Начальные и конечные объекты

В теории категорий , разделе математики , объектом категории C $C$ является объект $I$ в $существует$ такой, что для каждого объекта $в$ C $исходным$ ровно один морфизм $I \to X.$ X

Двойственное X понятие — это понятие терминального объекта (также называемого терминальным элементом ): $T$ терминально, если для каждого объекта $C$ существует $ровно$ один морфизм $X \to T.$ в Начальные объекты также называются котерминальными или универсальными , а терминальные объекты также называются конечными .

Если объект является одновременно начальным и конечным, он называется нулевым объектом или нулевым объектом . — Заостренная категория это категория с нулевым объектом.

Строгий исходный объект $I$ — это объект, для которого каждый морфизм в $I$ является изоморфизмом .

Примеры

Пустой набор — это уникальный исходный объект в Set , категории множеств . Каждый одноэлементный набор ( singleton ) является терминальным объектом в этой категории; нулевых объектов нет. Точно так же пустое пространство является уникальным начальным объектом в Top , категории топологических пространств , и каждое одноточечное пространство является конечным объектом в этой категории.
В категории множеств и отношений Rel пустое множество является уникальным начальным объектом, уникальным терминальным объектом и, следовательно, уникальным нулевым объектом.

В категории заостренных множеств (объекты которых представляют собой непустые множества вместе с выделенным элементом; морфизм от $(A, a)$ до $(B, b)$ является функцией $f : A \to B$ с $f (a) = b$ ) , каждый синглтон является нулевым объектом. Аналогично, в категории точечных топологических пространств каждый синглтон является нулевым объектом.
В Grp , категории групп , любая тривиальная группа является нулевым объектом. Тривиальный объект также является нулевым объектом в Ab , категории абелевых групп , Rng, категории псевдоколец , R -Mod , категории модулей над кольцом и K -Vect , категории векторных пространств над полем. . см . в разделе Нулевой объект (алгебра) Подробности . Отсюда и возник термин «нулевой объект».
В Ring , категории колец с единицей и морфизмами, сохраняющими единицу, кольцо целых чисел Z является исходным объектом. Нулевое кольцо, состоящее только из одного элемента $0 = 1,$ является терминальным объектом.
В Rig — категории оснасток с единицей и морфизмами, сохраняющими единицу, — оснастка натуральных чисел N является исходным объектом. Нулевая установка, представляющая собой нулевое кольцо , состоящее только из одного элемента $0 = 1,$ является терминальным объектом.
В Field категории полей нет начальных или конечных объектов. Однако в подкатегории полей фиксированной характеристики простое поле . исходным объектом является
Любое частично упорядоченное множество $(P, \leq)$ можно интерпретировать как категорию: объекты являются элементами $P$ , и существует единственный морфизм от $x$ до $y$ тогда и только тогда, когда $x \leq y$ . Эта категория имеет начальный объект тогда и только тогда, когда $P$ имеет наименьший элемент ; у него есть конечный объект тогда и только тогда, когда $P$ имеет наибольший элемент .
Cat , категория малых категорий с функторами в качестве морфизмов, имеет пустую категорию 0 (без объектов и морфизмов) в качестве начального объекта и терминальную категорию 1 (с одним объектом с одним тождественным морфизмом) в качестве терминального объекта. .
В категории схем Spec( Z ), простой спектр кольца целых чисел, является терминальным объектом. Пустая схема (равная простому спектру нулевого кольца ) является исходным объектом.
Предел можно диаграммы F F охарактеризовать как конечный объект в конусов к категории . Аналогично, копредел F может быть охарактеризован как исходный объект в категории коконусов из F .
В категории Ch _R цепных комплексов над коммутативным кольцом R нулевой комплекс является нулевым объектом.
В короткой точной последовательности вида 0 → a → b → c → 0 начальный и конечный объекты являются анонимным нулевым объектом. Это часто используется в теориях когомологий.

Характеристики

Существование и уникальность

Начальные и конечные объекты не обязаны существовать в данной категории. Однако если они и существуют, то по сути уникальны. А именно, если $I 1$ и $I 2$ существует единственный изоморфизм — два разных исходных объекта, то между ними . Более того, если $I$ — исходный объект, то любой объект, изоморфный $I,$ также является исходным объектом. То же самое справедливо и для терминальных объектов.

Для полных категорий существует теорема существования исходных объектов. В частности, ( локально малая ) полная категория $C$ имеет исходный объект тогда и только тогда, когда существует множество $I$ ( не собственный класс ) и $I$ - индексированное семейство $(K i)$ объектов $C$ такое, что для любого объекта $X$ из $C$ существует хотя бы один морфизм $i \to X для$ некоторого $i \in I.$ K

Эквивалентные составы

Терминальные объекты в категории $C$ могут быть определены как пределы уникальной пустой диаграммы $0 \to C.$ также Поскольку пустая категория по сути является дискретной категорией , терминальный объект можно рассматривать как пустой продукт (в общем, продукт действительно является пределом дискретной диаграммы ${X i}$ ). Двойственно, исходный объект является копределом пустой диаграммы $0 \to C$ и может рассматриваться как пустое копроизведение или категориальная сумма.

Отсюда следует, что любой функтор, сохраняющий пределы, преобразует терминальные объекты в терминальные объекты, а любой функтор, сохраняющий копределы, переводит исходные объекты в исходные объекты. Например, исходным объектом в любой конкретной категории со свободными объектами порожденный пустым множеством (поскольку свободный функтор , оставаясь присоединенным к забывчивому функтору Set будет свободный объект , , сохраняет копределы).

Начальные и конечные объекты также могут быть охарактеризованы с точки зрения универсальных свойств и сопряженных функторов . Пусть 1 — дискретная категория с одним объектом (обозначается символом •), и пусть $U : C \to 1$ — единственный (постоянный) функтор для 1 . Затем

Исходный объект $I$ в $C$ является универсальным морфизмом из • в $U$ . Функтор, который отправляет • в $,$ остается сопряженным с U. I
Терминальный объект $T$ в $C$ является универсальным морфизмом из $U$ в •. Функтор, который переводит • в $T$ сопряжен справа с $U.$ ,

Связь с другими категориальными конструкциями

Многие естественные конструкции в теории категорий можно сформулировать в терминах нахождения начального или конечного объекта в подходящей категории.

Универсальный морфизм объекта $X$ в функтор $U$ можно определить как исходный объект в категории запятой $(X ↓ U)$ . Двойственным образом универсальный морфизм из $U$ в $X$ является терминальным объектом в $(U ↓ X)$ .
Предел диаграммы $F$ это конечный объект в $Cone(),$ категории конусов F. $—$ F Двойственным образом копредел $F$ является исходным объектом в категории конусов из $F$ .
Представление функтора $F$ в Set является исходным объектом в категории F $элементов$ .
Понятие финального функтора (соответственно исходного функтора) является обобщением понятия конечного объекта (соответственно исходного объекта).

Другие объекты недвижимости

начального Моноид эндоморфизма или конечного объекта $I$ тривиален: $End(I) = Hom(I, I) = { id I}$ .
Если категория $C$ имеет нулевой объект $0$ любой пары объектов $X$ и $Y$ в $C$ единственная композиция $X \to 0 \to Y$ является нулевым морфизмом из $X$ в $Y.$ , то для

Ссылки

Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории. Кошачья радость (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 . Збл 0695.18001 . Архивировано из оригинала (PDF) 21 апреля 2015 г. Проверено 15 января 2008 г.
Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7 . Збл 1034.18001 .
Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-98403-8 . Збл 0906.18001 .
Эта статья частично основана на PlanetMath статье о примерах начальных и конечных объектов .