Тангенциальная и нормальная составляющие

Иллюстрация тангенциальной и нормальной составляющих вектора к поверхности.

В математике , если задан вектор в точке кривой , этот вектор можно однозначно разложить как сумму двух векторов: один касательный к кривой, называемый тангенциальной составляющей вектора, а другой, перпендикулярный кривой, называемый нормальная составляющая вектора. Точно так же вектор в точке поверхности можно разбить таким же образом.

смысле, учитывая подмногообразие N многообразия M и и вектор в касательном пространстве к M в точке N , его можно разложить на компонент, касательный к N, компонент, нормальный к N. В более общем

Формальное определение

Поверхность

Более формально, пусть $S$ быть поверхностью, и $x$ быть точкой на поверхности. Позволять $\mathbf {v}$ быть вектором в $x$. Тогда можно написать однозначно $\mathbf {v}$ как сумма $$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }$$где первый вектор в сумме — это касательная составляющая, а второй — нормальная составляющая. Отсюда сразу следует, что эти два вектора перпендикулярны друг другу.

Чтобы вычислить тангенциальную и нормальную составляющие, рассмотрим единичную нормаль к поверхности, то есть единичный вектор. ${\hat {\mathbf {n} }}$ перпендикулярно $S$ в $x$. Затем, $$\mathbf {v} _{\perp }=\left(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right){\hat {\mathbf {n} }}$$и таким образом $$\mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }$$где " $\cdot$«обозначает скалярное произведение . Другая формула для тангенциальной составляющей: $$\mathbf {v} _{\parallel }=-{\hat {\mathbf {n} }}\times ({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {v} ),$$

где " $\times$«обозначает перекрестное произведение .

Эти формулы не зависят от конкретной единичной нормали. ${\hat {\mathbf {n} }}$ используется (существуют две единичные нормали к любой поверхности в данной точке, направленные в противоположные стороны, поэтому одна из единичных нормалей является отрицательной по отношению к другой).

Подмногообразие

В более общем смысле, учитывая подмногообразие N многообразия M и точку $p\in N$, мы получаем короткую точную последовательность, включающую касательные пространства : $$T_{p}N\to T_{p}M\to T_{p}M/T_{p}N$$Факторпространство ​ $T_{p}M/T_{p}N$ — обобщенное пространство нормальных векторов.

Если M — риманово многообразие , указанная выше последовательность распадается , и касательное пространство M в точке p разлагается как прямая сумма компонента, касательного к N , и компонента, нормального к N : $$T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }$$Таким образом, каждый касательный вектор $v\in T_{p}M$ распадается как $v=v_{\parallel }+v_{\perp }$, где $v_{\parallel }\in T_{p}N$ и $v_{\perp }\in N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }$.

Вычисления

Предположим, что N задано невырожденными уравнениями.

Если N задано явно, через параметрические уравнения (например, параметрическую кривую ), то производная дает остовное множество для касательного расслоения (это базис тогда и только тогда, когда параметризация является погружением ).

Если N задано неявно (как в приведенном выше описании поверхности (или, в более общем плане, как) гиперповерхности ) как множество уровней или пересечение поверхностей уровня для $g_{i}$, то градиенты $g_{i}$ охватывают обычное пространство.

В обоих случаях мы снова можем выполнить вычисления, используя скалярное произведение ; Однако векторное произведение является особенным для трех измерений.

Приложения

• Множители Лагранжа : критические точки с ограничениями — это точки, в которых тангенциальная составляющая полной производной обращается в нуль.
• Поверхность нормальная
• Формулы Френе – Серре
• Дифференциальная геометрия поверхностей § Касательные векторы и векторы нормали

Ссылки

• Рожанский, Владимир (1979). Электромагнитные поля и волны . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-63834-0 .
• Кроуэлл, Бенджамин (2003). Свет и Материя .