Jump to content

Точная теорема о функторе Ландвебера

В математике точная теорема о функторе Ландвебера , названная в честь Питера Ландвебера , является теоремой в алгебраической топологии . Известно, что комплексная направленность теории гомологии приводит к формальному групповому закону . Теорему Ландвебера о точном функторе (или сокращенно LEFT) можно рассматривать как метод обращения этого процесса вспять: она конструирует теорию гомологии на основе формального группового закона.

Заявление [ править ]

Кольцо коэффициентов комплексного кобордизма имеет вид , где степень является . Оно изоморфно градуированному кольцу Лазара. . Это означает, что если задать формальный групповой закон F (степени ) над градуированным кольцом эквивалентно заданию градуированного кольцевого морфизма . Умножение на целое число определяется индуктивно как степенной ряд , по формуле

и

Пусть теперь F — формальный групповой закон над кольцом . Определите топологическое пространство X

Здесь получает свое -структура алгебры через F. Вопрос в том, является ли E теорией гомологии? Очевидно, это гомотопически-инвариантный функтор, осуществляющий вырезание. Проблема в том, что тензоризация в целом не сохраняет точные последовательности. Можно было бы потребовать, чтобы быть плоским , но на практике это было бы слишком сильно. Питер Ландвебер нашел еще один критерий:

теорема (теорема Ландвебера о точной функции)
Для каждого простого числа p существуют элементы так что мы имеем следующее: Предположим, что это оцениваемый -модуль и последовательность является регулярным для , для каждого p и n . Затем
— теория гомологий на CW-комплексах .

В частности, каждый формальный групповой закон F над кольцом дает модуль над поскольку мы получаем через F кольцевой морфизм .

Замечания [ править ]

  • Существует также версия для когомологий Брауна–Петерсона BP. Спектр BP является прямым слагаемым с коэффициентами . Утверждение LEFT остается верным, если зафиксировать простое число p и заменить MU на BP.
  • Классическое доказательство LEFT использует теорему об инвариантных идеалах Ландвебера – Моравы: единственные простые идеалы которые инвариантны относительно взаимодействия являются . Это позволяет проверять плоскостность только по (см. Ландвебер, 1976).
  • ЛЕВУЮ можно усилить следующим образом: пусть — (гомотопическая) категория Ландвебера точная -модули и категория спектров MU-модулей M такая, что точен Ландвебер. Тогда функтор есть эквивалентность категорий. Обратный функтор (задаваемый LEFT) принимает -алгебры в (гомотопические) спектры MU-алгебр (см. Hovey, Strickland, 1999, Thm 2.7).

Примеры [ править ]

Архетипическим и первым известным (нетривиальным) примером является комплексная К-теория К. Комплексная К-теория комплексно ориентирована и имеет формальный групповой закон. . Соответствующий морфизм также известен как род Тодда . Тогда мы имеем изоморфизм

называется изоморфизмом Коннера–Флойда .

Хотя комплексная K-теория раньше строилась геометрическими средствами, многие теории гомологии были сначала построены с помощью точной теоремы о функторе Ландвебера. Сюда входят эллиптические гомологии , теории Джонсона-Вильсона. и спектры Любина – Тейта .

Хотя гомологии с рациональными коэффициентами точна по Ландвеберу, гомологии с целыми коэффициентами не является точным по Ландвеберу. Более того, K-теория Моравы K(n) не является точной по Ландвеберу.

Современная editпереформулировка

Модуль М над то же самое, что квазикогерентный пучок над , где L — кольцо Лазара. Если , то M имеет дополнительные данные a сотрудничество. Кодействие на уровне кольца соответствует тому, что является эквивариантным пучком относительно действия аффинной групповой схемы G. Это теорема Квиллена , что и присваивает каждому кольцу R группу степенных рядов

.

Он действует на основе формальных групповых законов. с помощью

.

Это всего лишь координатные изменения формальных групповых законов. Следовательно, можно определить стека коэффициент со стеком (1-мерных) формальных групп и определяет квазикогерентный пучок над этим стеком. Теперь совершенно легко увидеть, что достаточно того, что M определяет квазикогерентный пучок который плоский для того, чтобы является теорией гомологии. Тогда теорему о точности Ландвебера можно интерпретировать как критерий плоскостности для (см. Лурье 2010).

Уточнения -кольцевые спектры [ править ]

Хотя известно, что ЛЕВЫЙ создает (гомотопические) кольцевые спектры из , гораздо более тонкий вопрос – понять, когда эти спектры на самом деле -кольцевые спектры . По состоянию на 2010 год наилучшего прогресса добился Якоб Лурье . Если X — алгебраический стек и плоской карты стопок, обсуждение выше показывает, что мы получаем предпучок (гомотопических) кольцевых спектров на X. Если это отображение учитывает (стопка одномерных p-делимых групп высоты n) и отображение этальный , то этот предпучок можно уточнить до пучка -кольцевые спектры (см. Гёрс). Эта теорема важна для построения топологических модулярных форм .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Гёрсс, Пол. «Реализация семейств теорий точной гомологии Ландвебера» (PDF) .
  • Хови, Марк; Стрикленд, Нил П. (1999), «К-теории Моравы и локализация» , Мемуары Американского математического общества , 139 (666), doi : 10.1090/memo/0666 , MR   1601906 , заархивировано из оригинала 2004-12- 07
  • Ландвебер, Питер С. (1976). «Гомологические свойства комодулей над и «. Американский журнал математики . 98 (3): 591–610. : 10.2307 /2373808 . JSTOR   2373808 . doi
  • Лурье, Джейкоб (2010). «Теория хроматической гомотопии. Конспект лекций» .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 6b5f4cbf1e4dec1daf8a81f904abe577__1699337040
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/6b/77/6b5f4cbf1e4dec1daf8a81f904abe577.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Landweber exact functor theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)