Единичный касательный пучок

В римановой геометрии единичное касательное расслоение ( риманова многообразия M , g ) , обозначаемое T ¹ M , UT( M ) или просто UT M , представляет собой расслоение единичной сферы для касательного расслоения T( M ). Это расслоение над M , слой которого в каждой точке является единичной сферой касательного расслоения:

$\mathrm {UT} (M):=\coprod _{x\in M}\left\{v\in \mathrm {T} _{x}(M)\left|g_{x}(v,v)=1\right.\right\},$

где T _x ( M ) обозначает касательное пространство к M в точке x . Таким образом, элементами UT( M ) являются пары ( x , v ), где x — некоторая точка многообразия, а v — некоторое касательное направление (единичной длины) к многообразию в точке x . Единичное касательное расслоение снабжено естественной проекцией

$\pi :\mathrm {UT} (M)\to M,$

$\pi :(x,v)\mapsto x,$

который переводит каждую точку расслоения в ее базовую точку. Волокно π ⁻¹ ( x ) над каждой точкой x ∈ M является ( n −1) -сферой S ^{п -1} , где n — размерность M . Таким образом, единичное касательное расслоение является расслоением сфер над M со слоем S ^{п -1} .

Определение расслоения единичных сфер может легко включать в себя финслеровые многообразия также . В частности, если M — многообразие, снабженное финслеровой метрикой F : TM → R , то расслоение единичных сфер является подрасслоением касательного расслоения, слой которого в точке x является индикатрисой F :

$\mathrm {UT} _{x}(M)=\left\{v\in \mathrm {T} _{x}(M)\left|F(v)=1\right.\right\}.$

Если M — бесконечномерное многообразие (например, многообразие Банаха , Фреше или Гильберта ), то UT( M ) по-прежнему можно рассматривать как расслоение единичных сфер для касательного расслоения T( M ), но слой π ⁻¹ ( x ) над x тогда является бесконечномерной единичной сферой в касательном пространстве.

Структуры

Единичное касательное расслоение несет в себе множество дифференциальных геометрических структур. Метрика на M индуцирует контактную структуру на UT M . Это задается в терминах тавтологической формы , определенной в точке u UT M (единичный касательный вектор M ) формулой

$\theta _{u}(v)=g(u,\pi _{*}v)\,$

где $\pi _{*}$ — это движение вперед вдоль π вектора v ∈ T _u UT M .

Геометрически эту контактную структуру можно рассматривать как распределение (2 n −2)-плоскостей, которое в единичном векторе u является ответом на ортогональное дополнение к u в касательном пространстве к M . Это контактная структура, поскольку слой UT M, очевидно, является целым многообразием (вертикальный расслоение находится всюду в ядре θ), а остальные касательные направления заполняются перемещением слоя UT M вверх . является (открытым множеством) M. Таким образом, максимальное интегральное многообразие θ само по себе

На финслеровом многообразии контактная форма определяется аналогичной формулой

$\theta _{u}(v)=g_{u}(u,\pi _{*}v)\,$

где g _u — фундаментальный тензор ( гессиан метрики Финслера). Геометрически ассоциированное распределение гиперплоскостей в точке u ∈ UT _x M является прообразом относительно π _* касательной гиперплоскости к единичной сфере в T _x M в точке u .

Форма объема θ∧ d θ ^{п -1} определяет меру на M известную как кинематическая мера или мера Лиувилля , которая инвариантна относительно потока M. , геодезического Как мера Радона , кинематическая мера µ определяется на непрерывных функциях ƒ с компактным носителем на UT M формулой

$\int _{UTM}f\,d\mu =\int _{M}dV(p)\int _{UT_{p}M}\left.f\right|_{UT_{p}M}\,d\mu _{p}$

где d V — элемент объема на M , а µ _— стандартная вращательно-инвариантная борелевская мера на евклидовой сфере UT _p M. p

Связность -Чивиты M Леви приводит к расщеплению касательного расслоения

$T(UTM)=H\oplus V$

на вертикальное пространство V = kerπ _* и горизонтальное пространство H , на котором π _* является линейным изоморфизмом в каждой точке UT M . Это расщепление порождает метрику на UT M, объявляя, что это расщепление является ортогональной прямой суммой, и определяя метрику на H с помощью обратного преобразования:

$g_{H}(v,w)=g(v,w),\quad v,w\in H$

и определение метрики на V как метрики, индуцированной вложением слоя UT _x M в евклидово пространство T _x M . Оснащенное этой метрикой и контактной формой, UT M становится сасакиевым многообразием .

Библиография

• Джеффри М. Ли: Многообразия и дифференциальная геометрия . Аспирантура по математике Vol. 107, Американское математическое общество, Провиденс (2009). ISBN   978-0-8218-4815-9
• Юрген Йост : Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer-Verlag, Берлин. ISBN   3-540-42627-2
• Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден : Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон. ISBN   0-8053-0102-X