Топологическая К -теория

В математике топологическая топологии $К$ -теория является разделом алгебраической . Он был основан для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, ныне признанных (общей) К-теорией , которые были введены Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической $К$ -теории принадлежат Михаэлю Атье и Фридриху Хирцебруху .

Определения

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство и $k=\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ . Затем $K_{k}(X)$ определяется как группа Гротендика коммутативного моноида конечномерных классов изоморфизма k $-векторных$ расслоений над $X$ относительно суммы Уитни . Тензорное произведение расслоений придает $K$ -теории коммутативную кольцевую структуру. Без индексов, $K(X)$ обычно обозначает комплексную $K$ -теорию, тогда как реальную $K$ -теорию иногда записывают как $KO(X)$ . Оставшееся обсуждение сосредоточено на комплексной $K$ -теории.

В качестве первого примера отметим, что $K$ -теория точки представляет собой целые числа. Это связано с тем, что векторные расслоения над точкой тривиальны и, следовательно, классифицируются по своему рангу, а группа Гротендика натуральных чисел является целыми числами.

Существует также сокращенная версия $К$ -теории, ${\widetilde {K}}(X)$ , определил для $X$ компактное точечное пространство (ср. приведенные гомологии ). Эта редуцированная теория интуитивно представляет собой $K (X)$ по модулю тривиальных расслоений . Он определяется как группа стабильных классов эквивалентности расслоений. Два расслоения $E$ и $F$ называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения $\varepsilon _{1}$ и $\varepsilon _{2}$ , так что $E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}$ . Это отношение эквивалентности приводит к образованию группы, поскольку каждое векторное расслоение можно дополнить до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. Альтернативно, ${\widetilde {K}}(X)$ можно определить как ядро карты $K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z}$ индуцированное включением базовой точки $x 0$ в $X$ .

$K$ -теория образует мультипликативную (обобщенную) теорию когомологий следующим образом. Короткая точная последовательность пары точечных пространств $(X, A)$

{\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)

распространяется на длинную точную последовательность

\cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A).

Пусть $S н$ быть $n$ -й приведенной надстройкой пространства, а затем определить

{\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.

Отрицательные индексы выбираются для того, чтобы карты кограниц увеличивали размерность.

Часто бывает полезно иметь несокращенную версию этих групп, просто определив:

K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).

Здесь $X_{+}$ является $X$ с присоединенной непересекающейся базовой точкой, помеченной знаком «+». ^[1]

Наконец, сформулированная ниже теорема о периодичности Ботта распространяет теории на положительные целые числа.

Характеристики

$K^{n}$ (соответственно, ${\widetilde {K}}^{n}$ ) — контравариантный функтор из гомотопической категории (заостренных) пространств в категорию коммутативных колец. Так, например, $К$ -теория над сжимаемыми пространствами всегда $\mathbb {Z} .$
Спектр есть теории $К$ - $BU\times \mathbb {Z}$ (с дискретной топологией на $\mathbb {Z}$ ), т.е. $K(X)\cong \left[X_{+},\mathbb {Z} \times BU\right],$ где $[, ]$ обозначает точечные гомотопические классы, а $BU$ — копредел классифицирующих пространств унитарных групп : $BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).$ Сходным образом, ${\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].$ Для настоящей $K$ -теории используйте $BO$ .
Существует естественный гомоморфизм колец $K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),$ характер Черна такой, что $K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )$ является изоморфизмом.
Эквивалентом операций Стинрода в $К$ -теории являются операции Адамса . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической $K$ -теории.
Принцип расщепления топологической $K$ -теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах линейных расслоений.
Теорема Тома об изоморфизме в топологической $K$ -теории имеет вид $K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),$ где $T (E)$ — Тома векторного расслоения $E$ над $X.$ пространство Это справедливо, когда $E$ является спин-расслоением.
Спектральная последовательность Атьи -Хирцебруха позволяет вычислять $K$ -группы из обычных групп когомологий.
Топологическую $K$ -теорию можно широко обобщить до функтора на C*-алгебрах , см. операторную K-теорию и KK-теорию .

Периодичность Ботта

Явление периодичности, названное в честь Рауля Ботта (см. теорему о периодичности Ботта ), можно сформулировать так:

$K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),$ и $K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}$ где H — класс тавтологического расслоения на $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),$ то есть сфера Римана .
${\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).$
$\Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .$

В реальной $К$ -теории существует аналогичная периодичность, но по модулю 8.

Приложения

Топологическая $K$ -теория была применена Джоном Франком Адамсом в доказательстве «инвариантной проблемы Хопфа» с помощью операций Адамса . ^[2] Адамс также доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах . ^[3]

Черн персонаж

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, касающуюся топологической K-теории конечного комплекса CW. $X$ со своими рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм

ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )

такой, что

{\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия. $X$ .

См. также

Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха (вычислительный инструмент для поиска групп K-теории)
КР-теория
Теорема Атьи – Зингера об индексе
Теорема Снайта
Алгебраическая К-теория

Ссылки

^ Хэтчер. Векторные расслоения и K-теория (PDF) . п. 57 . Проверено 27 июля 2017 г.
^ Адамс, Джон (1960). О несуществовании элементов инвариантной Хопфа единицы . Энн. Математика. 72 1.
^ Адамс, Джон (1962). «Векторные поля на сферах». Анналы математики . 75 (3): 603–632.

Атья, Майкл Фрэнсис (1989). К-теория . Продвинутая книжная классика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-201-09394-0 . МР 1043170 .
Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005). Справочник по К-теории . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-27855-9 . ISBN 978-3-540-30436-4 . МР 2182598 .
Каруби, Макс (1978). К-теория: введение . Классика по математике. Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-540-79890-3 . ISBN 0-387-08090-2 .
Каруби, Макс (2006). «К-теория. Элементарное введение». arXiv : математика/0602082 .
Хэтчер, Аллен (2003). «Векторные расслоения и К-теория» .
Стыков, Максим (2013). «Связь К-теории с геометрией и топологией» .

[1] Хэтчер. Векторные расслоения и K-теория (PDF) . п. 57 . Проверено 27 июля 2017 г.

[2] Адамс, Джон (1960). О несуществовании элементов инвариантной Хопфа единицы . Энн. Математика. 72 1.

[3] Адамс, Джон (1962). «Векторные поля на сферах». Анналы математики . 75 (3): 603–632.

[1]

[2]

[3]