Строительство Хопфа

В алгебраической топологии строит конструкция Хопфа карту из соединения $X*Y$ из двух помещений $X$ и $Y$ к подвеске $SZ$ пространства $Z$ из карты из $X\times Y$ к $Z$. Оно было введено Хопфом ( 1935 ) в случае, когда $X$ и $Y$ являются сферами. Уайтхед (1942) использовал его для определения J-гомоморфизма .

Строительство

Конструкцию Хопфа можно получить как композицию отображения

$X*Y\rightarrow S(X\times Y)$

и подвеска

$S(X\times Y)\rightarrow SZ$

карты из $X\times Y$ к $Z$.

Карта из $X*Y$ к $S(X\times Y)$ можно получить, рассматривая обе стороны как частное $X\times Y\times I$ где $I$ — единичный интервал. Для $X*Y$ человек идентифицирует $(x,y,0)$ с $(z,y,0)$ и $(x,y,1)$ с $(x,z,1)$, в то время как для $S(X\times Y)$ сжимаются все точки формы $(x,y,0)$ в точку, а также сжимает все точки вида $(x,y,1)$ в точку. Итак, карта из $X\times Y\times I$ к $S(X\times Y)$ факторы через $X*Y$.

Ссылки

• Хопф, Х. (1935), "Об изображениях сфер на сферах низших измерений" , Фунд. Математика , 25 : 427–440.
• Уайтхед, Джордж В. (1942), «О гомотопических группах сфер и группах вращения», Annals of Mathematics , Second Series, 43 (4): 634–640, doi : 10.2307/1968956 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1968956 , МР   0007107