Теорема о клеточной аппроксимации

В алгебраической топологии теорема клеточной аппроксимации утверждает, что отображение между CW-комплексами всегда можно отнести к определенному типу. Конкретно, если X и Y -комплексами, а f : X → Y — непрерывное отображение, то f называется клеточным , если f переводит n -скелет X являются CW в n -скелет Y для всех n , то есть если $f(X^{n})\subseteq Y^{n}$ для всех н . Содержание теоремы клеточной аппроксимации тогда состоит в том, что любое непрерывное отображение f : X → Y между CW-комплексами X и Y гомотопно , то мы , клеточному отображению, и если f уже клеточно на подкомплексе A из X кроме того, можем выбрать гомотопия стационарна на A . Таким образом, с алгебро-топологической точки зрения любое отображение между CW-комплексами можно считать клеточным.

Идея доказательства

Доказательство можно провести индукцией по n с утверждением, что f является клеточной на скелете X. ^н . что в базовом случае n=0 каждый компонент пути Y Обратите внимание , должен содержать 0-ячейку. 0 Таким образом , образ под f -клетки X может быть соединен с 0-клеткой Y путем, но это дает гомотопию от f к отображению, которое является клеточным на 0-остове X.

Предположим по индукции, что f клеточна на ( n − 1)-остове X , и пусть e ^н быть n -клеткой X . Закрытие ​ е ​ ^н компактен , являясь образом характеристического отображения ячейки и, следовательно , в X образом замыкания e ^н под f также компактен в Y . Тогда общий результат CW-комплексов состоит в том, что любое компактное подпространство CW-комплекса встречается (т. е. пересекается нетривиально ) только с конечным числом ячеек комплекса. Таким образом, f ( e ^н ) встречается не более чем с конечным числом ячеек Y , поэтому мы можем взять $e^{k}\subseteq Y$ быть ячейкой наивысшего измерения, удовлетворяющей f ( e ^н ). Если $k\leq n$, отображение f уже клеточно на e ^н , так как с в f этом e ( случае ^н ), поэтому мы можем предположить, что k > n . Тогда это технический, нетривиальный результат (см. Хэтчер), ограничение f что на $X^{n-1}\cup e^{n}$ может быть гомотопирован относительно X ^n-1 к отображению, в котором отсутствует точка p ∈ e ^к . Поскольку Y ^к − { p } деформация стягивается на подпространство Y ^к - и ^к , мы можем дополнительно гомотопировать ограничение f на $X^{n-1}\cup e^{n}$ к карте, скажем, g со свойством g ( e ^н ) пропускает ячейку e ^к Y X относительно , все еще ^n-1 . Поскольку f ( e ^н встретил только конечное число ячеек Y , мы можем повторить этот процесс конечное число раз, чтобы получить ) изначально $f(e^{n})$ пропустить все ячейки Y размерности больше n .

Мы повторяем этот процесс для каждой n -клетки X , фиксируя клетки подкомплекса A, на котором f уже является клеточным, и таким образом получаем гомотопию (относительно ( n − 1)-скелета X и n -клеток A ) ограничения f на X ^н к ячеистому отображению на всех клетках X размерности не более n . Затем использование свойства расширения гомотопии для расширения этого до гомотопии на всем X и объединение этих гомотопий завершит доказательство. За подробностями обращайтесь к Хэтчеру.

Приложения

Некоторые гомотопические группы

Теорему клеточной аппроксимации можно использовать для немедленного вычисления некоторых гомотопических групп . В частности, если $n<k,$ затем $\pi _{n}(S^{k})=0.$ Давать $S^{n}$ и $S^{k}$ их каноническая CW-структура, с одной 0-ячейкой каждая и с одной n -ячейкой для $S^{n}$ и одна k -ячейка для $S^{k}.$ Любая сохраняющая базовую точку карта, $f\colon S^{n}\to S^{k}$ тогда гомотопно отображению, образ которого лежит в n -скелете $S^{k},$ который состоит только из базовой точки. То есть любое такое отображение нульгомотопно.

Клеточная аппроксимация для пар

Пусть f : (X,A) → (Y,B) — отображение CW-пар , то есть f — отображение из X в Y , а образ $A\subseteq X\,$ под f находится B. внутри Тогда f гомотопно клеточному отображению (X,A) → (Y,B) . Чтобы убедиться в этом, ограничьте f до A чтобы получить гомотопию f к клеточному отображению на A. и используйте клеточную аппроксимацию , Используйте свойство расширения гомотопии, чтобы распространить эту гомотопию на все X чтобы получить клеточное отображение на X , но без нарушения клеточного свойства на A. , и снова примените клеточную аппроксимацию ,

Как следствие, мы имеем, что CW-пара (X,A) является n-связной , если все ячейки $X-A$ иметь размерность строго больше n : если $i\leq n\,$, то любая карта $(D^{i},\partial D^{i})\,$→ (X,A) гомотопно клеточному отображению пар, и поскольку n -остов X находится внутри A , любое такое отображение гомотопно отображению, образ которого находится в A , и, следовательно, оно равно 0 в относительной гомотопии группа $\pi _{i}(X,A)\,$.
У нас, в частности, так $(X,X^{n})\,$ -связна n , поэтому это следует из длинной точной последовательности гомотопических групп пары $(X,X^{n})\,$ что у нас есть изоморфизмы $\pi _{i}(X^{n})\,$→ $\pi _{i}(X)\,$ для всех $i<n\,$ и сюръекция $\pi _{n}(X^{n})\,$→ $\pi _{n}(X)\,$.

CW-аппроксимация

Для каждого пространства X можно построить CW-комплекс Z и слабую гомотопическую эквивалентность $f\colon Z\to X$ называется аппроксимацией X. CW - это CW-аппроксимация, будучи слабой гомотопической эквивалентностью, индуцирует изоморфизмы на группах гомологий и когомологий X . Таким образом, часто можно использовать аппроксимацию CW, чтобы свести общее утверждение к более простой версии, которая касается только комплексов CW.

CW-аппроксимация строится путем индукции по скелету $Z_{i}$ из $Z$, так что карты $(f_{i})_{*}\colon \pi _{k}(Z_{i})\to \pi _{k}(X)$ изоморфны для $k<i$ и готовы к $k=i$ (для любой базовой точки). Затем $Z_{i+1}$ построен из $Z_{i}$ присоединяя (i+1)-ячейки, которые (для всех базовых точек)

• присоединяются отображениями $S^{i}\to Z_{i}$ которые генерируют ядро $\pi _{i}(Z_{i})\to \pi _{i}(X)$ (и отображаются в X за счет сжатия соответствующих сфероидов)
• присоединяются постоянными отображениями и сопоставляются с X для создания $\pi _{i+1}(X)$ (или $\pi _{i+1}(X)/(f_{i})_{*}(\pi _{i+1}(Z_{i}))$ ).

Тогда клеточное приближение гарантирует, что добавление (i+1)-ячеек не повлияет на $\pi _{k}(Z_{i}){\stackrel {\cong }{\to }}\pi _{k}(X)$ для $k<i$, пока $\pi _{i}(Z_{i})$ факторизуется по классам отображений вложений $S^{i}\to Z_{i}$ этих клеток, дающих $\pi _{i}(Z_{i+1}){\stackrel {\cong }{\to }}\pi _{i}(X)$. Сюръективность $\pi _{i+1}(Z_{i+1})\to \pi _{i+1}(X)$ Это видно уже на втором этапе строительства.

Ссылки

• Хэтчер, Аллен (2005), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-79540-1