLC 945169917 .

[mac-lane-birkhoff-1] Мак Лейн, Сондерс; Биркгоф, Гарретт (1999), Алгебра , издательство Chelsea Publishing Company , стр. 33, ISBN 0821816462 .

[bergman-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бергман, Клиффорд (2011), Универсальная алгебра: основы и избранные темы , Чистая и прикладная математика, том. 301, CRC Press , стр. 14–16, ISBN. 9781439851296 .

[FOOTNOTEDoleckiMynard201627–29,_33–35-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Долецки и Минард, 2016 , стр. 27–29, 33–35.

[munkres-4] Манкрес, Джеймс (2004). Топология . Нью-Дели: Прентис-Холл Индии. п. 169. ИСБН 978-81-203-2046-8 .

[5] Пространство компактно тогда и только тогда, когда любое семейство замкнутых множеств, имеющих fip, имеет непустое пересечение в PlanetMath .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]