Мазурский коллектор

В дифференциальной топологии , разделе математики, многообразие Мазура — это сжимаемое, компактное , гладкое четырехмерное многообразие с краем, которое не диффеоморфно стандартному четырехмерному шару . Обычно эти коллекторы дополнительно должны иметь разложение ручки с помощью одного $1$-ручка и один $2$-ручка; в противном случае их просто называли бы сжимаемыми многообразиями. Граница мазурского многообразия обязательно является гомологической 3-сферой .

История

Барри Мазур и Валентин Поэнару открыл эти многообразия одновременно. Акбулут и Кирби показали, что сферы гомологии Брискорна $\Sigma (2,5,7)$, $\Sigma (3,4,5)$ и $\Sigma (2,3,13)$ являются границами многообразий Мазура, что фактически привело к появлению термина «многообразие Мазура». Эти результаты были позже обобщены на другие сжимаемые многообразия Кассоном, Харером и Штерном. Одно из многообразий Мазура также является примером пробки Акбулута , которую можно использовать для построения экзотических 4-многообразий.

Коллекторы Mazur использовались Финтушелем и Штерном. построить экзотические действия группы порядка 2 на 4-сфере .

Открытие Мазура удивило по нескольким причинам:

• Каждая гладкая сфера гомологии в размерности $n\geq 5$ гомеоморфно краю компактного стягиваемого гладкого многообразия. Это следует из работы Кервера и теорема о h-кобордизме . Чуть более строго: каждая гладкая гомологическая 4-сфера диффеоморфна границе компактного стягиваемого гладкого 5-многообразия (также согласно работе Кервера). Но не всякая гомологическая 3-сфера диффеоморфна границе стягиваемого компактного гладкого 4-многообразия. Например, сфера гомологии Пуанкаре не ограничивает такое 4-многообразие, поскольку инвариант Рохлина создает препятствие.

• Теорема о h-кобордизмах означает, что по крайней мере в размерностях $n\geq 6$ существует уникальный контрактный контракт $n$-многообразие с односвязным краем, единственность которого с точностью до диффеоморфизма. Это многообразие представляет собой единичный шар. $D^{n}$. Вопрос о том, является ли $D^{5}$ допускает экзотическую гладкую структуру, но по теореме о h-кобордизме такая экзотическая гладкая структура, если она существует, должна ограничиваться экзотической гладкой структурой на $S^{4}$. Будь или нет $S^{4}$ допускает экзотическую гладкую структуру, эквивалентно другой открытой проблеме — гладкой гипотезе Пуанкаре в размерности четыре . Будь или нет $D^{4}$ допускает экзотическую гладкую структуру — еще одна открытая проблема, тесно связанная с проблемой Шенфлиса в четвертом измерении.

Наблюдение Мазура

Позволять $M$ — мазурское многообразие, построенное как $S^{1}\times D^{3}$ соединить 2-ручку. Вот набросок аргумента Мазура о том, что двойником такого многообразия Мазура является $S^{4}$. $M\times [0,1]$ является стягиваемым 5-многообразием, построенным как $S^{1}\times D^{4}$ соединить 2-ручку. 2-ручку можно развязать, поскольку присоединяющая карта представляет собой обрамленный узел в 4-многообразии. $S^{1}\times S^{3}$. Так $S^{1}\times D^{4}$ объединения 2-ручка диффеоморфна $D^{5}$. Граница $D^{5}$ является $S^{4}$. Но граница $M\times [0,1]$ является двойником ​ $M$.

Ссылки

• Рольфсен, Дейл (1990), Узлы и звенья. Исправленная перепечатка оригинала 1976 года. , Серия лекций по математике, вып. 7, Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc., стр. 355–357, глава 11E, ISBN.  0-914098-16-0 , МР   1277811