эндоморфизм

В математике эндоморфизм морфизм — это математического объекта в самого себя. Эндоморфизм, который также является изоморфизмом, является автоморфизмом . Например, эндоморфизм векторного пространства $V$ — это линейное отображение $f : V \to V$ а эндоморфизм группы G $—$ это групповой гомоморфизм $f : G \to G.$ , В целом, мы можем говорить об эндоморфизмах в любой категории . В категории множеств эндоморфизмы — это функции из множества S в себя.

В любой категории композиция любых двух эндоморфизмов $X$ снова является эндоморфизмом $X$ . Отсюда следует, что множество всех эндоморфизмов $X$ образует моноид , полный моноид преобразований , и обозначается $End(X)$ (или $End C (X),$ чтобы подчеркнуть категорию $C$ ).

Автоморфизмы [ править ]

Обратимый эндоморфизм $X$ называется автоморфизмом . Множество всех автоморфизмов является подмножеством End $(X)$ с групповой структурой, называемой группой автоморфизмов X $и$ обозначаемой $Aut(X)$ . На следующей диаграмме стрелки обозначают последствия:

Автоморфизм	⇒	изоморфизм
⇓		⇓
эндоморфизм	⇒	(Гомо)морфизм

Кольца эндоморфизма

Любые два эндоморфизма абелевой группы A $a$ можно сложить по правилу $(f + g)() = f (a) + g (a)$ . При этом добавлении и при определении умножения как композиции функций эндоморфизмы абелевой группы образуют кольцо ( кольцо эндоморфизмов ). Например, множество эндоморфизмов $\mathbb {Z} ^{n}$ — кольцо всех $n \times n$ матриц размера с целыми элементами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта в преаддитивной категории . Эндоморфизмы неабелевой группы порождают алгебраическую структуру, известную как почти кольцо . Каждое кольцо с единицей является кольцом эндоморфизмов своего регулярного модуля и, следовательно, является подкольцом кольца эндоморфизмов абелевой группы; ^[1] однако существуют кольца, которые не являются кольцами эндоморфизмов какой-либо абелевой группы.

Теория операторов [ править ]

В любой конкретной категории , особенно для векторных пространств , эндоморфизмы представляют собой отображения множества в себя и могут интерпретироваться как унарные операторы на этом множестве, действующие понятие орбит на элементы и позволяющие определить элементов и т. д.

В зависимости от дополнительной структуры, определенной для рассматриваемой категории ( топология , метрика ,...), такие операторы могут обладать такими свойствами, как непрерывность , ограниченность и т. д. Более подробную информацию можно найти в статье о теории операторов .

Эндофункции [ править ]

Эндофункция область — это функция, определения которой равна ее кодомену . Гомоморфная эндофункция является эндоморфизмом.

Пусть $S$ — произвольное множество. Среди эндофункций на $S$ можно найти перестановки S $и постоянные функции ,$ сопоставляющие каждому $x$ в $S$ один и тот же элемент $c$ в $S$ . Каждая перестановка $S$ имеет кодобласть, равную ее области определения, и является биективной и обратимой. Если $S$ имеет более одного элемента, постоянная функция на $S$ имеет образ , который является собственным подмножеством ее кодомена и, следовательно, не является биективным (и, следовательно, необратимым). Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу $n$ пол из $n /2,$ имеет образ, равный ее кодомену, и не является обратимой.

Конечные эндофункции эквивалентны направленным псевдолесам . Для множеств размера $n$ имеется $n н$ эндофункции на множестве.

Частными примерами биективных эндофункций являются инволюции ; т. е. функции, совпадающие со своими обратными.

См. также [ править ]

Присоединенный эндоморфизм
Эпиморфизм (сюръективный гомоморфизм)
Эндоморфизм Фробениуса
Мономорфизм (инъективный гомоморфизм)

Примечания [ править ]

^ Джейкобсон (2009), с. 162, Теорема 3.2.

Ссылки [ править ]

Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1

Внешние ссылки [ править ]

«Эндоморфизм» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Джейкобсон (2009), с. 162, Теорема 3.2.

[1]