Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха

В математике спектральная последовательность Атьи -Хирцебруха — это спектральная последовательность для вычисления обобщенных когомологий , введенная Майклом Атьей и Фридрихом Хирцебрухом ( 1961 ) в частном случае топологической K-теории . Для комплекса ХО $X$ и обобщенная теория когомологий $E^{\bullet }$ , он связывает группы обобщенных когомологий

E^{i}(X)

с «обычными» группами когомологий $H^{j}$ с коэффициентами из обобщенных когомологий точки. Точнее, $E_{2}$ член спектральной последовательности $H^{p}(X;E^{q}(pt))$ , и спектральная последовательность условно сходится к $E^{p+q}(X)$ .

Атья и Хирцебрух указали на обобщение своей спектральной последовательности, которое также обобщает спектральную последовательность Серра и сводится к ней в случае, когда $E=H_{\text{Sing}}$ . Его можно получить из точной пары , которая дает $E_{1}$ страница спектральной последовательности Серра, за исключением обычных групп когомологий, замененных на $E$ . Подробно предположим $X$ быть полным пространством расслоения Серра со слоем $F$ и базовое пространство $B$ . Фильтрация $B$ своим $n$ -скелеты $B_{n}$ приводит к фильтрации $X$ . Существует соответствующая спектральная последовательность с $E_{2}$ срок

H^{p}(B;E^{q}(F))

и сходящееся к соответствующему градуированному кольцу фильтрованного кольца

E_{\infty }^{p,q}\Rightarrow E^{p+q}(X)

.

Это спектральная последовательность Атьи–Хирцебруха в случае, когда слой $F$ это точка.

Примеры

Топологическая К-теория

Например, комплексная топологическая $K$ - теория точки

KU(*)=\mathbb {Z} [x,x^{-1}]

где

x

находится в степени

2

По определению, термины, $E_{2}$ -страница конечного CW-комплекса $X$ выглядит как

E_{2}^{p,q}(X)=H^{p}(X;KU^{q}(pt))

Поскольку $K$ - теория точки

K^{q}(pt)={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if q is even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

мы всегда можем это гарантировать

E_{2}^{p,2k+1}(X)=0

Это означает, что спектральная последовательность коллапсирует на $E_{2}$ для многих помещений. Это можно проверить на каждом $\mathbb {CP} ^{n}$ , алгебраические кривые или пространства с ненулевыми когомологиями четных степеней. Следовательно, он коллапсирует для всех (сложных) четных размерных гладких полных пересечений в $\mathbb {CP} ^{n}$ .

Котангенс на окружности

Например, рассмотрим коткасательное расслоение $S^{1}$ . Это пучок волокон с волокном $\mathbb {R}$ так что $E_{2}$ -страница читается как

{\begin{array}{c|cc}\vdots &\vdots &\vdots \\2&H^{0}(S^{1};\mathbb {Q} )&H^{1}(S^{1};\mathbb {Q} )\\1&0&0\\0&H^{0}(S^{1};\mathbb {Q} )&H^{1}(S^{1};\mathbb {Q} )\\-1&0&0\\-2&H^{0}(S^{1};\mathbb {Q} )&H^{1}(S^{1};\mathbb {Q} )\\\vdots &\vdots &\vdots \\\hline &0&1\end{array}}

Дифференциалы

Нечетномерные дифференциалы AHSS для комплексной топологической K-теории легко вычислить. Для $d_{3}$ это площадь Стинрода $Sq^{3}$ где мы принимаем это как композицию

\beta \circ Sq^{2}\circ r

где $r$ это мод сокращения $2$ и $\beta$ — гомоморфизм Бокштейна (связывающий морфизм) из короткой точной последовательности

0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\to 0

Полное пересечение в 3 раза

Рассмотрим гладкое полное пересечение в 3 раза. $X$ (например, трехкратное полное пересечение Калаби-Яу). Если мы посмотрим на $E_{2}$ -страница спектральной последовательности

{\begin{array}{c|ccccc}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\2&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{6}(X;\mathbb {Z} )\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{6}(X;\mathbb {Z} )\\-1&0&0&0&0&0&0&0\\-2&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{6}(X;\mathbb {Z} )\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline &0&1&2&3&4&5&6\end{array}}

мы сразу видим, что единственными потенциально нетривиальными дифференциалами являются

{\begin{aligned}d_{3}:E_{3}^{0,2k}\to E_{3}^{3,2k-2}\\d_{3}:E_{3}^{3,2k}\to E_{3}^{6,2k-2}\end{aligned}}

Оказывается, что эти дифференциалы обращаются в нуль в обоих случаях, следовательно $E_{2}=E_{\infty }$ . В первом случае, поскольку $Sq^{k}:H^{i}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{k+i}(X;\mathbb {Z} /2)$ тривиально для $k>i$ у нас первый набор дифференциалов равен нулю. Второй набор тривиален, потому что $Sq^{2}$ отправляет $H^{3}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{5}(X)=0$ идентификация $Sq^{3}=\beta \circ Sq^{2}\circ r$ показывает, что дифференциал тривиален.

Извращенная К-теория

Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха также может использоваться для вычисления скрученных групп K-теории. Короче говоря, скрученная K-теория — это групповое пополнение классов изоморфизма векторных расслоений, определяемых склейкой данных $(U_{ij},g_{ij})$ где

g_{ij}g_{jk}g_{ki}=\lambda _{ijk}

для некоторого класса когомологий $\lambda \in H^{3}(X,\mathbb {Z} )$ . Тогда спектральная последовательность будет выглядеть как

E_{2}^{p,q}=H^{p}(X;KU^{q}(*))\Rightarrow KU_{\lambda }^{p+q}(X)

но с разными дифференциалами. Например,

E_{3}^{p,q}=E_{2}^{p,q}={\begin{array}{c|cccc}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\2&H^{0}(S^{3};\mathbb {Z} )&0&0&H^{3}(S^{3};\mathbb {Z} )\\1&0&0&0&0\\0&H^{0}(S^{3};\mathbb {Z} )&0&0&H^{3}(S^{3};\mathbb {Z} )\\-1&0&0&0&0\\-2&H^{0}(S^{3};\mathbb {Z} )&0&0&H^{3}(S^{3};\mathbb {Z} )\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline &0&1&2&3\end{array}}

На $E_{3}$ -page дифференциал

d_{3}=Sq^{3}+\lambda

Высшие нечетномерные дифференциалы $d_{2k+1}$ задаются произведениями Мэсси для скрученной K-теории, тензорированной $\mathbb {R}$ . Так

{\begin{aligned}d_{5}&=\{\lambda ,\lambda ,-\}\\d_{7}&=\{\lambda ,\lambda ,\lambda ,-\}\end{aligned}}

Обратите внимание, что если основное пространство является формальным , то есть его рациональный гомотопический тип определяется его рациональными когомологиями и, следовательно, имеет исчезающие произведения Мэсси, то нечетномерные дифференциалы равны нулю. Пьер Делинь , Филип Гриффитс , Джон Морган и Деннис Салливан доказали это для всех компактных кэлеровых многообразий , следовательно, $E_{\infty }=E_{4}$ в этом случае. В частности, сюда относятся все гладкие проективные многообразия.

Скрученная К-теория 3-сферы

Извращенная К-теория для $S^{3}$ можно легко вычислить. Прежде всего, поскольку $Sq^{3}=\beta \circ Sq^{2}\circ r$ и $H^{2}(S^{3})=0$ , мы имеем, что дифференциал на $E_{3}$ -page просто соответствует классу, заданному $\lambda$ . Это дает вычисление

KU_{\lambda }^{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k{\text{ is even}}\\\mathbb {Z} /\lambda &k{\text{ is odd}}\end{cases}}

Рациональный бордизм

Напомним, что группа рациональных бордизмов $\Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q}$ изоморфно кольцу

\mathbb {Q} [[\mathbb {CP} ^{0}],[\mathbb {CP} ^{2}],[\mathbb {CP} ^{4}],[\mathbb {CP} ^{6}],\ldots ]

порожденные классами бордизмов (комплексных) четномерных проективных пространств $[\mathbb {CP} ^{2k}]$ в степени $4k$ . Это дает вычислительно управляемую спектральную последовательность для вычисления групп рациональных бордизмов.

Комплексный кобордизм

Напомним, что $MU^{*}(pt)=\mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]$ где $x_{i}\in \pi _{2i}(MU)$ . Затем мы можем использовать это для вычисления комплексного кобордизма пространства $X$ через спектральную последовательность. У нас есть $E_{2}$ -страница предоставлена