Топологические модульные формы

В математике топологические модульные формы (тмф) — это название спектра , описывающего обобщенную теорию когомологий . Конкретно, для любого целого числа n существует топологическое пространство. $\operatorname {tmf} ^{n}$ , и эти пространства снабжены определенными отображениями между ними, так что для любого топологического пространства X можно получить структуру абелевой группы на множестве $\operatorname {tmf} ^{n}(X)$ гомотопических классов непрерывных отображений из X в $\operatorname {tmf} ^{n}$ . Одной особенностью, которая отличает tmf является тот факт, что его кольцо коэффициентов , $\operatorname {tmf} ^{0}$ (точка), почти то же самое, что градуированное кольцо голоморфных модулярных форм с целочисленными каспа- разложениями. Действительно, эти два кольца становятся изоморфными после инвертирования простых чисел 2 и 3, но эта инверсия стирает много информации о кручении в кольце коэффициентов.

Спектр топологических модулярных форм строится как глобальные сечения пучка E спектров -бесконечности колец на стеке модулей (обобщенных) эллиптических кривых . Эта теория имеет отношение к теории модулярных форм в теории чисел , группах сфер и предположительной теории индекса на пространствах петель многообразий гомотопических . tmf был впервые создан Майклом Хопкинсом и Хейнсом Миллером ; многие вычисления можно найти в препринтах и статьях Пола Гёрсса , Хопкинса, Марка Маховальда , Миллера, Чарльза Резка и Тилмана Бауэра.

Строительство [ править ]

Исходная конструкция tmf использует теорию препятствий Хопкинса , Миллера и Пола Гёрсса и основана на идеях Дуайера, Кана и Стовера. В этом подходе определяется предпучок O ^{вершина} («top» означает « топологический ») мультипликативных когомологических теорий на этальном участке модулей стека эллиптических кривых и показывает, что это можно поднять по существу уникальным способом до пучка кольцевых спектров E-бесконечности. Этот пучок обладает следующим свойством: любой этальной эллиптической кривой над кольцом R он ставит в соответствие кольцевой спектр E-бесконечности (классическая теория эллиптических когомологий ), ассоциированная формальная группа которого является формальной группой этой эллиптической кривой.

Вторая конструкция, предложенная Джейкобом Лурье , строит tmf, скорее, описывая проблему модулей, которую он представляет, и применяя общую теорию представимости, чтобы затем показать существование: точно так же, как стек модулей эллиптических кривых представляет функтор , который присваивает кольцу категорию эллиптических кривых над ним стек вместе с пучком спектров колец E-бесконечности представляет собой функтор, который присваивает кольцу E-бесконечности категорию ориентированных производных эллиптических кривых, интерпретируемых соответствующим образом. Эти конструкции работают над набором модулей гладких Делиня-Мамфорда эллиптических кривых, а также для компактификации этого набора модулей, в которую включены эллиптические кривые с узловыми особенностями. TMF — это спектр, который получается в результате глобальных сечений над стеком модулей гладких кривых, а tmf — это спектр, возникающий как глобальные сечения компактификации Делиня-Мамфорда .

TMF — периодическая версия соединительной tmf. В то время как кольцевые спектры, используемые для построения TMF, являются периодическими с периодом 2, сам TMF имеет период 576. Периодичность связана с модульным дискриминантом .

Связь с другими частями математики [ править ]

Некоторый интерес к tmf исходит от теории струн и конформной теории поля . Грэм Сигал впервые предложил в 1980-х годах представить геометрическую конструкцию эллиптических когомологий (предшественника tmf) как своего рода пространство модулей конформных теорий поля, и эти идеи были продолжены и расширены Стефаном Штольцем и Питером Тейхнером. Их программа состоит в том, чтобы попытаться построить ТМФ как пространство модулей суперсимметричных евклидовых теорий поля .

В работе, более непосредственно мотивированной теорией струн, Эдвард Виттен ввел род Виттена , гомоморфизм кольца струнных бордизмов в кольцо модулярных форм, используя эквивариантную теорию индекса в формальной окрестности тривиального локуса в пространстве петель многообразия. Это сопоставляет любому спиновому многообразию с исчезающей половиной первого класса Понтрягина модулярную форму. Благодаря работам Хопкинса, Мэтью Андо, Чарльза Резка и Нила Стрикленда род Виттенов можно поднять до топологии. То есть, существует отображение спектра струнных бордизмов в tmf (так называемая ориентация ) такое, что род Виттена восстанавливается как композиция индуцированного отображения на гомотопических группах этих спектров и отображения гомотопических групп tmf в модульные формы. Это позволило доказать некоторые утверждения о делимости рода Witten. Ориентация tmf аналогична отображению Атьи–Ботта–Шапиро спектра спинбордизма в классическую K-теорию , которое представляет собой подъем уравнения Дирака до топологии.

Ссылки [ править ]

Бауэр, Тилман (2008). «Расчет гомотопии спектра ТМФ». Группы, гомотопии и конфигурационные пространства (Токио, 2005) . Монографии по геометрии и топологии. Том. 13. С. 11–40. arXiv : math.AT/0311328 . дои : 10.2140/gtm.2008.13.11 . S2CID 1396008 .
Беренс, М., Заметки о построении tmf (2007), http://www-math.mit.edu/~mbehrens/papers/buildTMF.pdf.
Дуглас, Кристофер Л.; Фрэнсис, Джон; Энрикес, Андре Г.; и др., ред. (2014). Топологические модульные формы . Математические обзоры и монографии. Том. АМС 201. ISBN 978-1-4704-1884-7 .
Гёрсс П. и Хопкинс М., Пространства модулей коммутативных кольцевых спектров, http://www.math.northwestern.edu/~pgoerss/papers/sum.pdf
Хопкинс, MJ (2002). «Алгебраическая топология и модульные формы». Труды Международного конгресса математиков, Vol. Я (Пекин, 2002) . Пекин: Высшее изд. Нажимать. стр. 291–317. arXiv : math.AT/0212397 . ISBN 7-04-008690-5 . МР 1989190 .
Хопкинс М. и Маховальд М., От эллиптических кривых к теории гомотопии (1998), http://www.math.purdue.edu/research/atopology/Hopkins-Mahowald/eo2homotopy.pdf . Архивировано 11 сентября 2006 г. в Вейбэк-машина
Лурье, Дж. Обзор эллиптических когомологий (2007), http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/survey.pdf
Резк, К., http://www.math.uiuc.edu/~rezk/512-spr2001-notes.pdf
Штольц С. и Тейхнер П., Суперсимметричные евклидовы теории поля и обобщенные когомологии (2008), http://math.berkeley.edu/~teichner/Papers/Survey.pdf