Нильпотентное пространство

В топологии , разделе математики , нильпотентное пространство , впервые определенное Эммануэлем Дрором (1969), является базовым топологическим пространством X таким, что

• фундаментальная группа $\pi =\pi _{1}(X)$ является нильпотентной группой ;
• $\pi$ действует бессильно на высших гомотопических группах $\pi _{i}(X),i\geq 2$, т. е. существует центральный ряд $\pi _{i}(X)=G_{1}^{i}\triangleright G_{2}^{i}\triangleright \dots \triangleright G_{n_{i}}^{i}=1$ такая, что индуцированное действие $\pi$ по факторгруппе $G_{k}^{i}/G_{k+1}^{i}$ это тривиально для всех $k$.

Односвязные пространства и простые пространства являются (тривиальными) примерами нильпотентных пространств; другие примеры — связные пространства петель . Гомотопический слой любого отображения нильпотентных пространств является дизъюнктным объединением нильпотентных пространств. Более того, нулевая компонента пространства точечных отображений $\operatorname {Map} _{*}(K,X)$, где K — точечный конечномерный комплекс CW , а X — любое точечное пространство, является нильпотентным пространством. Нечетномерные действительные проективные пространства являются нильпотентными пространствами, а проективная плоскость - нет.

Основная теорема о нильпотентных пространствах утверждает, что любое отображение, которое индуцирует целочисленный изоморфизм гомологии между двумя нильпотентными пространствами, является слабой гомотопической эквивалентностью. Для односвязных пространств эта теорема восстанавливает известное следствие теорем Уайтхеда и Гуревича .

Нильпотентные пространства представляют большой интерес в рациональной теории гомотопий , поскольку большинство конструкций, применимых к односвязным пространствам, могут быть расширены до нильпотентных пространств. Нильпотентное пополнение пространства Баусфилда–Кана сопоставляет любому связному точечному пространству X универсальное пространство. ${\widehat {X}}$ посредством которого любое отображение X в нильпотентное пространство N однозначно факторизуется до сжимаемого пространства выбора. Часто, однако, ${\widehat {X}}$ само по себе не нильпотентно, а лишь обратный предел башни нильпотентных пространств. Эта башня, как пропространство, всегда моделирует тип гомологии данного точечного X. пространства Нильпотентные пространства допускают хорошую арифметическую теорию локализации в цитированном выше смысле Баусфилда и Кана, и неустойчивая спектральная последовательность Адамса сильно сходится для любого такого пространства.

Пусть X — нильпотентное пространство и пусть h — приведенная обобщенная теория гомологии, такая как K-теория . Если h ( X )=0, то h обращается в нуль на любом сечении Постникова X . Это следует из теоремы, утверждающей, чтолюбой такой участок является X -клеточным.