Касательное пространство

В математике касательное пространство многообразия представляет собой обобщение касательных линий к кривым в двумерном пространстве и касательных плоскостей к поверхностям в трехмерном пространстве в более высоких измерениях. В контексте физики касательное пространство к многообразию в точке можно рассматривать как пространство возможных скоростей частицы, движущейся по многообразию.

Неофициальное описание

В дифференциальной геометрии к каждой точке можно присоединить $x$ дифференцируемого многообразия касательное пространство — вещественное векторное пространство , которое интуитивно содержит возможные направления, в которых можно касательно пройти через $x$ . Элементы касательного пространства при $x$ называются касательными векторами при $x$ . Это обобщение понятия вектора , основанного на данной начальной точке, в евклидовом пространстве . Размерность самого касательного пространства в каждой точке связного многообразия такая же, как и размерность многообразия .

Например, если данное многообразие является $2$ - сфера , то можно представить касательное пространство в точке как плоскость, которая касается сферы в этой точке и перпендикулярна радиусу сферы, проходящему через эту точку. В более общем смысле, если данное многообразие мыслить как вложенное подмногообразие евклидова пространства , то можно буквально представить касательное пространство. Это был традиционный подход к определению параллельного транспорта . Его используют многие авторы по дифференциальной геометрии и общей теории относительности . ^[1]^[2] Более строго, это определяет аффинное касательное пространство, которое отличается от пространства касательных векторов, описываемого современной терминологией.

В алгебраической геометрии , напротив, существует внутреннее определение касательного пространства в точке алгебраического многообразия. $V$ что дает векторное пространство с размерностью не ниже $V$ сам. Очки $p$ при котором размерность касательного пространства в точности равна размерности $V$ называются неособыми точками; остальные называются особыми точками. Например, кривая, которая пересекает сама себя, не имеет единственной касательной в этой точке. Особые точки $V$ это те, где «тест на многообразие» не проходит. См. касательное пространство Зарисского .

После введения касательных пространств многообразия можно определить векторные поля , которые являются абстракциями поля скоростей частиц, движущихся в пространстве. Векторное поле плавно присоединяет к каждой точке многообразия вектор из касательного пространства в этой точке. Такое векторное поле служит для определения обобщенного обыкновенного дифференциального уравнения на многообразии: решением такого дифференциального уравнения является дифференцируемая кривая на многообразии, производная которой в любой точке равна касательному вектору, прикрепленному к этой точке векторным полем.

Все касательные пространства многообразия могут быть «склеены» вместе, чтобы сформировать новое дифференцируемое многообразие с размерностью в два раза превышающей исходное многообразие, называемое касательным расслоением многообразия.

Формальные определения

Неформальное описание, приведенное выше, основано на способности многообразия быть встроенным в окружающее векторное пространство. $\mathbb {R} ^{m}$ так что касательные векторы могут «выпирать» из многообразия в окружающее пространство. Однако удобнее определить понятие касательного пространства, исходя исключительно из самого многообразия. ^[3]

Существуют различные эквивалентные способы определения касательных пространств многообразия. Хотя определение через скорость кривых интуитивно является самым простым, оно также и самое громоздкое в работе. Более элегантные и абстрактные подходы описаны ниже.

Определение через касательные кривые

В изображении вложенного многообразия касательный вектор в точке $x$ рассматривается как скорость кривой , проходящей через точку $x$ . Поэтому мы можем определить касательный вектор как класс эквивалентности кривых, проходящих через $x$ будучи касательными друг к другу в $x$ .

Предположим, что $M$ это $C^{k}$ дифференцируемое многообразие (с гладкостью $k\geq 1$ ) и это $x\in M$ . Выберите координатную карту $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ , где $U$ является открытым подмножеством $M$ содержащий $x$ . Предположим далее, что две кривые $\gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M$ с ${\gamma _{1}}(0)=x={\gamma _{2}}(0)$ даны так, что оба $\varphi \circ \gamma _{1},\varphi \circ \gamma _{2}:(-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}$ дифференцируемы в обычном смысле (мы называем эти дифференцируемые кривые инициализированными в точке $x$ ). Затем $\gamma _{1}$ и $\gamma _{2}$ называются эквивалентными при $0$ тогда и только тогда, когда производные $\varphi \circ \gamma _{1}$ и $\varphi \circ \gamma _{2}$ в $0$ совпадают. Это определяет отношение эквивалентности на множестве всех дифференцируемых кривых, инициализированных в точке $x$ , а классы эквивалентности таких кривых называются касательными векторами $M$ в $x$ . Класс эквивалентности любой такой кривой $\gamma$ обозначается $\gamma '(0)$ . Касательное пространство $M$ в $x$ , обозначенный $T_{x}M$ , тогда определяется как набор всех касательных векторов в точке $x$ ; это не зависит от выбора координатной карты $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ .

Касательное пространство $T_{x}M$ и касательный вектор $v\in T_{x}M$ , по кривой, проходящей через $x\in M$ .

Чтобы определить операции в векторном пространстве над $T_{x}M$ , мы используем диаграмму $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ и определить карту $\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}$ к ${\textstyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[(\varphi \circ \gamma )(t)]\right|_{t=0},}$ где $\gamma \in \gamma '(0)$ . Карта $\mathrm {d} {\varphi }_{x}$ оказывается биективным и может использоваться для переноса операций в векторном пространстве на $\mathbb {R} ^{n}$ к $T_{x}M$ , превращая, таким образом, последнее множество в $n$ -мерное реальное векторное пространство. Опять же нужно проверить, что эта конструкция не зависит от конкретной карты. $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ и кривая $\gamma$ используется, а на самом деле это не так.

Определение через вывод

Предположим теперь, что $M$ это $C^{\infty }$ многообразие. Действительнозначная функция $f:M\to \mathbb {R}$ говорят, что он принадлежит ${C^{\infty }}(M)$ тогда и только тогда, когда для каждой координатной карты $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ , карта $f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ бесконечно дифференцируема. Обратите внимание, что ${C^{\infty }}(M)$ является вещественной ассоциативной алгеброй относительно поточечного произведения и суммы функций и скалярного умножения.

Вывод на $x\in M$ определяется как линейное отображение $D:{C^{\infty }}(M)\to \mathbb {R}$ удовлетворяющее тождеству Лейбница $\forall f,g\in {C^{\infty }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),$ которое моделируется на основе правила произведения исчисления.

(Для каждой тождественно постоянной функции $f={\text{const}},$ отсюда следует, что $D(f)=0$ ).

Обозначим $T_{x}M$ множество всех выводов в $x.$ Параметр

$(D_{1}+D_{2})(f):={D}_{1}(f)+{D}_{2}(f)$ и
$(\lambda \cdot D)(f):=\lambda \cdot D(f)$

поворачивается $T_{x}M$ в векторное пространство.

Обобщения

Возможны обобщения этого определения, например, на комплексные многообразия и алгебраические многообразия . Однако вместо рассмотрения выводов $D$ из полной алгебры функций вместо этого следует работать на уровне зародышей функций. Причина этого в том, что пучок структур может не подходить для таких структур. Например, пусть $X$ быть алгебраическим многообразием со структурным пучком ${\mathcal {O}}_{X}$ . Тогда касательное пространство Зарисского в точке $p\in X$ это совокупность всех $\mathbb {k}$ -выводы $D:{\mathcal {O}}_{X,p}\to \mathbb {k}$ , где $\mathbb {k}$ это поле земли и ${\mathcal {O}}_{X,p}$ это стебель ${\mathcal {O}}_{X}$ в $p$ .

Эквивалентность определений

Для $x\in M$ и дифференцируемая кривая $\gamma :(-1,1)\to M$ такой, что $\gamma (0)=x,$ определять ${D_{\gamma }}(f):=(f\circ \gamma )'(0)$ (где производная берется в обычном смысле, поскольку $f\circ \gamma$ это функция от $(-1,1)$ к $\mathbb {R}$ ). Можно убедиться в том, что $D_{\gamma }(f)$ является выводом в точке $x,$ и что эквивалентные кривые дают один и тот же вывод. Таким образом, для класса эквивалентности $\gamma '(0),$ мы можем определить ${D_{\gamma '(0)}}(f):=(f\circ \gamma )'(0),$ где кривая $\gamma \in \gamma '(0)$ было выбрано произвольно. Карта $\gamma '(0)\mapsto D_{\gamma '(0)}$ является изоморфизмом векторного пространства между пространством классов эквивалентности $\gamma '(0)$ и выводов в точке $x.$

Определение через котангенсные пространства

Опять же, мы начинаем с $C^{\infty }$ многообразие $M$ и точка $x\in M$ . Рассмотрим идеал $I$ из $C^{\infty }(M)$ который состоит из всех гладких функций $f$ исчезает в $x$ , то есть, $f(x)=0$ . Затем $I$ и $I^{2}$ являются как действительными векторными пространствами, так и фактор-пространством $I/I^{2}$ можно показать, что он изоморфен кокасательному пространству $T_{x}^{*}M$ с помощью теоремы Тейлора . Касательное пространство $T_{x}M$ может быть тогда определен как пространство двойственное $I/I^{2}$ .

Хотя это определение является наиболее абстрактным, оно также легче всего переносится на другие ситуации, например, на многообразия, рассматриваемые в алгебраической геометрии .

Если $D$ является производным от $x$ , затем $D(f)=0$ для каждого $f\in I^{2}$ , а это значит, что $D$ приводит к линейной карте $I/I^{2}\to \mathbb {R}$ . И наоборот, если $r:I/I^{2}\to \mathbb {R}$ является линейным отображением, то $D(f):=r\left((f-f(x))+I^{2}\right)$ определяет вывод в $x$ . Это дает эквивалентность между касательными пространствами, определенными через дифференцирование, и касательными пространствами, определенными через котасательные пространства.

Характеристики

Если $M$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ , затем $M$ это $C^{\infty }$ многообразия естественным образом (примем координатные карты как тождественные карты открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$ ), и все касательные пространства естественным образом отождествляются с $\mathbb {R} ^{n}$ .

Касательные векторы как производные по направлению

Другой способ рассматривать касательные векторы — это производные по направлению . Учитывая вектор $v$ в $\mathbb {R} ^{n}$ , определяется соответствующая производная по направлению в точке $x\in \mathbb {R} ^{n}$ к

\forall f\in {C^{\infty }}(\mathbb {R} ^{n}):\qquad (D_{v}f)(x):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[f(x+tv)]\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).

Это отображение, естественно, является выводом $x$ . Более того, каждый вывод в какой-то момент $\mathbb {R} ^{n}$ имеет такую форму. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между векторами (которые рассматриваются как касательные векторы в точке) и производными в точке.

Поскольку касательные векторы к общему многообразию в некоторой точке могут быть определены как дифференцирования в этой точке, естественно думать о них как о производных по направлению. В частности, если $v$ является касательным вектором к $M$ в какой-то момент $x$ (думается как вывод), затем определите производную по направлению $D_{v}$ в направлении $v$ к

\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=v(f).

Если мы думаем о $v$ как начальная скорость дифференцируемой кривой $\gamma$ инициализирован в $x$ , то есть, $v=\gamma '(0)$ , то вместо этого определите $D_{v}$ к

\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=(f\circ \gamma )'(0).

Базис касательного пространства в точке

Для $C^{\infty }$ многообразие $M$ , если диаграмма $\varphi =(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}$ дается с $p\in U$ , то можно определить упорядоченный базис ${\textstyle \left\{\left.{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\right|_{p},\dots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right|_{p}\right\}}$ из $T_{p}M$ к

\forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}}(f):=\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}f\circ \varphi ^{-1}{\Big )}\right){\Big (}\varphi (p){\Big )}.

Тогда для каждого касательного вектора $v\in T_{p}M$ , у одного есть

v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}.

Таким образом, эта формула выражает $v$ как линейная комбинация базисных касательных векторов ${\textstyle \left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}\in T_{p}M}$ определяется координатной картой $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ . ^[4]

Производная карты

Любое гладкое (или дифференцируемое) отображение $\varphi :M\to N$ между гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями индуцирует естественные линейные отображения между соответствующими касательными пространствами:

\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.

Если касательное пространство определяется через дифференцируемые кривые, то это отображение определяется формулой

{\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=(\varphi \circ \gamma )'(0).

Если вместо этого касательное пространство определяется посредством дифференцирований, то это отображение определяется формулой

[\mathrm {d} {\varphi }_{x}(D)](f):=D(f\circ \varphi ).

Линейная карта $\mathrm {d} {\varphi }_{x}$ называется по-разному производной , полной производной , дифференциалом или выталкиванием вперед $\varphi$ в $x$ . Это часто выражается с использованием множества других обозначений:

D\varphi _{x},\qquad (\varphi _{*})_{x},\qquad \varphi '(x).

В некотором смысле производная является лучшим линейным приближением к $\varphi$ около $x$ . Обратите внимание, что когда $N=\mathbb {R}$ , то карта $\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R}$ совпадает с обычным понятием дифференциала функции $\varphi$ . В местных координатах производная $\varphi$ задается якобианом .

Важным результатом относительно производного отображения является следующее:

Теорема — Если $\varphi :M\to N$ является локальным диффеоморфизмом в $x$ в $M$ , затем $\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$ является линейным изоморфизмом . И наоборот, если $\varphi :M\to N$ непрерывно дифференцируема и $\mathrm {d} {\varphi }_{x}$ является изоморфизмом, то существует открытая окрестность $U$ из $x$ такой, что $\varphi$ карты $U$ диффеоморфно на его образ.

Это обобщение теоремы об обратной функции на отображения между многообразиями.

См. также

Примечания

^ ду Карму, Манфредо П. (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Прентис-Холл. :
^ Дирак, Поль AM (1996) [1975]. Общая теория относительности . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-01146-Х .
^ Крис Дж. Ишам (1 января 2002 г.). Современная дифференциальная геометрия для физиков . Союзные издательства. стр. 70–72. ISBN 978-81-7764-316-9 .
^ Лерман, Евгений. «Введение в дифференциальную геометрию» (PDF) . п. 12.

Ссылки

Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , Аспирантура по математике , том. 107, Провиденс: Американское математическое общество .
Михор, Питер В. (2008), Темы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике, том. 93, Провиденс: Американское математическое общество .
Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам расширенного исчисления , WA Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6 .

Внешние ссылки

Касательные плоскости в MathWorld

[1] ду Карму, Манфредо П. (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Прентис-Холл. :

[2] Дирак, Поль AM (1996) [1975]. Общая теория относительности . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-01146-Х .

[Isham2002-3] Крис Дж. Ишам (1 января 2002 г.). Современная дифференциальная геометрия для физиков . Союзные издательства. стр. 70–72. ISBN 978-81-7764-316-9 .

[4] Лерман, Евгений. «Введение в дифференциальную геометрию» (PDF) . п. 12.

[1]

[2]

[3]

[4]