Свойство гомотопического расширения

В математике , в области алгебраической топологии , свойство расширения гомотопии указывает, какие гомотопии, определенные в подпространстве, могут быть расширены до гомотопии, определенной в большем пространстве. Свойство гомотопического расширения корасслоений двойственно свойству , поднятия гомотопии которое используется для определения расслоений .

Определение

Позволять $X\,\!$ — топологическое пространство , и пусть $A\subset X$ . Мы говорим, что пара $(X,A)\,\!$ обладает свойством гомотопического продолжения , если для гомотопии $f_{\bullet }\colon A\rightarrow Y^{I}$ и карта ${\tilde {f}}_{0}\colon X\rightarrow Y$ такой, что ${\tilde {f}}_{0}\circ \iota =\left.{\tilde {f}}_{0}\right|_{A}=f_{0}=\pi _{0}\circ f_{\bullet },$ существует расширение тогда $f_{\bullet }$ к гомотопии ${\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\rightarrow Y^{I}$ такой, что ${\tilde {f}}_{\bullet }\circ \iota =\left.{\tilde {f}}_{\bullet }\right|_{A}=f_{\bullet }$ . ^[1]

То есть пара $(X,A)\,\!$ обладает свойством гомотопического продолжения, если любое отображение $G\colon ((X\times \{0\})\cup (A\times I))\rightarrow Y$ можно расширить до карты $G'\colon X\times I\rightarrow Y$ (т.е. $G\,\!$ и $G'\,\!$ договориться об их общем достоянии).

Если пара обладает этим свойством только для определенного кодомена $Y\,\!$ , мы говорим, что $(X,A)\,\!$ обладает свойством гомотопического продолжения относительно $Y\,\!$ .

Визуализация

Свойство гомотопического расширения изображено на следующей диаграмме.

Если приведенная выше диаграмма (без пунктирного отображения) коммутирует (это эквивалентно условиям выше), то пара (X,A) обладает свойством гомотопического продолжения, если существует отображение ${\tilde {f}}_{\bullet }$ что делает диаграмму коммутируемой. При каррировании обратите внимание, что гомотопии, выраженные в виде отображений ${\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\to Y^{I}$ находятся в естественной биекции с выражениями в виде карт ${\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\times I\to Y$ .

Обратите внимание, что эта диаграмма двойственна (противоположна) диаграмме свойства гомотопического подъема ; эту двойственность широко называют двойственностью Экмана – Хилтона .

Характеристики

Если $X\,\!$ представляет собой клеточный комплекс и $A\,\!$ представляет собой подкомплекс $X\,\!$ , то пара $(X,A)\,\!$ обладает свойством гомотопического продолжения.
Пара $(X,A)\,\!$ обладает свойством гомотопического продолжения тогда и только тогда, когда $(X\times \{0\}\cup A\times I)$ является отказом от $X\times I.$

Другой

Если $(X,A)$ обладает свойством гомотопического продолжения, то простое отображение включения $\iota \colon A\to X$ является кофибрацией .

Фактически, если вы рассмотрите любое корасслоение $\iota \colon Y\to Z$ , тогда у нас есть это $\mathbf {\mathit {Y}}$ гомеоморфен при своему образу $\iota$ . Это означает, что любое корасслоение можно рассматривать как отображение включения, и, следовательно, его можно рассматривать как обладающее свойством гомотопического расширения.