Гомотопическая теория

В математике — теория гомотопий это систематическое исследование ситуаций, в которых могут возникать отображения с гомотопиями между ними. Она возникла как тема алгебраической топологии , но в настоящее время изучается как самостоятельная дисциплина. Помимо алгебраической топологии, теория также использовалась в других областях математики, таких как алгебраическая геометрия (например, А. ¹ теория гомотопий ) и теория категорий (в частности, изучение высших категорий ).

Концепции

Пространства и карты

В теории гомотопий и алгебраической топологии слово «пространство» обозначает топологическое пространство . Во избежание патологий редко работают с произвольными пространствами; вместо этого требуется, чтобы пространства удовлетворяли дополнительным ограничениям, таким как компактность генерации , Хаусдорф или комплекс CW .

Аналогично описанному выше, « карта » — это непрерывная функция, возможно, с некоторыми дополнительными ограничениями.

Часто работают с заостренным пространством , то есть с пространством с «выделенной точкой», называемой базовой точкой. В таком случае точечная карта — это карта, которая сохраняет базовые точки; то есть он отправляет базовую точку домена в точку кодомена. Напротив, бесплатная карта — это карта, которая не требует сохранения базовых точек.

Гомотопия

Обозначим . единичный интервал Семейство карт, индексированных I , $h_{t}:X\to Y$ называется гомотопией из $h_{0}$ к $h_{1}$ если $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ является отображением (например, это должна быть непрерывная функция ). Когда X , Y — точечные пространства, $h_{t}$ необходимы для сохранения базовых точек. Можно показать, что гомотопия является отношением эквивалентности . Учитывая точечное пространство X и целое число $n\geq 1$ , позволять $\pi _{n}(X)=[S^{n},X]_{*}$ — гомотопические классы базированных отображений $S^{n}\to X$ из (заостренной) n -сферы $S^{n}$ до Х. Как оказалось, $\pi _{n}(X)$ являются группами ; в частности, $\pi _{1}(X)$ называется группой X . фундаментальной

Если кто-то предпочитает работать с пространством, а не с точечным пространством, существует понятие фундаментального группоида (и более высоких вариантов): по определению, фундаментальный группоид пространства X — это категория , в которой объекты являются точками X и морфизмы . являются путями

Кофибрация и расслоение

Карта $f:A\to X$ называется корасслоением, если дано (1) отображение $h_{0}:X\to Z$ и (2) гомотопия $g_{t}:A\to Z$ , существует гомотопия $h_{t}:X\to Z$ который простирается $h_{0}$ и такое, что $h_{t}\circ f=g_{t}$ . В некотором широком смысле это аналог определяющей диаграммы инъективного модуля в абстрактной алгебре . Самый простой пример — пара CW. $(X,A)$ ; поскольку многие работают только с комплексами CW, понятие кофибрации часто подразумевается.

Расслоение отображение в смысле Серра — это двойственное понятие корасслоения, т. е. $p:X\to B$ является расслоением, если дано (1) отображение $Z\to X$ и (2) гомотопия $g_{t}:Z\to B$ , существует гомотопия $h_{t}:Z\to X$ такой, что $h_{0}$ является заданным и $p\circ h_{t}=g_{t}$ . Базовый пример — накрывающее отображение (фактически расслоение — это обобщение накрывающего отображения). Если $E$ — главное G -расслоение , то есть пространство со свободным и транзитивным (топологическим) групповым действием ( топологической ) группы, то отображение проекции $p:E\to X$ является примером расслоения.

Классификация пространств и гомотопические операции

Для топологической группы G классифицирующим пространством главных - G расслоений («с точностью до эквивалентности») является пространство $BG$ такая, что для каждого X пространства

[X,BG]=

{главный G -расслоение на X } / ~

,\,\,[f]\mapsto f^{*}EG

где

левая часть — множество гомотопических классов отображений $X\to BG$ ,
~ обозначает изоморфизм расслоений, а
= дается путем оттягивания отмеченного расслоения $EG$ на $BG$ (называемый универсальным расслоением) вдоль карты $X\to BG$ .

Теорема Брауна о представимости гарантирует существование классифицирующих пространств.

Спектр и обобщенные когомологии

Идея о том, что классифицирующее пространство классифицирует основные пучки, может быть развита дальше. Например, можно попытаться классифицировать классы когомологий: учитывая абелеву группу A (например, $\mathbb {Z}$ ),

[X,K(A,n)]=\operatorname {H} ^{n}(X;A)

где $K(A,n)$ — пространство Эйленберга–Маклейна . Приведенное выше уравнение приводит к понятию обобщенной теории когомологий; т. е. контравариантный функтор из категории пространств в категорию абелевых групп , удовлетворяющий аксиомам, обобщающим обычную теорию когомологий. Как оказывается, такой функтор не может быть представлен пространством, но его всегда можно представить последовательностью (точечных) пространств со структурными отображениями, называемыми спектром. Другими словами, дать обобщенную теорию когомологий — значит дать спектр.

Базовым примером спектра является сферический спектр : $S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots$

Ключевые теоремы

Теорема Зейферта – Ван Кампена
Теорема гомотопического вырезания
Теорема Фрейденталя о подвеске (следствие теоремы об вырезании)
Точная теорема о функторе Ландвебера
Переписка Скрытого-Кана
Аргумент Экмана-Хилтона - это показывает, например, что высшие гомотопические группы являются абелевыми .
Теорема об универсальных коэффициентах

Теория препятствий и характеристический класс

См. также: Характеристический класс , Башня Постникова , Кручение Уайтхеда.

Локализация и завершение пространства

Конкретные теории

Существует несколько конкретных теорий.

Гомотопическая гипотеза

Одним из основных вопросов оснований теории гомотопий является природа пространства. спрашивает Гомотопическая гипотеза , является ли пространство чем-то фундаментально алгебраическим.

Абстрактная теория гомотопий

Концепции

Категории моделей

Симплициальная теория гомотопий

Симплициальная гомотопия

См. также

Ссылки

Мэй, Дж. Краткий курс алгебраической топологии.
Джордж Уильям Уайтхед (1978). Элементы теории гомотопий . Тексты для аспирантов по математике. Том. 61 (3-е изд.). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. стр. XXI+744. ISBN 978-0-387-90336-1 . МР 0516508 . Проверено 6 сентября 2011 г.
Рональд Браун, Топология и группоиды (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8 .

Дальнейшее чтение

Заметки Цисинского
http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf
Математика 527 — Гомотопическая теория. Весна 2013 г., раздел F1 , лекции Мартина Франкленда.

Внешние ссылки

«гомотопическая теория» . ncatlab.org .