Глоссарий алгебраической топологии

Это глоссарий свойств и понятий алгебраической топологии в математике.

См. также: глоссарий топологии , список тем алгебраической топологии , глоссарий теории категорий , глоссарий дифференциальной геометрии и топологии , Хронология многообразий .

• Условное обозначение : на протяжении всей статьи I обозначает единичный интервал S. ^н n ​ -сфера и D ^н - диск n . Кроме того, на протяжении всей статьи предполагается, что пробелы являются разумными ; это может означать, например, что пространство представляет собой комплекс CW или компактно порожденное слабо хаусдорфово пространство . Точно так же не делается никаких попыток дать окончательное определение спектра . не Симплициальное множество рассматривается как пространство; т. е. мы обычно различаем симплициальные множества и их геометрические реализации.
• Критерий включения : поскольку в настоящее время в Википедии нет глоссария гомологической алгебры , этот глоссарий также включает несколько понятий гомологической алгебры (например, цепную гомотопию); некоторые концепции геометрической топологии и дифференциальной топологии также являются честной игрой. С другой стороны, элементы, которые появляются в глоссарии топологии, обычно опускаются. Абстрактная теория гомотопий и мотивная теория гомотопий также выходят за рамки рассмотрения. Глоссарий теории категорий охватывает (или будет охватывать) концепции теории модельных категорий . См. глоссарий симплектической геометрии, чтобы узнать о темах симплектической топологии, таких как квантование.

!$@

*

Базовая точка базируемого пространства.

$X_{+}$

Для неосновного пространства X . X ₊ — это базируемое пространство, полученное путем присоединения непересекающейся базовой точки

А

абсолютное сокращение соседства

абстрактный

1. Абстрактная теория гомотопий.

Адамс

1. Джон Фрэнк Адамс .

2. Спектральная последовательность Адамса .

3. Гипотеза Адамса .

4. Адамса Электронный инвариант .

5. Операции Адамса .

Александр двойственность

Александр двойственность

Александр трюк

Трюк Александра создает часть карты ограничений. $\operatorname {Top} (D^{n+1})\to \operatorname {Top} (S^{n})$, Top обозначает группу гомеоморфизмов ; а именно, сечение задается отправкой гомеоморфизма $f:S^{n}\to S^{n}$ к гомеоморфизму

${\widetilde {f}}:D^{n+1}\to D^{n+1},\,0\mapsto 0,0\neq x\mapsto |x|f(x/|x|)$.

Этот раздел на самом деле является обратным к гомотопии.

Анализ сайта

приблизительное расслоение

1. Приближенное расслоение , обобщение расслоения и проектор в локально тривиальном расслоении.

2. Аппроксимационное расслоение многообразия — это собственное аппроксимативное расслоение между многообразиями.

асферическое пространство

Асферическое пространство

карта сборки

Атья

1. Майкл Атья .

2. Двойственность Атьи .

3. Спектральная последовательность Атьи–Хирцебруха .

Б

строительство бара

базируемое пространство

Пара ( X , x0 _, состоящая из пространства X точки x0 _и в X. )

Номер Бетти

Гипотеза Бинга – Борсука

См. гипотезу Бинга – Борсука .

Гомоморфизм Бокштейна

Борель

Гипотеза Бореля .

Гомологии Бореля – Мура

Теорема Борсука

Ботт

1. Рауль Ботт .

2. Теорема Ботта о периодичности для унитарных групп гласит: $\pi _{q}U=\pi _{q+2}U,q\geq 0$.

3. Теорема Ботта о периодичности для ортогональных групп гласит: $\pi _{q}O=\pi _{q+8}O,q\geq 0$.

Теорема Брауэра о неподвижной точке

Теорема Брауэра о неподвижной точке гласит, что любое отображение $f:D^{n}\to D^{n}$ имеет фиксированную точку.

С

крышка продукта

Кассон

Инвариант Кассона .

Чешские когомологии

сотовый

1. Отображение ƒ: X → Y между комплексами CW является клеточным , если $f(X^{n})\subset Y^{n}$ для всех н .

2. Теорема клеточной аппроксимации гласит, что каждое отображение между комплексами CW гомотопно клеточному отображению между ними.

3. Клеточная гомология – это (каноническая) гомология комплекса CW. Обратите внимание, что это относится к комплексам CW, а не к пространствам в целом. Клеточная гомология легко вычислима; это особенно полезно для пространств с естественным клеточным разложением, таких как проективные пространства или грассманиан.

гомотопия цепи

Даны карты цепочек $f,g:(C,d_{C})\to (D,d_{D})$ между цепными комплексами модулей цепная гомотопия s из f в g представляет собой последовательность гомоморфизмов модулей $s_{i}:C_{i}\to D_{i+1}$ удовлетворяющий $f_{i}-g_{i}=d_{D}\circ s_{i}+s_{i-1}\circ d_{C}$. Его еще называют гомотопическим оператором .

карта цепи

Карта цепочки $f:(C,d_{C})\to (D,d_{D})$ между цепными комплексами модулей представляет собой последовательность гомоморфизмов модулей $f_{i}:C_{i}\to D_{i}$ который коммутирует с дифференциалами; то есть, $d_{D}\circ f_{i}=f_{i-1}\circ d_{C}$.

цепная гомотопическая эквивалентность

Цепное отображение, которое является изоморфизмом с точностью до гомотопии цепи; то есть, если ƒ : C → D — цепное отображение, то это цепная гомотопическая эквивалентность, если существует цепное отображение g : D → C такое, что g ƒ и ƒ g являются цепными гомотопными тождественным гомоморфизмам на C и D. , соответственно.

изменение волокна

Замена слоя расслоения p — это гомотопическая эквивалентность с точностью до гомотопии между слоями p , индуцированная путем в базе.

разнообразие персонажей

персонажей Разнообразие группы π и алгебраической группы G (например, редуктивной комплексной группы Ли) является фактором геометрической теории инвариантов по G :

${\mathcal {X}}(\pi ,G)=\operatorname {Hom} (\pi ,G)/\!/G$.

характеристический класс

Пусть Vect( X ) — множество классов изоморфизма векторных расслоений на X . Мы можем просмотреть $X\mapsto \operatorname {Vect} (X)$ как контравариантный функтор из Top в Set , отправив карту ƒ: X → Y на обратный вариант ƒ ^* вдоль него. Тогда характеристический класс является естественным преобразованием Vect в функтор когомологий H ^* . Явно, каждому векторному расслоению E мы приписываем класс когомологий, скажем, c ( E ). Назначение естественно в том смысле, что ƒ ^* с( Е ) = с(ƒ ^* Е ).

теория хроматической гомотопии

хроматическая гомотопическая теория .

сорт

1. Класс Черна .

2. Класс Штифеля–Уитни .

Классификационное пространство

Грубо говоря, классифицирующее пространство — это пространство, представляющее некоторый контравариантный функтор, определенный в категории пространств; например, $BU$ является классифицирующим пространством в смысле $[-,BU]$ это функтор $X\mapsto \operatorname {Vect} ^{\mathbb {R} }(X)$ который отправляет пространство в набор классов изоморфизма вещественных векторных расслоений в пространстве.

сжимая

спектральная последовательность кобара

кобордизм

1. См. кобордизм .

2. Кольцом кобордизмов называется кольцо, элементы которого являются классами кобордизмов.

3. См. также теорема о h-кобордизме , теорема о s-кобордизме .

кольцо коэффициентов

Если E — кольцевой спектр, то кольцом его коэффициентов является кольцо $\pi _{*}E$.

последовательность коволокон

Последовательность коволокна — это любая последовательность, эквивалентная последовательности $X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}$ для некоторого ƒ, где $C_{f}$ — это уменьшенный конус отображения ƒ (называемый кослоем ƒ).

кофибрантное приближение

кофибрация

Карта $i:A\to B$ является корасслоением , если оно удовлетворяет свойству: учитывая $h_{0}:B\to X$ и гомотопия $g_{t}:A\to X$ такой, что $g_{0}=h_{0}\circ i$, существует гомотопия $h_{t}:B\to X$ такой, что $h_{t}\circ i=g_{t}$. Корасслоение инъективно и является гомеоморфизмом своего образа.

когерентная гомотопия

согласованность

См. когерентность (гомотопическая теория).

когомотопическая группа

Для базируемого пространства X множество гомотопических классов $[X,S^{n}]$ называется n- когомотопической группой X . й

операция когомологий

крах

Неформальная фраза, но обычно означает частное; например, конус получается путем схлопывания верха (или низа) цилиндра.

завершение

сложный бордизм

комплексно-ориентированный

Мультипликативная теория когомологий E является комплексно-ориентированной, если отображение ограничения E ² ( С П ^∞ ) → Э ² ( С П ¹ ) сюръективен.

согласный

конус

Конус — над пространством X это $CX=X\times I/X\times \{0\}$. Уменьшенный конус получается из уменьшенного цилиндра. $X\wedge I_{+}$ путем сворачивания верха.

соединительный

Спектр E является связным, если $\pi _{q}E=0$ для всех отрицательных целых чисел q .

пространство конфигурации

постоянный

Постоянный пучок в пространстве X — это пучок ${\mathcal {F}}$ на X такое, что для некоторого множества A и некоторого отображения $A\to {\mathcal {F}}(X)$, естественная карта $A\to {\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}_{x}$ является биективным для любого x в X .

непрерывный

Непрерывные когомологии .

сжимаемое пространство

Пространство стягиваемо , если тождественное отображение пространства гомотопно постоянному отображению.

покрытие

1. Отображение p : Y → X является покрытием или накрывающим отображением, если каждая точка x имеет окрестность N , равномерно покрываемую p ; это означает, что прообраз N представляет собой непересекающееся объединение открытых множеств, каждое из которых отображается в N. гомеоморфно

2. Оно является n -листным, если каждый слой p ⁻¹ ( x ) имеет ровно n элементов.

3. Он универсален , если Y односвязен.

4. Морфизм накрытия – это отображение над X . В частности, автоморфизм покрытия p : Y → X (также называемый преобразованием колоды ) — это отображение Y → Y над X , имеющее обратное; т. е. гомеоморфизм над X .

5. G -покрытием называется накрытие, возникающее в результате действия группы пространстве X G на , причем отображением покрытия является фактор-отображение X в пространство орбит X/G . Это понятие используется для формулировки универсального свойства: если X допускает универсальное накрытие (в частности, связное), то

$\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)$ — множество классов изоморфизма G -покрытий.

В частности, если G абелева, то левая часть равна $\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)=\operatorname {H} ^{1}(X;G)$ (ср. неабелевы когомологии .)

чашка продукта

комплекс ХО

Комплекс ХО – помещение Х, оборудованное конструкцией ХО; то есть фильтрация

$X^{0}\subset X^{1}\subset X^{2}\subset \cdots \subset X$

такой, что (1) X ⁰ дискретен и (2) X ^н получается из X ^{п -1} путем присоединения n -клеток.

циклическая гомология

Д

трансформация колоды

Другой термин для обозначения автоморфизма накрытия.

деформация втягивается

Подпространство $A\subset X$ называется деформационным ретрактом X , если существует гомотопия $h_{t}:X\to X$ такой, что $h_{0}$ это личность, $h_{1}(X)\subset A$ и ${h_{1}}|_{A}$ является тождеством (т.е. $h_{1}$ является отказом от $A\hookrightarrow X$ в смысле теории категорий). Его называют сильным деформационным ретрактом, если, кроме того, $h_{t}$ удовлетворяет требованию, что ${h_{t}}|_{A}$ это личность. Например, гомотопия $h_{t}:B\to B,\,x\mapsto (1-t)x$ показывает, что начало координат представляет собой сильную деформацию открытого шара B с центром в начале координат.

Когомологии Делиня – Бейлинсона

Когомологии Делиня – Бейлинсона

выход из цикла

цикл вырождения

степень

Скрытый

Теорема Долда –Тома .

Э

Аргумент Экмана-Хилтона

Аргумент Экмана -Хилтона .

Двойственность Экмана – Хилтона

Пространства Эйленберга – Маклейна

Для абелевой группы π пространства Эйленберга–Маклейна $K(\pi ,n)$ характеризуются

$\pi _{q}K(\pi ,n)={\begin{cases}\pi &{\text{if }}q=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$.

Аксиомы Эйленберга – Стинрода

Аксиомы Эйленберга-Стинрода — это набор аксиом, которым должна удовлетворять любая теория когомологий (сингулярная, клеточная и т. д.). Ослабление аксиом (а именно отказ от аксиомы размерности) приводит к обобщенной теории когомологий .

Теорема Эйленберга – Зильбера

эллиптический

эллиптические когомологии .

Эн _- алгебра

эквивариантная алгебраическая топология

Эквивариантная алгебраическая топология — это исследование пространств с (непрерывным) действием группы .

разложить

распространяет гомотопию .

точный

Последовательность точечных множеств $X{\overset {f}{\to }}Y{\overset {g}{\to }}Z$ является точным , если образ f совпадает с прообразом выбранной точки Z .

иссечение

Аксиома вырезания гомологии гласит: если $U\subset X$ и ${\overline {U}}\subset \operatorname {int} (A)$, то для q каждого

$\operatorname {H} _{q}(X-U,A-U)\to \operatorname {H} _{q}(X,A)$

является изоморфизмом.

исключительная пара/триада

Ф

гомология факторизации

волоконно-гомотопическая эквивалентность

Для данных D → B , E → B отображение ƒ: D → E над B является послойной гомотопической эквивалентностью если оно обратимо с точностью до гомотопии над B. , Основной факт состоит в том, что если D → B , E → B — расслоения, то гомотопическая эквивалентность из D в E является послойно-гомотопической эквивалентностью.

последовательность волокон

Последовательность волокон карты $f:X\to Y$ это последовательность $F_{f}{\overset {p}{\to }}X{\overset {f}{\to }}Y$ где $F_{f}{\overset {p}{\to }}X$ — гомотопический слой f ; т.е. обратный расслоение пространства путей $PY\to Y$ вдоль ф .

квадрат волокна

квадрат волокна

расслоение

Отображение p : E → B является расслоением , если для любой заданной гомотопии $g_{t}:X\to B$ и карта $h_{0}:X\to E$ такой, что $p\circ h_{0}=g_{0}$, существует гомотопия $h_{t}:X\to E$ такой, что $p\circ h_{t}=g_{t}$. (Вышеупомянутое свойство называется свойством поднятия гомотопии .) Накрывающее отображение является основным примером расслоения.

последовательность расслоений

Один говорит $F\to X{\overset {p}{\to }}B$ является последовательностью расслоения, что означает, что p является расслоением и что F гомотопически эквивалентен гомотопическому слою p с некоторым пониманием базовых точек.

конечно доминируемый

фундаментальный класс

фундаментальная группа

Фундаментальная группа пространства X с базовой точкой x0 _— это группа гомотопических классов петель в x0 _точке . Это в точности первая гомотопическая группа группы ( X , x0 _{) ,} поэтому она обозначается через $\pi _{1}(X,x_{0})$.

фундаментальный группоид

Фундаментальный группоид пространства X — это категория, объектами которой являются точки X и чьи морфизмы x → y являются гомотопическими классами путей от x до y ; таким образом, набор всех морфизмов объекта x ₀ в себя по определению является фундаментальной группой. $\pi _{1}(X,x_{0})$.

в рамке

— Каркасное многообразие это многообразие с оснащением.

бесплатно

Синоним слова «безосновательный». Например, пространство свободного пути пространства X относится к пространству всех отображений от I до X ; то есть, $X^{I}$ в то время как пространство путей базируемого пространства X состоит из таких карт, которые сохраняют базовую точку (т. е. 0 переходит в базовую точку X ).

Теорема Фрейденталя о подвеске

Для невырожденно базируемого пространства X гласит теорема Фрейденталя о надстройке : если X ( n -1)-связно, то гомоморфизм надстройки

$\pi _{q}X\to \pi _{q+1}\Sigma X$

является биективным при q < 2 n - 1 и сюръективным, если q = 2 n - 1.

Компактификация Фултона – Макферсона.

Компактификация Фултона -Макферсона конфигурационного пространства n . различных помеченных точек в компактном комплексном многообразии является естественной гладкой компактификацией, введенной Фултоном и Макферсоном

Г

G-волокно

G -расслоение с некоторым топологическим моноидом G . Примером может служить расслоение пространства путей Мура .

G-пространство

G -пространство — это пространство вместе с действием группы G (обычно удовлетворяющее некоторым условиям).

C-пространство

обобщенная теория когомологий

Обобщенная теория когомологий — это контравариантный функтор из категории пар пространств в категорию абелевых групп, который удовлетворяет всем аксиомам Эйленберга–Стинрода, кроме аксиомы размерности.

гипотеза геометризации

гипотеза геометризации

род

зародыш

зародыш

завершение группы

групповой

H-пространство X называется группоподобным или группоподобным , если $\pi _{0}X$ это группа ; т. е. X удовлетворяет аксиомам группы с точностью до гомотопии.

Последовательность Гайзина

Х

Основная догадка

1. Hauptvermutung , по-немецки «основная гипотеза», является сокращением от die Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie (основная гипотеза комбинаторной топологии). Он спрашивает, являются ли два симплициальных комплекса изоморфными, если они гомеоморфны. Это было опровергнуто Милнором в 1961 году.

2. Есть несколько вариантов; например, можно спросить, являются ли два PL-многообразия PL-изоморфными, если они гомеоморфны (что также неверно).

h-кобордизм

h-кобордизм .

Теорема Хилтона – Милнора

Теорема Хилтона –Милнора .

Хирцебрух

Сигнатурная теорема Хирцебруха .

H-пространство

H -пространство — это базированное пространство, представляющее собой единую магму с точностью до гомотопии.

гомолог

Два цикла гомологичны, если они принадлежат одному и тому же классу гомологии.

сфера гомологии

Сфера гомологии — это многообразие, имеющее гомологический тип сферы.

гомотопическая категория

Пусть C — подкатегория категории всех пространств. Тогда гомотопическая категория C — это категория, класс объектов которой тот же, что и класс объектов C , но множество морфизмов объекта x в объект y — это множество гомотопических классов морфизмов от x до y в С. ​Например, отображение является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является изоморфизмом в гомотопической категории.

гомотопический копредел

Гомотопический копредел — это гомотопически корректная версия копредела.

гомотопия над пространством B

Гомотопия ht _такая для каждого фиксированного t ht является _, отображением над B. что

гомотопическая эквивалентность

1. Отображение ƒ: X → Y является гомотопической эквивалентностью , если оно обратимо с точностью до гомотопии; то есть существует отображение g: Y → X такое, что g ∘ ƒ гомотопно тождественному отображению на X и ƒ ∘ g гомотопно тождественному отображению на Y .

2. Два пространства называются гомотопически эквивалентными, если между ними существует гомотопическая эквивалентность. Например, по определению пространство стягиваемо, если оно гомотопически эквивалентно точечному пространству .

теорема об вырезании гомотопии

Теорема об вырезании гомотопий заменяет неудачу вырезания гомотопических групп.

гомотопическое волокно

Гомотопический слой базового отображения ƒ: X → Y , обозначаемый F ƒ, представляет собой обратный образ $PY\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)$ вдоль ф .

продукт гомотопического волокна

Волокнистый продукт представляет собой особый вид ограничения . Замена этого предела lim гомотопическим пределом holim дает произведение гомотопического слоя .

гомотопическая группа

1. Для базируемого пространства X пусть $\pi _{n}X=[S^{n},X]$, множество гомотопических классов базовых отображений. Затем $\pi _{0}X$ — множество компонент линейной связности X , $\pi _{1}X$ является фундаментальной группой X и $\pi _{n}X,\,n\geq 2$ являются (высшими) -ми гомотопическими группами X . n

2. Для базовых помещений $A\subset X$, относительная гомотопическая группа $\pi _{n}(X,A)$ определяется как $\pi _{n-1}$ пространства путей, которые начинаются в базовой точке X то в A. и заканчиваются где - Эквивалентно, это $\pi _{n-1}$ гомотопического слоя $A\hookrightarrow X$.

3. Если E — спектр, то $\pi _{k}E=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}E_{n}.$

4. Если X — базируемое пространство, то стабильной k гомотопической группой X - й является $\pi _{k}^{s}X=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}\Sigma ^{n}X$. Другими словами, это k -я гомотопическая группа спектра надстройки X .

гомотопический откат

Гомотопический возврат — это частный случай гомотопического предела, который является гомотопически правильным возвратом.

гомотопический коэффициент

Если G — группа Ли, действующая на многообразии X , то фактор-пространство $(EG\times X)/G$ называется гомотопическим фактором (или борелевской конструкцией) X по G , где EG — универсальное расслоение G .

гомотопическая спектральная последовательность

гомотопическая сфера

Гомотопическая сфера — это многообразие, имеющее гомотопический тип сферы.

Хопф

1. Хайнц Хопф .

2. Инвариант Хопфа .

3. Теорема Хопфа об индексе .

4. Конструкция Хопфа .

Гуревич

Теорема Гуревича устанавливает связь между гомотопическими группами и группами гомологий.

Я

бесконечное пространство цикла

Космическая машина с бесконечным циклом

Космическая машина с бесконечным циклом .

бесконечный картографический телескоп

пересечение

спаривание пересечений .

гомологии пересечения , заменитель обычных (сингулярных) гомологии сингулярного пространства.

когомологии пересечения

интеграция по волокну

См. интегрирование вдоль волокна .

инвариантность домена

инвариантность домена .

изотопия

Дж

J-гомоморфизм

См. J-гомоморфизм .

присоединиться

Соединение пространств основанных X , Y есть $X\star Y=\Sigma (X\wedge Y).$

К

k -инвариант

Может быть сложным

См. комплекс Кана .

Кирби-Зибенманн

Классификация Кирби-Зибенмана .

Инвариант Кервера

Кервера Инвариант .

Рубашка двойственности

Рубашка двойственности .

Койпер

Теорема Койпера утверждает, что общая линейная группа бесконечномерного гильбертова пространства сжимаема.

Формула Кюннета

Л

Кольцо Лазарда

Кольцо Лазара L — это (огромное) коммутативное кольцо вместе с законом формальной группы ƒ, которое является универсальным среди всех законов формальной группы в том смысле, что любой формальный групповой закон g над коммутативным кольцом R получается посредством гомоморфизма колец L → R. отображение ƒ на g . Согласно теореме Квиллена, это также кольцо коэффициентов комплексного бордизма MU. Spec L пространством модулей законов называется формальных групповых .

Лефшец

1. Соломон Лефшец

2. Теорема Лефшеца о неподвижной точке гласит: для данного конечного симплициального комплекса K и его геометрической реализации X , если отображение $f:X\to X$ не имеет неподвижной точки, то число Лефшеца функции f ; то есть,

$\sum _{0}^{\infty }(-1)^{q}\operatorname {tr} (f_{*}:\operatorname {H} _{q}(X)\to \operatorname {H} _{q}(X))$

равен нулю. Например, отсюда следует теорема Брауэра о неподвижной точке, поскольку число Лефшеца $f:D^{n}\to D^{n}$ является единицей, поскольку высшие гомологии исчезают.

3. Теорема Лефшеца о гиперплоскости .

пространство линзы

– Пространство линзы это факторпространство $\{z\in \mathbb {C} ^{n}||z|=1\}/\mu _{p}$ где $\mu _{p}$ — группа корней p -й степени из единицы, действующих на единичную сферу посредством $\zeta \cdot (z_{1},\dots ,z_{n})=(\zeta z_{1},\dots ,\zeta z_{n})$.

Спектральная последовательность Лере

л ²

Л ​ ² -когомологии риманова коэффициентами (коэффициентами для форм, а не или кэлерова многообразия — это когомологии комплексов дифференциальных форм с интегрируемыми с квадратом когомологиями).

местный коэффициент

1. Модуль над групповым кольцом $\mathbb {Z} [\pi _{1}B]$ для некоторого базируемого пространства B ; другими словами, абелева группа вместе с гомоморфизмом $\pi _{1}B\to \operatorname {Aut} (A)$.

2. Локальная система коэффициентов над базирующим пространством B с абелевой группой A представляет собой расслоение над B с дискретным A. слоем Если B допускает универсальное накрытие ${\widetilde {B}}$, то это значение совпадает со значением 1. в том смысле: каждая локальная система коэффициентов над B может быть задана как ассоциированное расслоение ${\widetilde {B}}\times _{\pi _{1}B}A$.

локальный инвариант

Теорема о локальном инвариантном цикле .

местная сфера

Локализация сферы по некоторому простому числу

локальная система

местная система .

локализация

локально постоянный пучок

в Локально постоянный пучок пространстве X — это такой пучок, что каждая точка X имеет открытую окрестность, на которой пучок постоянен .

пространство цикла

Пространство петли $\Omega X$ базового пространства X — это пространство всех циклов, начинающихся и заканчивающихся в базовой X. точке

М

Теорема Мэдсена – Вейсса

картографирование

1.  

Конус отображения отображения ƒ: X → Y получается склейкой конуса над X с Y .

Конус отображения (или кослой) отображения ƒ: X → Y равен $C_{f}=Y\cup _{f}CX$.

2. Цилиндр отображения отображения ƒ: X → Y есть $M_{f}=Y\cup _{f}(X\times I)$. Примечание: $C_{f}=M_{f}/(X\times \{0\})$.

3. Уменьшенные версии вышеописанного получены за счет использования уменьшенного конуса и уменьшенного цилиндра.

4. Пространство путей отображения P _p отображения p : E → B является обратным образом $B^{I}\to B$ вдоль п . Если p — расслоение, то естественное отображение E → P _p является послойной гомотопической эквивалентностью ; таким образом, можно заменить E пространством путей отображения, не меняя гомотопического типа слоя. Пространство путей отображения также называется коцилиндром отображения .

5. Как множество пространство отображений пространства X в пространство Y представляет собой множество всех непрерывных отображений из X в Y . Оно топологизировано таким образом, что пространство отображения является пространством; то есть объект в категории пространств, используемых в алгебраической топологии; например, категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств . Эта топология может быть или не быть компактно-открытой топологией.

Последовательность Майера – Виеториса

микропучок

микропучок

категория модели

Представление ∞-категории . См. также категорию модели .

Мур

1. Пространство Мура

2. Пространство путей Мура .

мультипликативный

Обобщенная теория когомологий E мультипликативна, если E ^* ( X ) — градуированное кольцо . Например, обычная теория когомологий и комплексная K -теория мультипликативны (на самом деле, теории когомологий, определяемые E _∞ -кольцами , мультипликативны.)

Н

n -ячейка

Другой термин для n -диска.

n -связный

Базирующее пространство X является n -связным, если $\pi _{q}X=0$ для всех целых чисел q ≤ n . Например, «1-связный» — это то же самое, что « односвязный ».

n- эквивалент

NDR-пара

Пара пробелов $A\subset X$ называется NDR-парой (=парой ретракта деформации окрестности), если существует отображение $u:X\to I$ и гомотопия $h_{t}:X\to X$ такой, что $A=u^{-1}(0)$, $h_{0}=\operatorname {id} _{X}$, $h_{t}|_{A}=\operatorname {id} _{A}$ и $h_{1}(\{x|u(x)<1\})\subset A$.
Если A — замкнутое подпространство X , то пара $A\subset X$ является NDR-парой тогда и только тогда, когда $A\hookrightarrow X$ является кофибрацией .

нильпотентный

1. нильпотентное пространство ; например, односвязное пространство нильпотентно.

2. Теорема о нильпотентности .

неабелевский

1. неабелевы когомологии

2. неабелева алгебраическая топология.

нормализованный

Для симплициальной группы G нормализованный цепной комплекс NG группы G задается формулой $(NG)_{n}=\cap _{1}^{\infty }\operatorname {ker} d_{i}^{n}$ с n -м дифференциалом, заданным выражением $d_{0}^{n}$; интуитивно выбрасываем вырожденные цепи. Его еще называют комплексом Мура .

О

коцикл с препятствиями

теория препятствий

Теория препятствий — это совокупность конструкций и вычислений, указывающих, когда некоторое отображение на подмногообразии (подкомплексе) может или не может быть расширено на полное многообразие. Обычно это касается башни Постникова , уничтожения гомотопических групп , коциклов препятствий и т. д.

конечного типа

Комплекс CW имеет конечный тип, если в каждом измерении имеется лишь конечное число ячеек.

операда

Сумка из «операций» и «монады». См . операду .

орбирасслоение

orbibundleорбирасслоение

категория орбиты

ориентация

1. Ориентационное накрытие (или ориентационное двойное накрытие) многообразия — это двулистное накрытие, так что каждому слою над x соответствуют два различных способа ориентации окрестности x .

2. Ориентация многообразия – это сечение ориентационного покрытия; т. е. последовательный выбор точки в каждом слое.

3. Ориентационный характер (также называемый первым классом Стифеля–Уитни ) представляет собой групповой гомоморфизм. $\pi _{1}(X,x_{0})\to \{\pm 1\}$ что соответствует ориентационному покрытию многообразия X (ср. #covering .)

4. См. также ориентацию векторного расслоения и ориентационный пучок .

П

пара

1. Пара $(X,A)$ пространств — это пространство X вместе с подпространством $A\subset X$.

2. Карта пар $(X,A)\to (Y,B)$ это карта $X\to Y$ такой, что $f(A)\subset B$.

p -адическая теория гомотопий

- адическая p гомотопическая теория .

распараллеливаемый

класс пути

Класс эквивалентности путей (два пути эквивалентны, если они гомотопны друг другу).

путь подъема

Функция подъема пути для отображения p : E → B — это сечение $E^{I}\to P_{p}$ где $P_{p}$ — отображения p . пространство путей Например, накрытие — это расслоение с единственной функцией подъема пути. Формально карта является расслоением тогда и только тогда, когда для нее существует функция подъема пути.

пространство пути

Пространство путей базового пространства X равно $PX=\operatorname {Map} (I,X)$, пространство основанных карт, где базовая точка I равна 0. Другими словами, это (теоретико-множественный) слой $X^{I}\to X,\,\chi \mapsto \chi (0)$ над базовой точкой X . Проекция $PX\to X,\,\chi \mapsto \chi (1)$ называется расслоением пространства путей , слой которого над базовой точкой X является пространством петель $\Omega X$. См. также отображение пространства пути .

извращенный

сноп Извращенный .

фантомная карта

фантомная карта

кусочно-алгебраическое пространство

кусочно-алгебраическое пространство — понятие, введенное Концевичем и Сойбельманом.

ПЛ

1. PL — сокращение от «кусочно-линейный».

2. PL-многообразие — это топологическое многообразие с максимальным PL-атласом, где PL-атлас — это атлас, в котором карты переходов являются PL.

3. Пространство PL — это пространство с локально конечной симплициальной триангуляцией.

Пуанкаре

1. Анри Пуанкаре .

2. Теорема двойственности Пуанкаре гласит: для данного многообразия M размерности n и абелевой группы A существует естественный изоморфизм

$\operatorname {H} _{c}^{*}(M;A)\simeq \operatorname {H} _{n-*}(M;A)$.

3. Гипотеза Пуанкаре

4. Лемма Пуанкаре утверждает, что высшие когомологии де Рама стягиваемого гладкого многообразия равны нулю.

5. Сфера гомологии Пуанкаре .

Конструкция Понтрягина – Тома

Postnikov system

Система Постникова — это последовательность расслоений, такая, что все предыдущие многообразия имеют исчезающие гомотопические группы ниже заданной размерности.

главное расслоение

Обычно является синонимом G -расслоения .

простое разложение

бесконечный

теория проконечной гомотопии ; он изучает бесконечные пространства .

должным образом прерывистый

Не совсем точный термин. Но это может означать, например, что G дискретна и каждая точка G -пространства имеет окрестность V такую, что для каждого g в G , который не является единичным элементом, gV пересекает V в конечном числе точек.

псевдомногообразие

псевдомногообразие

откат

Учитывая отображение p : E → B , обратный образ p вдоль ƒ : X → B — это пространство $f^{*}E=\{(e,x)\in E\times X|p(e)=f(x)\}$ это эквалайзер p (кратко говоря , и f ). Это пространство над X через проекцию.

Последовательность кукол

Последовательность Puppe относится к любой из последовательностей

$X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}\to \Sigma X\to \Sigma Y\to \cdots ,$

$\cdots \to \Omega X\to \Omega Y\to F_{f}\to X{\overset {f}{\to }}Y$

где $C_{f},F_{f}$ являются гомотопическим кослоем и гомотопическим слоем f .

выталкивание

Данный $A\subset B$ и карта $f:A\to X$, выталкивание X ​ и B вдоль f равно

$X\cup _{f}B=X\sqcup B/(a\sim f(a))$;

то есть X и B склеены вдоль A через f . Отображение f обычно называют присоединяющим отображением.

Важный пример: B = D. ^н , А = S ^{п -1} ; в таком случае формирование такого выталкивания называется присоединением n -ячейки (имеется в виду n к X. -диска )

Вопрос

квазирасслоение

Квазирасслоение — это отображение , слои которого гомотопически эквивалентны друг другу.

Квиллен

1. Дэниел Куиллен

2. Теорема Квиллена гласит, что $\pi _{*}MU$ это кольцо Лазарда .

Р

рациональный

1. Рациональная теория гомотопий .

2. Рационализация пространства X это, грубо говоря, локализация X — в нуле. Точнее, X ₀ вместе с j : X → X ₀ является рационализацией X, если отображение $\pi _{*}X\otimes \mathbb {Q} \to \pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q}$ индуцированный j, является изоморфизмом векторных пространств и $\pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q} \simeq \pi _{*}X_{0}$.

3. Рациональный гомотопический тип является X слабым гомотопическим типом X ₀ .

регулятор

1. Регулятор Борель .

2. Регулятор Бейлинсона .

Райдемейстер

Кручение Райдемейстера .

уменьшенный

Уменьшенная подвеска базового пространства X — это потрясающий продукт. $\Sigma X=X\wedge S^{1}$. Он связан с функтором цикла соотношением $\operatorname {Map} (\Sigma X,Y)=\operatorname {Map} (X,\Omega Y)$ где $\Omega Y=\operatorname {Map} (S^{1},Y)$ это пространство цикла.

убрать

1. Ретрактом карты f называется карта r такая, что $r\circ f$ — тождество (другими словами, f — сечение r ).

2. Подпространство $A\subset X$ называется ретрактом, если отображение включения $A\hookrightarrow X$ допускает отвод (см. #deformation retract ).

кольцевой спектр

Кольцевой спектр — это спектр, удовлетворяющий аксиомам кольца либо на носу, либо с точностью до гомотопии. Например, комплексная K-теория представляет собой кольцевой спектр.

Рохлин

Инвариант Рохлина .

С

Продукт Самельсона

Тугой

1. Жан-Пьер Серр .

2. Тепличный класс .

3. Спектральная последовательность Серра .

простой

простая гомотопическая эквивалентность

Отображение ƒ: X → Y между конечными симплициальными комплексами (например, многообразиями) является простой гомотопической эквивалентностью , если оно гомотопно композиции конечного числа элементарных расширений и элементарных коллапсов . Гомотопическая эквивалентность является простой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда ее кручение Уайтхеда обращается в нуль.

симплициальное приближение

См. теорему о симплициальной аппроксимации .

симплициальный комплекс

См. симплициальный комплекс ; основным примером является триангуляция многообразия.

симплициальная гомология

Симплициальные гомологии — это (канонические) гомологии симплициального комплекса. Обратите внимание, что это применимо к симплициальным комплексам, а не к пространствам; ср. #сингулярная гомология .

инвариант подписи

единственное число

1. Для пространства X и абелевой группы π сингулярная группа гомологий с X коэффициентами из π равна

$\operatorname {H} _{*}(X;\pi )=\operatorname {H} _{*}(C_{*}(X)\otimes \pi )$

где $C_{*}(X)$ – сингулярный цепной X ; комплекс т. е. кусок n -й степени — это свободная абелева группа, порожденная всеми отображениями $\triangle ^{n}\to X$ стандартного n -симплекса к X. от Сингулярная гомология является частным случаем симплициальной гомологии ; действительно, для каждого пространства существует сингулярный симплициальный комплекс X X чьи гомологии являются сингулярными гомологиями X .

2. Функтор сингулярных симплексов – это функтор $\mathbf {Top} \to s\mathbf {Set}$ из категории всех пространств в категорию симплициальных множеств, то есть правосопряженный к функтору геометрической реализации .

3. Сингулярный симплициальный комплекс пространства X — это нормированный цепной комплекс сингулярного симплекса X. пространства

наклонный продукт

Аргумент о маленьком объекте

разбить продукт

Смэш -произведение основанных пространств X , Y равно $X\wedge Y=X\times Y/X\vee Y$. Оно характеризуется присоединенным отношением

$\operatorname {Map} (X\wedge Y,Z)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))$.

Спаниер – Уайтхед

Двойственность Спэньера –Уайтхеда .

спектр

Грубо говоря, последовательность пробелов вместе с картами (называемыми структурными картами) между последовательными членами; см. спектр (топология) .

сферический пучок

— Сферическое расслоение это расслоение, волокнами которого являются сферы.

спектр сферы

Спектр сфер — это спектр, состоящий из последовательности сфер. $S^{0},S^{1},S^{2},S^{3},\dots$ вместе с отображениями между сферами, заданными подвесками. Короче говоря, это суспензии спектр $S^{0}$.

стабильная гомотопическая группа

См. группу #гомотопия .

Гомологии Стинрода

Гомологии Стинрода .

Операция Стинрода

Салливан

1. Деннис Салливан .

2. Гипотеза Салливана .

3.   Салливан, Деннис (1977), «Бесконечно малые вычисления в топологии» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 : 269–331, doi : 10.1007/BF02684341 , S2CID   42019745 — представляет теорию рациональной гомотопии (вместе со статьей Квиллена).

4. Алгебра Салливана в рациональной теории гомотопий.

спектр суспензии

Спектр подвески базируемого пространства X - это спектр, заданный формулой $X_{n}=\Sigma ^{n}X$.

стратифицированный

1. Стратифицированное пространство — это топологическое пространство со стратификацией.

2. Расслоенная теория Морса — это теория Морса, созданная в стратифицированном пространстве.

симметричный спектр

См. симметричный спектр .

симплектическая топология

симплектическая топология .

Т

телескоп

Том

1. Рене Том .

2. Если E — векторное расслоение на паракомпакте X , то пространство Тома ${\text{Th}}(E)$ из E получается сначала заменой каждого слоя его компактификацией, а затем схлопыванием базы X .

3. Изоморфизм Тома гласит: для каждого ориентируемого векторного расслоения E ранга n на многообразии X выбор ориентации ( Тома класс E ) индуцирует изоморфизм

${\widetilde {\operatorname {H} }}^{*+n}({\text{Th}}(E);\mathbb {Z} )\simeq \operatorname {H} ^{*}(X;\mathbb {Z} )$.

4. изотопические леммы Тома Первая и вторая .

5. Отображение Тома, первоначально называвшееся отображением «sans éclatement».

топологическая киральная гомология

передача

нарушение

триангуляция

триангуляция .

У

универсальный коэффициент

Теорема об универсальных коэффициентах .

с точностью до гомотопии

Утверждение справедливо в категории гомотопий, а не в категории пространств.

V

V-образный коллектор

Старый термин для орбифолда .

Ван Кампен

Теорема Ван Кампена гласит: если пространство X линейно связно и если x ₀ — точка из X , то

$\pi _{1}(X,x_{0})=\varinjlim \pi _{1}(U,x_{0})$

где копредел пробегает некоторое открытое покрытие X, состоящее из линейно связных открытых подмножеств, содержащих x _0, такое, что покрытие замкнуто при конечных пересечениях.

Ценности

Двойственность ценностей .

В

Вальдхаузен S-конструкция

Вальдхаузен S-конструкция .

Препятствие конечности стены

слабая эквивалентность

Отображение ƒ: X → Y базовых пространств является слабой эквивалентностью , если для каждого q индуцированное отображение $f_{*}:\pi _{q}X\to \pi _{q}Y$ является биективным.

клин

Для основанных пространств X , Y , клиновое произведение $X\wedge Y$ X ​ и Y является сопроизведением X ​ и Y ; конкретно, оно получается путем их непересекающегося объединения и последующего определения соответствующих базовых точек.

хорошо указан

Базируемое пространство является хорошо указанным (или невырожденно основанным), если включение базовой точки является корасслоением.

Уайтхед

1. Дж.Х.К. Уайтхед .

2. Теорема Уайтхеда утверждает, что для комплексов CW гомотопическая эквивалентность — это то же самое, что и слабая эквивалентность .

3. Группа Уайтхеда .

4. Продукт Уайтхеда .

номер обмотки

1. номер обмотки .

Ссылки

• Адамс, Дж. Ф. (1974). Стабильная гомотопия и обобщенная гомология . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-00524-9 .
• Адамс, Дж. Ф. (1978). Бесконечные пространства циклов . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08206-5 .
• Борель, Арманд (21 мая 2009 г.). Когомологии пересечения . Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-8176-4765-0 .
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Springer, ISBN  0-387-90613-4
• Баусфилд, АК; Кан, Д. М. (1987), Гомотопические пределы, пополнения и локализации , Конспекты лекций по математике, том. 304, Спрингер, ISBN  9783540061052
• Дэвис, Джеймс Ф.; Кирк, Пол. «Конспекты лекций по алгебраической топологии» (PDF) .
• Фултон, Уильям (2013). Алгебраическая топология: первый курс . Спрингер. ISBN  978-1-4612-4180-5 .
• Хэтчер, Аллен. «Алгебраическая топология» .
• Хесс, Кэтрин (2007). «Рациональная теория гомотопий: краткое введение». Взаимодействие теории гомотопий и алгебры . Современная математика. Том. 436. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 175–202. arXiv : math/0604626 . doi : 10.1090/conm/436/08409 (неактивен 12 мая 2024 г.). ISBN  978-0-8218-3814-3 . МР   2355774 . {{cite book}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на май 2024 г. ( ссылка )
• «Алгебраическая топология» (PDF) . Осень 2010 г. Лекции Майкла Хопкинса и заметки Ахила Мэтью, Гарвард.
• Лурье, Дж. (2015). «Алгебраическая K-теория и топология многообразия» . Математика 281 . Гарвардский университет.
• Лурье, Дж. (2011). «Теория хроматической гомотопии» . 252х . Гарвардский университет.
• Мэй, Дж. «Краткий курс алгебраической топологии» (PDF) .
• Мэй, Дж.; Понто, К. «Более краткая алгебраическая топология: локализация, пополнение и категории модели» (PDF) .
• Может; Сигурдссон. «Параметризованная теория гомотопий» (PDF) . (несмотря на название, оно содержит значительное количество общих результатов.)
• Рудяк, Юлий Б. (23 декабря 2014 г.). «Кусочно-линейные структуры на топологических многообразиях». arXiv : math/0105047 .
• Салливан, Деннис . «Геометрическая топология» (PDF) . заметки Массачусетского технологического института 1970 года
• Уайтхед, Джордж Уильям (1978). Элементы теории гомотопий . Тексты для аспирантов по математике. Том. 61 (3-е изд.). Спрингер-Верлаг. стр. XXI+744. ISBN  978-0-387-90336-1 . МР   0516508 .
• Викельгрен, Кирстен Грэм . «8803 Теория стабильной гомотопии» .

Дальнейшее чтение

• Хосе И. Бургос Хиль, Регуляторы Бейлинсона и Бореля
• о группах гомотопических сфер Лекции Дж. П. Левина

Внешние ссылки

• Алгебраическая топология: Путеводитель по литературе. Архивировано 17 декабря 2017 г. в Wayback Machine.