Ориентация (векторное пространство)

Ориентация реального векторного пространства или просто ориентация векторного пространства - это произвольный выбор того, какие упорядоченные базы ориентированы «положительно», а какие «отрицательно». В трехмерном евклидовом пространстве правые основания обычно объявляются положительно ориентированными, но выбор произволен, поскольку им также может быть присвоена отрицательная ориентация. Векторное пространство с выбранной ориентацией называется ориентированным векторным пространством , а пространство без выбранной ориентации называется неориентированный .

В математике цикл ориентируемость — это более широкое понятие, которое в двух измерениях позволяет сказать, когда движется по часовой стрелке или против часовой стрелки, а в трех измерениях, когда фигура левая или правая. В линейной алгебре над действительными числами понятие ориентации имеет смысл в произвольном конечном измерении и представляет собой своего рода асимметрию, которая делает невозможным воспроизведение отражения посредством простого смещения . Таким образом, в трех измерениях невозможно превратить левую руку человеческой фигуры в правую, применяя только смещение, но можно сделать это, отразив фигуру в зеркале. В результате в трехмерном евклидовом пространстве две возможные ориентации базиса называются правосторонней и левосторонней (или правокиральной и левокиральной).

Определение

Пусть V — конечномерное вещественное векторное пространство, а b ₁ и b ₂ — два упорядоченных базиса для V . Стандартным результатом линейной алгебры является существование единственного линейного преобразования A : V → V , которое переводит b ₁ в b ₂ . основания b ₁ и b ₂ Говорят, что имеют одинаковую ориентацию (или последовательно ориентированы), если A имеет положительный определитель ; в противном случае они имеют противоположные ориентации . Свойство одинаковой ориентации определяет отношение эквивалентности на множестве всех упорядоченных базисов для V . Если V не равно нулю, существует ровно два класса эквивалентности , определяемые этим отношением. Ориентация — это присвоение +1 одному на V классу эквивалентности и −1 другому. ^{[ 1 ]}

Каждый упорядоченный базис находится в том или ином классе эквивалентности. Таким образом, любой выбор привилегированного упорядоченного базиса для V определяет ориентацию: класс ориентации привилегированного базиса объявляется положительным.

Например, стандартный базис на R ^н обеспечивает стандартную ориентацию на R ^н (в свою очередь ориентация стандартного базиса зависит от ориентации декартовой системы координат , на которой он построен). Любой выбор линейного изоморфизма между V и R ^н затем обеспечит ориентацию на V .

Порядок элементов в базисе имеет решающее значение. Два основания с разным порядком будут различаться некоторой перестановкой . Они будут иметь одинаковую/противоположную ориентацию в зависимости от того, равна ли сигнатура этой перестановки ±1. Это связано с тем, что определитель матрицы перестановок равен сигнатуре соответствующей перестановки.

Аналогично, пусть A — неособое линейное отображение векторного пространства R ^н в Р ^н. Это отображение сохраняет ориентацию, если его определитель положителен. ^{[ 2 ]} Например, в Р ³ вращение вокруг декартовой оси Z на угол α сохраняет ориентацию: $\mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ в то время как отражение от декартовой плоскости XY не сохраняет ориентацию: $\mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

Нульмерный случай

Понятие ориентации вырождается в нульмерном случае. Нульмерное векторное пространство имеет только одну точку — нулевой вектор. Следовательно, единственным базисом нульмерного векторного пространства является пустое множество $\emptyset$ . Следовательно, существует единственный класс эквивалентности упорядоченных базисов, а именно класс $\{\emptyset \}$ единственным членом которого является пустое множество. Это означает, что ориентация нульмерного пространства есть функция $\{\{\emptyset \}\}\to \{\pm 1\}.$ Таким образом, можно сориентировать точку двумя разными способами: положительным и отрицательным.

Потому что существует только один упорядоченный базис $\emptyset$ , нульмерное векторное пространство — это то же самое, что и нульмерное векторное пространство с упорядоченным базисом. Выбор $\{\emptyset \}\mapsto +1$ или $\{\emptyset \}\mapsto -1$ поэтому выбирает ориентацию каждого базиса любого нульмерного векторного пространства. Если всем нульмерным векторным пространствам присвоена эта ориентация, то, поскольку все изоморфизмы среди нульмерных векторных пространств сохраняют упорядоченный базис, они также сохраняют ориентацию. Это отличается от случая векторных пространств более высокой размерности, где нет возможности выбрать ориентацию, чтобы она сохранялась при всех изоморфизмах.

Однако бывают ситуации, когда желательно придать разным точкам разную ориентацию. Например, рассмотрим фундаментальную теорему исчисления как пример теоремы Стокса . Замкнутый интервал $[a, b]$ представляет собой одномерное многообразие с краем , а его границей является множество ${a, b}$ . Чтобы получить правильную формулировку основной теоремы исчисления, точка $b$ должна быть ориентирована положительно, а точка $a$ должна быть ориентирована отрицательно.

На линии

В одномерном случае речь идет о линии, по которой можно перемещаться в одном из двух направлений. У линии есть две ориентации , как и у круга. В случае сегмента линии (связного подмножества линии) две возможные ориентации приводят к образованию направленных сегментов линии . Ориентируемая поверхность иногда имеет выбранную ориентацию, обозначенную ориентацией линии, перпендикулярной поверхности.

Альтернативные точки зрения

Полилинейная алгебра

Для любого n -мерного вещественного векторного пространства V мы можем сформировать k-ю V степень , внешнюю обозначаемую Λ ^кВ. Это настоящее векторное пространство размерности ${\tbinom {n}{k}}$ . Векторное пространство Λ ^нСледовательно, V (называемая верхней внешней степенью ) имеет размерность 1. То есть Λ ^нV — это просто настоящая линия. Не существует априорного выбора того, какое направление этой линии является положительным. Ориентация – это именно такой выбор. Любая ненулевая линейная форма ω на Λ ^нV определяет ориентацию V , заявляя, что x находится в положительном направлении, когда ω ( x ) > 0. Чтобы соединиться с базисной точкой зрения, мы говорим, что положительно ориентированные базисы - это те, на которых ω оценивается как положительное число ( поскольку ω является n -формой, мы можем вычислить ее на упорядоченном наборе из n векторов, что дает элемент R ). Форма ω называется формой ориентации . Если { e _i } является привилегированным базисом для V и { e _i^∗} — двойственный базис , то форма ориентации, дающая стандартную ориентацию, равна e ₁^∗ ∧ _е2^∗ ∧ … ∧ е _н^∗.

Связь этого с детерминантной точкой зрения такова: определитель эндоморфизма $T:V\to V$ можно интерпретировать как индуцированное воздействие на верхнюю внешнюю мощность.

Теория группы Ли

Пусть B — множество всех упорядоченных баз для V . Тогда общая линейная группа GL( V ) действует свободно и транзитивно B. на (На причудливом языке B — это GL( V ) -торсор ). Это означает что как многообразие , B (неканонически) гомеоморфно GL( V ). Обратите внимание, что группа GL( V ) не связна , а имеет два компонента связности в зависимости от того, является ли определитель преобразования положительным или отрицательным (за исключением GL ₀ , которая является тривиальной группой и, следовательно, имеет единственный связный компонент; это соответствует канонической ориентации в нульмерном векторном пространстве). Единичный компонент GL( V ) обозначается GL ⁺( V ) и состоит из преобразований с положительным определителем. Действие ГЛ ⁺( V ) на B не компонентам транзитивно: существуют две орбиты, соответствующие связным B . Эти орбиты представляют собой именно те классы эквивалентности, о которых говорилось выше. Поскольку B не имеет выделенного элемента (т. е. привилегированного базиса), нет естественного выбора того, какой компонент является положительным. Сравните это с GL( V ), у которого есть привилегированный компонент: компонент идентичности. Конкретный выбор гомеоморфизма между B и GL( V ) эквивалентен выбору привилегированного базиса и, следовательно, определяет ориентацию.

Более формально: $\pi _{0}(\operatorname {GL} (V))=(\operatorname {GL} (V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\}$ , и многообразие Штифеля n -шкалов в $V$ это $\operatorname {GL} (V)$ - торсор , так $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ Торсор закончился $\{\pm 1\}$ , т.е. это 2 точки, и выбор одной из них - это ориентация.

Геометрическая алгебра

Различные объекты геометрической алгебры обладают тремя атрибутами или особенностями : положением, ориентацией и величиной. ^{[ 4 ]} Например, вектор имеет положение, определяемое прямой линией, параллельной ему, ориентацию, определяемую его направлением (часто указываемым стрелкой), и величину, определяемую его длиной. Точно так же бивектор в трех измерениях имеет положение, заданное семейством связанных с ним плоскостей (возможно, заданное нормальной линией, общей для этих плоскостей). ^{[ 5 ]}), ориентация (иногда обозначаемая изогнутой стрелкой на плоскости), указывающая на выбор направления прохождения его границы (его циркуляции ), и величина, задаваемая площадью параллелограмма, определяемой двумя его векторами. ^{[ 6 ]}

Ориентация на многообразиях

Каждая точка p на n -мерном дифференцируемом многообразии имеет касательное пространство T _p M, которое является n -мерным вещественным векторным пространством. Каждому из этих векторных пространств можно присвоить ориентацию. Некоторые ориентации «плавно меняются» от точки к точке. Из-за определенных топологических ограничений это не всегда возможно. Многообразие, допускающее плавный выбор ориентации касательных пространств, называется ориентируемым .

См. также

Ссылки

^ В., Вайсштейн, Эрик. «Векторная ориентация пространства» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 декабря 2017 г. {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ В., Вайсштейн, Эрик. «Ориентация-сохранение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 декабря 2017 г. {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Лео Дорст; Дэниел Фонтейн; Стивен Манн (2009). Геометрическая алгебра для информатики: объектно-ориентированный подход к геометрии (2-е изд.). Морган Кауфманн. п. 32. ISBN 978-0-12-374942-0 . Алгебраический бивектор не имеет конкретной формы; геометрически это количество ориентированных площадей в определенной плоскости, вот и все.
^ Б. Янцевич (1996). «Таблицы 28.1 и 28.2 в разделе 28.3: Формы и псевдоформы » . У Уильяма Эрика Бэйлиса (ред.). Алгебры Клиффорда (геометрические) с приложениями к физике, математике и технике . Спрингер. п. 397. ИСБН 0-8176-3868-7 .
^ Уильям Энтони Грэнвилл (1904). «§178 Нормальная линия к поверхности». Элементы дифференциального и интегрального исчисления . Джинн и компания. п. 275 .
^ Дэвид Хестенс (1999). Новые основы классической механики: Фундаментальные теории физики (2-е изд.). Спрингер. п. 21. ISBN 0-7923-5302-1 .

Внешние ссылки

«Ориентация» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] В., Вайсштейн, Эрик. «Векторная ориентация пространства» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 декабря 2017 г. {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[2] В., Вайсштейн, Эрик. «Ориентация-сохранение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 декабря 2017 г. {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[Dorst-3] Лео Дорст; Дэниел Фонтейн; Стивен Манн (2009). Геометрическая алгебра для информатики: объектно-ориентированный подход к геометрии (2-е изд.). Морган Кауфманн. п. 32. ISBN 978-0-12-374942-0 . Алгебраический бивектор не имеет конкретной формы; геометрически это количество ориентированных площадей в определенной плоскости, вот и все.

[Jancewicz1-4] Б. Янцевич (1996). «Таблицы 28.1 и 28.2 в разделе 28.3: Формы и псевдоформы » . У Уильяма Эрика Бэйлиса (ред.). Алгебры Клиффорда (геометрические) с приложениями к физике, математике и технике . Спрингер. п. 397. ИСБН 0-8176-3868-7 .

[Granville-5] Уильям Энтони Грэнвилл (1904). «§178 Нормальная линия к поверхности». Элементы дифференциального и интегрального исчисления . Джинн и компания. п. 275 .

[Hestenes-6] Дэвид Хестенс (1999). Новые основы классической механики: Фундаментальные теории физики (2-е изд.). Спрингер. п. 21. ISBN 0-7923-5302-1 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]