Точная теорема о функторе Ландвебера
Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( июнь 2020 г. ) |
В математике точная теорема о функторе Ландвебера , названная в честь Питера Ландвебера , является теоремой в алгебраической топологии . Известно, что комплексная направленность теории гомологии приводит к формальному групповому закону . Теорему Ландвебера о точном функторе (или сокращенно LEFT) можно рассматривать как метод обращения этого процесса вспять: она конструирует теорию гомологии на основе формального группового закона.
Заявление [ править ]
Кольцо коэффициентов комплексного кобордизма имеет вид , где степень является . Оно изоморфно градуированному кольцу Лазара. . Это означает, что если задать формальный групповой закон F (степени ) над градуированным кольцом эквивалентно заданию градуированного кольцевого морфизма . Умножение на целое число определяется индуктивно как степенной ряд , по формуле
- и
Пусть теперь F — формальный групповой закон над кольцом . Определите топологическое пространство X
Здесь получает свое -структура алгебры через F. Вопрос в том, является ли E теорией гомологии? Очевидно, это гомотопически-инвариантный функтор, осуществляющий вырезание. Проблема в том, что тензоризация в целом не сохраняет точные последовательности. Можно было бы потребовать, чтобы быть плоским , но на практике это было бы слишком сильно. Питер Ландвебер нашел еще один критерий:
- теорема (теорема Ландвебера о точной функции)
- Для каждого простого числа p существуют элементы так что мы имеем следующее: Предположим, что это оцениваемый -модуль и последовательность является регулярным для , для каждого p и n . Затем
- — теория гомологий на CW-комплексах .
В частности, каждый формальный групповой закон F над кольцом дает модуль над поскольку мы получаем через F кольцевой морфизм .
Замечания [ править ]
- Существует также версия для когомологий Брауна–Петерсона BP. Спектр BP является прямым слагаемым с коэффициентами . Утверждение LEFT остается верным, если зафиксировать простое число p и заменить MU на BP.
- Классическое доказательство LEFT использует теорему об инвариантных идеалах Ландвебера – Моравы: единственные простые идеалы которые инвариантны относительно взаимодействия являются . Это позволяет проверять плоскостность только по (см. Ландвебер, 1976).
- ЛЕВУЮ можно усилить следующим образом: пусть — (гомотопическая) категория Ландвебера точная -модули и категория спектров MU-модулей M такая, что точен Ландвебер. Тогда функтор есть эквивалентность категорий. Обратный функтор (задаваемый LEFT) принимает -алгебры в (гомотопические) спектры MU-алгебр (см. Hovey, Strickland, 1999, Thm 2.7).
Примеры [ править ]
Архетипическим и первым известным (нетривиальным) примером является комплексная К-теория К. Комплексная К-теория комплексно ориентирована и имеет формальный групповой закон. . Соответствующий морфизм также известен как род Тодда . Тогда мы имеем изоморфизм
называется изоморфизмом Коннера–Флойда .
Хотя комплексная K-теория раньше строилась геометрическими средствами, многие теории гомологии были сначала построены с помощью точной теоремы о функторе Ландвебера. Сюда входят эллиптические гомологии , теории Джонсона-Вильсона. и спектры Любина – Тейта .
Хотя гомологии с рациональными коэффициентами точна по Ландвеберу, гомологии с целыми коэффициентами не является точным по Ландвеберу. Более того, K-теория Моравы K(n) не является точной по Ландвеберу.
Современная editпереформулировка
Модуль М над то же самое, что квазикогерентный пучок над , где L — кольцо Лазара. Если , то M имеет дополнительные данные a сотрудничество. Кодействие на уровне кольца соответствует тому, что является эквивариантным пучком относительно действия аффинной групповой схемы G. Это теорема Квиллена , что и присваивает каждому кольцу R группу степенных рядов
- .
Он действует на основе формальных групповых законов. с помощью
- .
Это всего лишь координатные изменения формальных групповых законов. Следовательно, можно определить стека коэффициент со стеком (1-мерных) формальных групп и определяет квазикогерентный пучок над этим стеком. Теперь совершенно легко увидеть, что достаточно того, что M определяет квазикогерентный пучок который плоский для того, чтобы является теорией гомологии. Тогда теорему о точности Ландвебера можно интерпретировать как критерий плоскостности для (см. Лурье 2010).
Уточнения -кольцевые спектры [ править ]
Хотя известно, что ЛЕВЫЙ создает (гомотопические) кольцевые спектры из , гораздо более тонкий вопрос – понять, когда эти спектры на самом деле -кольцевые спектры . По состоянию на 2010 год наилучшего прогресса добился Якоб Лурье . Если X — алгебраический стек и плоской карты стопок, обсуждение выше показывает, что мы получаем предпучок (гомотопических) кольцевых спектров на X. Если это отображение учитывает (стопка одномерных p-делимых групп высоты n) и отображение этальный , то этот предпучок можно уточнить до пучка -кольцевые спектры (см. Гёрс). Эта теорема важна для построения топологических модулярных форм .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Гёрсс, Пол. «Реализация семейств теорий точной гомологии Ландвебера» (PDF) .
- Хови, Марк; Стрикленд, Нил П. (1999), «К-теории Моравы и локализация» , Мемуары Американского математического общества , 139 (666), doi : 10.1090/memo/0666 , MR 1601906 , заархивировано из оригинала 2004-12- 07
- Ландвебер, Питер С. (1976). «Гомологические свойства комодулей над и «. Американский журнал математики . 98 (3): 591–610. : 10.2307 /2373808 . JSTOR 2373808 . doi
- Лурье, Джейкоб (2010). «Теория хроматической гомотопии. Конспект лекций» .