Теорема Рохлина

В 4-мерной топологии, разделе математики, теорема Рохлина утверждает, что если гладкое , ориентируемое, замкнутое 4- многообразие M имеет спиновую структуру (или, что то же самое, второй класс Штифеля – Уитни $w_{2}(M)$ исчезает), то сигнатура его формы пересечения — квадратичная форма на второй группе когомологий $H^{2}(M)$ , делится на 16. Теорема названа в честь Владимира Рохлина , доказавшего ее в 1952 году.

Примеры

Форма пересечения на M

Q_{M}\colon H^{2}(M,\mathbb {Z} )\times H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z}

является унимодулярным на

\mathbb {Z}

двойственностью Пуанкаре и исчезновением

w_{2}(M)

следует, что форма пересечения четная. По теореме Каита Арфа любая даже унимодулярная решетка имеет сигнатуру, делящуюся на 8, поэтому теорема Рохлина требует одного дополнительного множителя 2 для деления сигнатуры.

Поверхность К3 компактна, четырехмерна и $w_{2}(M)$ исчезает, а подпись равна −16, поэтому 16 — наилучшее возможное число в теореме Рохлина.
Сложная поверхность в $\mathbb {CP} ^{3}$ степени $d$ является спином тогда и только тогда, когда $d$ четный. Там есть подпись $(4-d^{2})d/3$ , что можно видеть из Хирцебруха Фридриха сигнатурной теоремы . Дело $d=4$ возвращает последний пример поверхности K3 .
Майкла Фридмана представляет Многообразие E8 собой односвязное компактное топологическое многообразие с исчезающей $w_{2}(M)$ и форма пересечения $E_{8}$ сигнатуры 8. Из теоремы Рохлина следует, что это многообразие не имеет гладкой структуры . Это многообразие показывает, что теорема Рохлина неверна для множества просто топологических (а не гладких) многообразий.
Если многообразие M односвязно (или, в более общем смысле, если первая группа гомологии не имеет 2-кручения), то исчезновение $w_{2}(M)$ эквивалентно тому, что форма пересечения четная. В общем случае это неверно: поверхность Энриквеса представляет собой компактное гладкое 4-многообразие и имеет четную форму пересечения II _1,9 сигнатуры −8 (не кратную 16), но класс $w_{2}(M)$ не обращается в нуль и представляется элементом кручения во второй группе когомологий.

Доказательства

Теорему Рохлина можно вывести из того факта, что третья стабильная гомотопическая группа сфер $\pi _{3}^{S}$ является циклическим порядка 24; это оригинальный подход Рохлина.

Это также можно вывести из теоремы об индексе Атьи – Зингера . См. род Â и теорему Рохлина .

Робион Кирби ( 1989 ) дает геометрическое доказательство.

Инвариант Рохлина

Поскольку теорема Рохлина утверждает, что сигнатура гладкого по спину многообразия делится на 16, определение инварианта Рохлина выводится следующим образом:

Для 3-х коллектора

N

и спиновая структура

s

на

N

, инвариант Рохлина

\mu (N,s)

в

\mathbb {Z} /16\mathbb {Z}

определяется как сигнатура любого гладкого компактного спинового 4-многообразия со спиновой границей

(N,s)

.

Если N — спиновое то оно ограничивает спиновое 4-многообразие M. 3-многообразие , Сигнатура M делится на 8, и простое применение теоремы Рохлина показывает, что ее значение по модулю 16 зависит только от , а не от выбора M. N Гомологические 3-сферы имеют уникальную спиновую структуру , поэтому мы можем определить инвариант Рохлина 3-сферы гомологий как элемент $\operatorname {sign} (M)/8$ из $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , где M любое спиновое 4-многообразие, ограничивающее сферу гомологий.

Например, сфера гомологий Пуанкаре ограничивает спиновое 4-многообразие с формой пересечения $E_{8}$ , поэтому его инвариант Рохлина равен 1. Этот результат имеет некоторые элементарные следствия: сфера гомологий Пуанкаре не допускает гладкого вложения в $S^{4}$ и не ограничивает мазурское многообразие .

В более общем смысле, если N — спиновое 3-многообразие (например, любое $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ сфера гомологий), то сигнатура любого спинового 4-многообразия M с границей N корректно определена по модулю 16 и называется инвариантом Рохлина N . В топологическом 3-многообразии N обобщенный инвариант Рохлина относится к функции, областью определения которой являются спиновые структуры на N и которая вычисляется как инвариант Рохлина пары $(N,s)$ где s спиновая структура на N. —

Инвариант Рохлина M равен половине инварианта Кэссона по модулю 2. Инвариант Кэссона рассматривается как Z -значный подъем инварианта Рохлина интегральной гомологии 3-сферы.

Обобщения

Теорема Кервера-Милнора ( Kervaire & Milnor 1960 ) утверждает, что если $\Sigma$ является характеристической сферой в гладком компактном 4-многообразии M , то

\operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma {\bmod {1}}6

.

Характеристическая сфера - это вложенная 2-сфера, класс гомологии которой представляет класс Штифеля – Уитни. $w_{2}(M)$ . Если $w_{2}(M)$ исчезает, мы можем взять $\Sigma$ Это любая маленькая сфера, имеющая номер самопересечения 0, из чего следует теорема Рохлина.

Теорема Фридмана -Кирби ( Freedman & Kirby 1978 ) утверждает, что если $\Sigma$ является характеристической поверхностью гладкого компактного 4-многообразия M , то

\operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma ){\bmod {1}}6

.

где $\operatorname {Arf} (M,\Sigma )$ – инвариант Арфа некоторой квадратичной формы на $H_{1}(\Sigma ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ . Этот инвариант Arf, очевидно, равен 0, если $\Sigma$ является сферой, поэтому теорема Кервера–Милнора является частным случаем.

Обобщение теоремы Фридмана-Кирби на топологические (а не гладкие) многообразия утверждает, что

\operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma )+8\operatorname {ks} (M){\bmod {1}}6

,

где $\operatorname {ks} (M)$ – Кирби–Зибенмана инвариант M . Инвариант Кирби–Зибенмана M равен 0, если M гладкий.

Арманд Борель и Фридрих Хирцебрух доказали следующую теорему: если X — гладкое компактное спиновое многообразие размерности, кратной 4, то род Â является целым числом, причем даже если размерность X равна 4 по модулю 8. Это можно вывести из Теорема Атьи–Зингера об индексе : Майкл Атья и Исадор Сингер показали, что род Â является индексом оператора Атьи–Зингера, который всегда является целым и имеет четные размеры 4 по модулю 8. Для 4-мерного многообразия сигнатура Хирцебруха Теорема показывает, что сигнатура в −8 раз больше рода Â, поэтому в размерности 4 это подразумевает теорему Рохлина.

Ошанин (1980) доказал, что если X — компактное ориентированное гладкое спиновое многообразие размерности 4 по модулю 8, то его сигнатура делится на 16.

Ссылки

Фридман, Майкл ; Кирби, Робион (1978), «Геометрическое доказательство теоремы Рохлина», Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Стэнфордский университет, Стэнфорд, Калифорния, 1976), Часть 2, стр. 85–97 , Труды симпозиумов по чистой математике, вып. XXXII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1432-Х , МР 0520525
Кирби, Робион (1989), Топология 4-многообразий , Конспект лекций по математике, том. 1374, Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0089031 , ISBN 0-387-51148-2 , МР 1001966
Кервер, Мишель А .; Милнор, Джон В. (1960), «Числа Бернулли, гомотопические группы и теорема Ролина», Труды Международного конгресса математиков, 1958 , Нью-Йорк: Cambridge University Press , стр. 454–458, MR 0121801
Кервер, Мишель А.; Милнор, Джон В. (1961), «О 2-сферах в 4-многообразиях», Труды Национальной академии наук , том. 47, стр. 1651–1657, МР 0133134
Мацумото, Ёитиро (1986), Элементарное доказательство сигнатурной теоремы Рохлина и ее расширение Гийу и Марина (PDF)
Мишельсон, Мария-Луиза ; Лоусон, Х. Блейн (1989), Спиновая геометрия , Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , ISBN 0-691-08542-0 , MR 1031992 (особенно стр. 280)
Ошанин, Серж, Сигнатура по модулю 16, обобщенные инварианты Кервера и характеристические числа в вещественной K-теории , Mém. Соц. Математика. Франция 1980/81, нет. 5, МР 1809832
Рохлин Владимир А. , Новые результаты в теории четырехмерных многообразий , Доклады акад. Наук. СССР (НС) 84 (1952) 221–224. МИСТЕР 0052101
Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3749-8 , МР 2136212
Сюч, Андраш (2003), «Две теоремы Рохлина», Журнал математических наук , 113 (6): 888–892, doi : 10.1023/A:1021208007146 , MR 1809832 , S2CID 117175810