Остроконечный набор

В математике множество заостренное ^[1]^[2] (также основан набор ^[1] или корневой набор ^[3]) — упорядоченная пара $(X,x_{0})$ где $X$ представляет собой набор и $x_{0}$ является элементом $X$ называемая базовой точкой , ^[2] также пишется базовая точка . ^[4]^: 10–11

Отображения между указанными множествами $(X,x_{0})$ и $(Y,y_{0})$ — так называемые основанные карты , ^[5] точечные карты , ^[4] или карты, сохраняющие точки ^[6]— являются функциями из $X$ к $Y$ которые отображают одну базовую точку в другую, т.е. отображают $f\colon X\to Y$ такой, что $f(x_{0})=y_{0}$ . Карты на основе обычно обозначаются ${\textstyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$ .

Остроконечные множества представляют собой очень простые алгебраические структуры . В смысле универсальной алгебры остроконечное множество — это множество $X$ вместе с одной нулевой операцией $*:X^{0}\to X,$ ^[а] который выбирает базовую точку. ^[7] Точечные отображения являются гомоморфизмами этих алгебраических структур.

Класс всех точечных множеств вместе с классом всех основанных карт образует категорию . Каждое указанное множество можно преобразовать в обычное множество, забыв о базовой точке ( забывчивости верен функтор ), но обратное неверно. ^[8]^: 44 В частности, пустое множество не может быть указано, поскольку в нем нет элемента, который можно было бы выбрать в качестве базовой точки. ^[9]

Категориальные свойства

Категория точечных множеств и основанных отображений эквивалентна категории множеств и частичных функций . ^[6] Базовая точка служит «значением по умолчанию» для тех аргументов, для которых не определена частичная функция. В одном учебнике отмечается, что «Это формальное завершение множеств и частичных отображений путем добавления «несобственных», «бесконечных» элементов изобреталось заново много раз, в частности, в топологии ( одноточечная компактификация ) и в теоретической информатике ». ^[10] Эта категория также изоморфна категории кос-срезов ( $\mathbf {1} \downarrow \mathbf {Set}$ ), где $\mathbf {1}$ (функтор, который выбирает) одноэлементный набор, и $\scriptstyle {\mathbf {Set} }$ (тождественный функтор) категории множеств . ^[8]^: 46^[11] Это совпадает с алгебраической характеризацией, поскольку единственное отображение $\mathbf {1} \to \mathbf {1}$ расширяет коммутативные треугольники , определяющие стрелки категории кос-срезов, до образования коммутативных квадратов, определяющих гомоморфизмы алгебр.

Существует точный функтор от заостренных множеств к обычным множествам, но он не полон и эти категории не эквивалентны . ^[8]

Категория точечных множеств является точечной категорией . Заостренные одноэлементные наборы $(\{a\},a)$ являются как исходными объектами , так и конечными объектами , ^[1] т.е. они являются нулевыми объектами . ^[4]^: 226 Категория точечных множеств и точечных отображений имеет как продукты , так и копроизведения , но это не дистрибутивная категория . Это также пример категории, в которой $0\times A$ не изоморфен $0$ . ^[9]

Приложения

Многие алгебраические структуры опираются на выделенную точку. Например, группы представляют собой точечные множества, если в качестве базовой точки выбирается единичный элемент , так что гомоморфизмы групп являются отображениями, сохраняющими точки. ^[12]^: 24 Это наблюдение можно переформулировать в терминах теории категорий как существование функтора забывания от групп к точечным множествам. ^[12]^: 582

Указанное множество можно рассматривать как указанное пространство в дискретной топологии или как векторное пространство над полем с одним элементом . ^[13]

Как «корневое множество» это понятие естественным образом появляется при изучении антиматроидов. ^[3] и транспортные многогранники. ^[14]

См. также

Доступный точечный граф - граф, в котором одна вершина выделена как корневая.
Расширение Александрова - способ расширения некомпактного топологического пространства.
Сфера Римана - модель расширенной комплексной плоскости плюс бесконечная точка.

Примечания

^ Обозначение $X 0$ относится к нулевой декартовой степени набора $X$ , который представляет собой одноэлементный набор, содержащий пустой кортеж.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Мак Лейн 1998 .
^ Jump up to: ^а ^б Грегори Берюи (2010). Введение в когомологии Галуа и их приложения . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 377. Издательство Кембриджского университета. п. 34. ISBN 978-0-521-73866-8 . Збл 1207.12003 .
^ Jump up to: ^а ^б Корте, Бернхард ; Ловас, Ласло ; Шредер, Райнер (1991), Гридоиды , алгоритмы и комбинаторика, том. 4, Нью-Йорк, Берлин: Springer-Verlag , глава 3, ISBN. 3-540-18190-3 , Збл 0733.05023
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джозеф Ротман (2008). Введение в гомологическую алгебру (2-е изд.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-68324-9 .
^ Маундер, CRF (1996), Алгебраическая топология , Дувр, стр. 31, ISBN 978-0-486-69131-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Шредер 2001 .
^ Сондерс Мак Лейн; Гаррет Биркгоф (1999) [1988]. Алгебра (3-е изд.). Американское математическое соц. п. 497. ИСБН 978-0-8218-1646-2 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Стекер, (18 января 2005 г.) Абстрактные и конкретные категории - радость кошек
^ Jump up to: ^а ^б Ловере и Шануэль, 2009 г.
^ Нил Коблиц; Б. Зильбер; Ю. И. Манин (2009). Курс математической логики для математиков . Springer Science & Business Media. п. 290. ИСБН 978-1-4419-0615-1 .
^ Франсис Борсо; Доминик Борн (2004). Мальцев, Протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Springer Science & Business Media. п. 131. ИСБН 978-1-4020-1961-6 .
^ Jump up to: ^а ^б Паоло Алуффи (2009). Алгебра: Глава 0 . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-4781-7 .
^ Харан, М. Дж. Шай (2007), «Неаддитивная геометрия» (PDF) , Compositio Mathematica , 143 (3): 618–688, doi : 10.1112/S0010437X06002624 , MR 2330442 . На стр. 622, Харан пишет: «Мы считаем $\mathbb {F}$ -векторные пространства как конечные множества $X$ с выделенным «нулевым» элементом...»
^ Клее, В.; Вицгалл, К. (1970) [1968]. «Грани и вершины транспортных многогранников». У Джорджа Бернарда Данцига (ред.). Математика наук о принятии решений. Часть 1 . Американское математическое соц. АСИН B0020145L2 . ОСЛК 859802521 .

Дальнейшее чтение

Ловер, Ф.В.; Шануэль, Стивен Хоэл (2009). Концептуальная математика: первое введение в категории (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 296–298 . ISBN 978-0-521-89485-2 .
Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-98403-8 . Збл 0906.18001 .
Шредер, Лутц (2001). «Категории: бесплатная экскурсия». В Козловски, Юрген; Мелтон, Остин (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3 .

Внешние ссылки

[7] Обозначение $X 0$ относится к нулевой декартовой степени набора $X$ , который представляет собой одноэлементный набор, содержащий пустой кортеж.

[FOOTNOTEMac&nbsp;Lane1998-1] Jump up to: ^а ^б ^с Мак Лейн 1998 .

[Berhuy-2] Jump up to: ^а ^б Грегори Берюи (2010). Введение в когомологии Галуа и их приложения . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 377. Издательство Кембриджского университета. п. 34. ISBN 978-0-521-73866-8 . Збл 1207.12003 .

[Greedoids-3] Jump up to: ^а ^б Корте, Бернхард ; Ловас, Ласло ; Шредер, Райнер (1991), Гридоиды , алгоритмы и комбинаторика, том. 4, Нью-Йорк, Берлин: Springer-Verlag , глава 3, ISBN. 3-540-18190-3 , Збл 0733.05023

[Rotman2008-4] Jump up to: ^а ^б ^с Джозеф Ротман (2008). Введение в гомологическую алгебру (2-е изд.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-68324-9 .

[5] Маундер, CRF (1996), Алгебраическая топология , Дувр, стр. 31, ISBN 978-0-486-69131-2 .

[FOOTNOTESchröder2001-6] Jump up to: ^а ^б Шредер 2001 .

[LaneBirkhoff1999-8] Сондерс Мак Лейн; Гаррет Биркгоф (1999) [1988]. Алгебра (3-е изд.). Американское математическое соц. п. 497. ИСБН 978-0-8218-1646-2 .

[joy-9] Jump up to: ^а ^б ^с Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Стекер, (18 января 2005 г.) Абстрактные и конкретные категории - радость кошек

[FOOTNOTELawvereSchanuel2009-10] Jump up to: ^а ^б Ловере и Шануэль, 2009 г.

[KoblitzZilber2009-11] Нил Коблиц; Б. Зильбер; Ю. И. Манин (2009). Курс математической логики для математиков . Springer Science & Business Media. п. 290. ИСБН 978-1-4419-0615-1 .

[BorceuxBourn2004-12] Франсис Борсо; Доминик Борн (2004). Мальцев, Протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Springer Science & Business Media. п. 131. ИСБН 978-1-4020-1961-6 .

[Aluffi2009-13] Jump up to: ^а ^б Паоло Алуффи (2009). Алгебра: Глава 0 . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-4781-7 .

[14] Харан, М. Дж. Шай (2007), «Неаддитивная геометрия» (PDF) , Compositio Mathematica , 143 (3): 618–688, doi : 10.1112/S0010437X06002624 , MR 2330442 . На стр. 622, Харан пишет: «Мы считаем $\mathbb {F}$ -векторные пространства как конечные множества $X$ с выделенным «нулевым» элементом...»

[15] Клее, В.; Вицгалл, К. (1970) [1968]. «Грани и вершины транспортных многогранников». У Джорджа Бернарда Данцига (ред.). Математика наук о принятии решений. Часть 1 . Американское математическое соц. АСИН B0020145L2 . ОСЛК 859802521 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[а]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]