Комплексный кобордизм

В математике комплексный кобордизм — это теория когомологий, связанная с кобордизмом многообразий обобщенная . Его спектр обозначается MU. Это исключительно мощная теория когомологий , но ее довольно сложно вычислить, поэтому часто вместо того, чтобы использовать ее напрямую, используются несколько более слабые теории, выведенные из нее, такие как когомологии Брауна-Петерсона или K-теория Моравы , которые легче вычислить. .

Теории обобщенных гомологий и когомологических комплексных кобордизмов были введены Майклом Атьей ( 1961 ) с использованием спектра Тома .

Спектр комплексного кобордизма

Сложный бордизм $MU^{*}(X)$ пространства $X$ грубо говоря, представляет собой группу классов бордизмов многообразий над $X$ со сложной линейной структурой на устойчивом нормальном расслоении . Комплексный бордизм — это обобщенная теория гомологии , соответствующая спектру MU, который можно явно описать в терминах пространств Тома следующим образом.

Пространство $MU(n)$ — пространство Тома универсального $n$-плоское расслоение над классифицирующим пространством $BU(n)$ унитарной группы $U(n)$. Естественное включение из $U(n)$ в $U(n+1)$ вызывает карту из двойной подвески $\Sigma ^{2}MU(n)$ к $MU(n+1)$. Вместе эти карты дают спектр $MU$; а именно, это копредел гомотопический $MU(n)$.

Примеры: $MU(0)$ – спектр сферы. $MU(1)$ это отстранение $\Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }$ из $\mathbb {CP} ^{\infty }$.

Теорема нильпотентности утверждает, что для любого кольцевого спектра $R$, ядро $\pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ состоит из нильпотентных элементов. Из теоремы следует, в частности, что если $\mathbb {S}$ – спектр сферы, то для любого $n>0$, каждый элемент $\pi _{n}\mathbb {S}$ нильпотентен (теорема Горо Нисиды ). (Доказательство: если $x$ находится в $\pi _{n}S$, затем $x$ является кручением, но его образ в $\operatorname {MU} _{*}(\mathbb {S} )\simeq L$, кольцо Лазарда , не может быть крученым, так как $L$ является многочленным кольцом. Таким образом, $x$ должно быть в ядре.)

Формальные групповые законы

Джон Милнор ( 1960 ) и Сергей Новиков ( 1960 , 1962 ) показали, что кольцо коэффициентов $\pi _{*}(\operatorname {MU} )$ (равный комплексному кобордизму точки или, что то же самое, кольцу классов кобордизмов стабильно комплексных многообразий) является кольцом полиномов $\mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]$ на бесконечном числе генераторов $x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )$ положительных четных степеней.

Писать $\mathbb {CP} ^{\infty }$ для бесконечномерного комплексного проективного пространства , которое является классифицирующим пространством для комплексных линейных расслоений, так что тензорное произведение линейных расслоений индуцирует отображение $\mu :\mathbb {CP} ^{\infty }\times \mathbb {CP} ^{\infty }\to \mathbb {CP} ^{\infty }.$ Комплексная ориентация в ассоциативном коммутативном кольцевом спектре E — это элемент x в $E^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })$ чьи ограничения на $E^{2}(\mathbb {CP} ^{1})$ равно 1, если последнее кольцо отождествляется с кольцом коэффициентов E . Спектр E с таким элементом x называется комплексно-ориентированным кольцевым спектром .

Если E — комплексно-ориентированный кольцевой спектр, то

$E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x]]$

$E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })\times E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$

и $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ является формальным групповым законом над кольцом $E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)$.

Комплексный кобордизм имеет естественную комплексную ориентацию. Дэниел Квиллен ( 1969 ) показал, что существует естественный изоморфизм кольца коэффициентов универсального кольца Лазара , превращая формальный групповой закон комплексного кобордизма в универсальный формальный групповой закон. Другими словами, для любого формального группового закона F над любым коммутативным кольцом R существует единственный гомоморфизм колец из MU ^* (точка) на R такая, что F является возвратом формального группового закона комплексного кобордизма.

Смотрите также: теория комплексно-ориентируемых когомологий

Когомологии Брауна – Петерсона

Комплексный кобордизм рациональных чисел можно свести к обычным когомологиям рациональных чисел, поэтому основной интерес представляет кручение комплексных кобордизмов. Часто бывает проще изучать кручение по одному простому числу за раз, локализуя MU в простом числе p ; грубо говоря, это означает, что нужно уничтожить кручение, простое к p . Локализация MU _p MU в простом числе p распадается как сумма надстроек более простой теории когомологий, называемой когомологиями Брауна-Петерсона , впервые описанной Брауном и Петерсоном (1966) . На практике расчеты часто производятся с когомологиями Брауна–Петерсона, а не с комплексными кобордизмами. Знание когомологий Брауна–Петерсона пространства для всех простых чисел p примерно эквивалентно знанию его комплексного кобордизма.

Классы Коннера – Флойда

Кольцо $\operatorname {MU} ^{*}(BU)$ изоморфно кольцу формальных степенных рядов $\operatorname {MU} ^{*}({\text{point}})[[cf_{1},cf_{2},\ldots ]]$ где элементы cf называются классами Коннера–Флойда. Они являются аналогами классов Чженя комплексных кобордизмов. Они были представлены Коннером и Флойдом (1966) .

Сходным образом $\operatorname {MU} _{*}(BU)$ изоморфно кольцу полиномов $\operatorname {MU} _{*}({\text{point}})[[\beta _{1},\beta _{2},\ldots ]]$

Когомологические операции

Алгебра Хопфа MU _* (MU) изоморфна алгебре полиномов R[b ₁ , b ₂ , ...], где R — приведенное кольцо бордизмов 0-сферы.

Копродукт определяется выражением

$\psi (b_{k})=\sum _{i+j=k}(b)_{2i}^{j+1}\otimes b_{j}$

где обозначение () _{2 i} означает взять кусок степени 2 i . Это можно интерпретировать следующим образом. Карта

$x\to x+b_{1}x^{2}+b_{2}x^{3}+\cdots$

является непрерывным автоморфизмом кольца формальных степенных рядов по x , а копроизведение MU _* (MU) дает композицию двух таких автоморфизмов.

См. также

• Спектральная последовательность Адамса – Новикова
• Список теорий когомологии
• Алгебраический кобордизм

Ссылки

• Адамс, Дж. Франк (1974), Стабильная гомотопия и обобщенная гомология , University of Chicago Press , ISBN  978-0-226-00524-9
• Атья, Майкл Фрэнсис (1961), «Бордизм и кобордизм», Proc. Кембриджская философия. Соц. , 57 (2): 200–208, Bibcode : 1961PCPS...57..200A , doi : 10.1017/S0305004100035064 , MR   0126856 , S2CID   122937421
• Браун, Эдгар Х. младший ; Петерсон, Франклин П. (1966), «Спектр, чей $\mathbb {Z} _{p}$ когомологии – это алгебра приведенных p ^й полномочия», Топология , 5 (2): 149–154, doi : 10.1016/0040-9383(66)90015-2 , MR   0192494 .
• Коннер, Пьер Э .; Флойд, Эдвин Э. (1966), Связь кобордизма с K-теориями , Конспект лекций по математике, том. 28, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0071091 , ISBN.  978-3-540-03610-4 , МР   0216511
• Милнор, Джон (1960), «О кольце кобордизмов». $\Omega _{*}$ и комплексный аналог, часть I», American Journal of Mathematics , 82 (3): 505–521, doi : 10.2307/2372970 , JSTOR   2372970.
• Морава, Джек (2007). «Комплексный кобордизм и алгебраическая топология». arXiv : 0707.3216 [ math.HO ].
• Новиков, Сергей П. (1960), "Некоторые вопросы топологии многообразий, связанные с теорией пространств Тома", Сов. матем. Докл. , 1 : 717–720 . Перевод "О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома", Doklady Akademii Nauk SSSR , 132 (5): 1031–1034, MR  0121815 , Zbl  0094.35902 .
• Новиков, Сергей П. (1962), "Гомотопические свойства комплексов Тома. (Русский)", Матем. Сб. , Новая серия, 57 : 407–442, МР   0157381
• Куиллен, Дэниел (1969), «О формальных групповых законах неориентированной и сложной теории кобордизмов», Бюллетень Американского математического общества , 75 (6): 1293–1298, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12401-8 , МР   0253350 .
• Равенел, Дуглас К. (1980), «Комплексный кобордизм и его приложения к теории гомотопий» , Труды Международного конгресса математиков (Хельсинки, 1978) , том. 1, Хельсинки: Акад. наук. Фенника, стр. 491–496, ISBN.  978-951-41-0352-0 , МР   0562646
• Равенел, Дуглас К. (1988), «Теория комплексных кобордизмов для теоретиков чисел», Эллиптические кривые и модульные формы в алгебраической топологии , Конспекты лекций по математике, том. 1326, Берлин / Гейдельберг: Springer, стр. 123–133, doi : 10.1007/BFb0078042 , ISBN.  978-3-540-19490-3 , ISSN   1617-9692
• Равенел, Дуглас К. (2003), Комплексный кобордизм и стабильные гомотопические группы сфер (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN  978-0-8218-2967-7 , МР   0860042
• Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], «Кобордизм» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Стонг, Роберт Э. (1968), Заметки по теории кобордизмов , Princeton University Press
• Том, Рене (1954), «Некоторые глобальные свойства дифференцируемых многообразий» , Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi : 10.1007/BF02566923 , MR   0061823 , S2CID   120243638

Внешние ссылки

• Комплексные бордизмы в атласе многообразий
• теория когомологий кобордизмов в n Lab