Сасакиево многообразие

В дифференциальной геометрии ( сасакиево многообразие названное в честь Сигео Сасаки ) является контактным многообразием. $(M,\theta )$ оснащен особым видом римановой метрики $g$, называемая метрикой Сасаки .

Определение

Сасакиева метрика определяется с помощью конструкции риманова конуса . Учитывая риманово многообразие $(M,g)$, его риманов конус есть произведение

$(M\times {\mathbb {R} }^{>0})\,$

из $M$ с полулинией ${\mathbb {R} }^{>0}$,оснащен метрическим конусом

$t^{2}g+dt^{2},\,$

где $t$ это параметр в ${\mathbb {R} }^{>0}$.

Многообразие $M$ оснащен 1-формой $\theta$является контактным тогда и только тогда, когда 2-форма

$d(t^{2}\theta )=t^{2}\,d\theta +2t\,dt\wedge \theta \,$

на своем конусе симплектичен (это один из возможныхопределения контактной структуры). Контактное риманово многообразие называется сасакиевым, если его риманов конус с метрикой конуса является кэлеровым многообразием сКелеровая форма

$t^{2}\,d\theta +2t\,dt\wedge \theta .$

Примеры

В качестве примера рассмотрим

$S^{2n-1}\hookrightarrow {\mathbb {R} }^{2n}={\mathbb {C} }^{n}$

где правая часть представляет собой естественное кэлерово многообразие и читается как конус над сферой (наделенный вложенной метрикой). Контактная 1-форма на $S^{2n-1}$ - это форма, связанная с касательным вектором $i{\vec {N}}$, построенный из единичного нормального вектора ${\vec {N}}$ в сферу ( $i$ представляет собой сложную структуру на ${\mathbb {C} }^{n}$).

Другой некомпактный пример: ${{\mathbb {R} }^{2n+1}}$ с координатами $({\vec {x}},{\vec {y}},z)$ снабжен контактной формой

$\theta ={\frac {1}{2}}dz+\sum _{i}y_{i}\,dx_{i}$

и риманова метрика

$g=\sum _{i}(dx_{i})^{2}+(dy_{i})^{2}+\theta ^{2}.$

В качестве третьего примера рассмотрим:

${\mathbb {P} }^{2n-1}{\mathbb {R} }\hookrightarrow {\mathbb {C} }^{n}/{\mathbb {Z} }_{2}$

где правая часть имеет естественную кэлерову структуру, а группа ${\mathbb {Z} }_{2}$ действует путем отражения в начале координат.

История

Сасакие многообразия были введены в 1960 году японским геометром Сигео Сасаки . С середины 1970-х годов, до появления теории струн , в этой области не было особой активности . С тех пор сасакие многообразия приобрели известность в физике и алгебраической геометрии, в основном благодаря ряду статей Чарльза П. Бойера и Кшиштофа Галицкого и их соавторов.

Векторное поле Риба

Гомотетическое векторное поле на конусе над сасакиевым многообразием определяется как

$t\partial /\partial t.$

Поскольку конус по определению является кэлером, существует комплексная структура J . Векторное поле Риба на сасаском многообразии определяется как

$\xi =-J(t\partial /\partial t).$

Оно никуда не исчезает. Он коммутирует со всеми голоморфными векторами Киллинга на конусе и, в частности, со всеми изометриями сасакиева многообразия. Если орбиты векторного поля замкнуты, то пространство орбит является кэлеровым орбифолдом. Векторное поле Риба в сасакиевом многообразии единичного радиуса является единичным векторным полем и касается вложения.

Многообразия Сасаки – Эйнштейна

Сасакиево многообразие $M$ — многообразие, риманов конус которого кэлеров. Если, кроме того, этот конус Риччи-плоский , $M$ называется Сасаки-Эйнштейна ; если это гиперкэлер , $M$ называется 3-сасакианом . Любое 3-сасакиево многообразие является одновременно многообразием Эйнштейна и спиновым многообразием.

Если M — многообразие Калера–Эйнштейна положительной скалярной кривизны, то, по наблюдению Шошичи Кобаяши , расслоение окружностей S в его каноническом линейном расслоении допускает метрику Сасаки–Эйнштейна таким образом, что проекция из S на M в риманово погружение. (Например, отсюда следует, что существуют метрики Сасаки–Эйнштейна на подходящих расслоениях окружностей над поверхностями дель Пеццо с 3-й по 8-ю .) Хотя эта риманова конструкция субмерсии дает правильную локальную картину любого многообразия Сасаки–Эйнштейна, глобальная структура таких многообразий может быть более сложной. Например, можно в более общем планепостроить многообразия Сасаки–Эйнштейна, начиная с орбифолда Калера–Эйнштейна M. Используя это наблюдение, Бойер, Галицкий и Янош Коллар построили бесконечное множество гомеотипов 5-многообразий Сасаки–Эйнштейна. Та же конструкция показывает, что пространство модулей метрик Эйнштейна на 5-сфере имеет не менее нескольких сотен компонент связности.

Ссылки

• Сигео Сасаки , «О дифференцируемых многообразиях с некоторыми структурами, тесно связанными с почти контактной структурой», Tohoku Math. Дж. 2 (1960), 459–476.
• Чарльз П. Бойер , Кшиштоф Галицкий, Сасакианская геометрия
• Чарльз П. Бойер, Кшиштоф Галицкий, « 3-сасакие многообразия », Обзоры Diff. Геом. 7 (1999) 123-184
• Дарио Мартелли, Джеймс Спаркс и Шинг-Тунг Яу , « Многообразия Сасаки-Эйнштейна и минимизация объема », ArXiv hep-th/0603021

Внешние ссылки

• Страница EoM, Сасакиево многообразие