Ориентация векторного расслоения

В математике ориентация вещественного векторного расслоения является обобщением ориентации векторного пространства ; таким образом, для данного векторного расслоения π: E → B ориентация E означает: для каждого слоя E _x существует ориентация векторного пространства E _x и требуется, чтобы каждое отображение тривиализации (которое является отображением расслоения)

\phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {R} ^{n}

послойно сохраняет ориентацию, где R ^н имеет стандартную ориентацию . В более сжатых терминах это говорит о том, что структурная группа расслоения реперов E , которая является вещественной общей линейной группой GL _n ( R ), может быть сведена к подгруппе, состоящей из подгрупп с положительным определителем.

Если E — вещественное векторное расслоение ранга n , то выбор метрики на E сводится к приведению структурной группы к ортогональной группе O ( n ). В этой ситуации ориентация E представляет собой редукцию от O ( n ) к специальной ортогональной группе SO ( n ).

Векторное расслоение вместе с ориентацией называется ориентированным расслоением . Векторное расслоение, которому можно задать ориентацию, называется ориентируемым векторным расслоением .

Базовым инвариантом ориентированного расслоения является класс Эйлера . Умножение (то есть чашечное произведение) на класс Эйлера ориентированного расслоения приводит к последовательности Гайзина .

Примеры

Комплексное векторное расслоение ориентировано каноническим образом.

Понятие ориентации векторного расслоения обобщает ориентацию дифференцируемого многообразия : ориентация дифференцируемого многообразия есть ориентация его касательного расслоения. В частности, дифференцируемое многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда его касательное расслоение ориентируемо как векторное расслоение. (примечание: касательное расслоение как многообразие всегда ориентируемо.)

Операции

Придать ориентацию вещественному векторному расслоению E ранга n — значит придать ориентацию (вещественному) детерминантному расслоению $\operatorname {det} E=\wedge ^{n}E$ Э. придать ориентацию E значит придать ориентацию расслоению единичных сфер E. Аналогично , —

Точно так же, как вещественное векторное расслоение классифицируется действительным бесконечным грассманианом , ориентированные расслоения классифицируются бесконечным грассманианом ориентированных вещественных векторных пространств.

Том космос

С когомологической точки зрения для любого кольца Λ Λ-ориентация вещественного векторного расслоения E ранга n означает выбор (и существование) класса

u\in H^{n}(T(E);\Lambda )

в кольце когомологий пространства Тома T ( E ) такое, что u порождает ${\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda )$ как бесплатный $H^{*}(E;\Lambda )$ -модуль глобально и локально: т.е.

H^{*}(E;\Lambda )\to {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda ),x\mapsto x\smile u

является изоморфизмом (называемым изоморфизмом Тома ), где «тильда» означает приведенные когомологии , которые ограничиваются каждым изоморфизмом

H^{*}(\pi ^{-1}(U);\Lambda )\to {\tilde {H}}^{*}(T(E|_{U});\Lambda )

вызванный тривиализацией $\pi ^{-1}(U)\simeq U\times \mathbf {R} ^{n}$ . Можно показать, приложив некоторую работу, ^{[ нужна ссылка ]} что обычное понятие ориентации совпадает с Z -ориентацией.

См. также

Интегрирование по волокну
Ориентационный пучок (или ориентационный пучок ) — используется для формулировки изоморфизма Тома для неориентированных расслоений.

Ссылки

Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-90613-4
Дж. П. Мэй, Краткий курс алгебраической топологии. Издательство Чикагского университета, 1999.
Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Анналы математических исследований, том. 76, Издательство Принстонского университета; Издательство Токийского университета, ISBN 978-0-691-08122-9