Jump to content

Мазурский коллектор

В дифференциальной топологии , разделе математики, многообразие Мазура — это сжимаемое, компактное , гладкое четырехмерное многообразие с краем, которое не диффеоморфно стандартному четырехмерному шару . Обычно эти коллекторы дополнительно должны иметь разложение ручки с помощью одного -ручка и один -ручка; в противном случае их просто называли бы сжимаемыми многообразиями. Граница мазурского многообразия обязательно является гомологической 3-сферой .

История [ править ]

Барри Мазур [1] и Валентин Поэнару [2] открыл эти многообразия одновременно. Акбулут и Кирби показали, что сферы гомологии Брискорна , и являются границами многообразий Мазура, что фактически привело к появлению термина «многообразие Мазура». [3] Эти результаты были позже обобщены на другие сжимаемые многообразия Кассоном, Харером и Штерном. [4] [5] [6] Одно из многообразий Мазура также является примером пробки Акбулута , которую можно использовать для построения экзотических 4-многообразий. [7]

Коллекторы Mazur использовались Финтушелем и Штерном. [8] построить экзотические действия группы порядка 2 на 4-сфере .

Открытие Мазура удивило по нескольким причинам:

  • Каждая гладкая сфера гомологии в размерности гомеоморфно краю компактного стягиваемого гладкого многообразия. Это следует из работы Кервера [9] и теорема о h-кобордизме . Чуть более строго: каждая гладкая гомологическая 4-сфера диффеоморфна границе компактного стягиваемого гладкого 5-многообразия (также согласно работе Кервера). Но не всякая гомологическая 3-сфера диффеоморфна границе стягиваемого компактного гладкого 4-многообразия. Например, сфера гомологии Пуанкаре не ограничивает такое 4-многообразие, поскольку инвариант Рохлина создает препятствие.
  • Теорема о h-кобордизмах означает, что по крайней мере в размерностях существует уникальный контрактный контракт -многообразие с односвязным краем, единственность которого с точностью до диффеоморфизма. Это многообразие представляет собой единичный шар. . Вопрос о том, является ли допускает экзотическую гладкую структуру, но по теореме о h-кобордизме такая экзотическая гладкая структура, если она существует, должна ограничиваться экзотической гладкой структурой на . Будь или нет допускает экзотическую гладкую структуру, эквивалентно другой открытой проблеме — гладкой гипотезе Пуанкаре в размерности четыре . Будь или нет допускает экзотическую гладкую структуру — еще одна открытая проблема, тесно связанная с проблемой Шенфлиса в четвертом измерении.

Наблюдение Мазура [ править ]

Позволять — мазурское многообразие, построенное как соединить 2-ручку. Вот набросок аргумента Мазура о том, что двойником такого многообразия Мазура является . является стягиваемым 5-многообразием, построенным как соединить 2-ручку. 2-ручку можно развязать, поскольку присоединяющая карта представляет собой обрамленный узел в 4-многообразии. . Так объединения 2-ручка диффеоморфна . Граница является . Но граница является двойником .

Ссылки [ править ]

  1. ^ Мазур, Барри (1961). «Заметка о некоторых стягиваемых 4-многообразиях». Энн. математики. 73 (1): 221–228. дои : 10.2307/1970288 . JSTOR   1970288 . МР   0125574 .
  2. ^ Поэнару, Валентин (1960). «Разложение гиперкуба в топологическое произведение» . Бык. Соц. Математика. Франция . 88 : 113–129. дои : 10.24033/bsmf.1546 . МР   0125572 .
  3. ^ Акбулут, Сельман; Кирби, Робион (1979). «Мазурские многообразия» . Мичиганская математика. Дж . 26 (3): 259–284. дои : 10.1307/mmj/1029002261 . МР   0544597 .
  4. ^ Кассон, Эндрю; Харер, Джон Л. (1981). «Некоторые линзовые пространства гомологии, ограничивающие шары рациональной гомологии» . Пасифик Дж. Математика. 96 (1): 23–36. дои : 10.2140/pjm.1981.96.23 . МР   0634760 .
  5. ^ Непостоянный, Генри Клей (1984). «Узлы, Z-гомологии 3-сфер и сжимаемые 4-многообразия». Хьюстон Дж. Математика . 10 (4): 467–493. МР   0774711 .
  6. ^ Р.Штерн (1978). «Некоторые сферы Брискорна, ограничивающие сжимаемые многообразия». Замечания амер. Математика. Соц . 25 .
  7. ^ Акбулут, Сельман (1991). «Поддельный компактный сжимаемый 4-многообразный» (PDF) . Дж. Дифференциальная геометрия. 33 (2): 335–356. дои : 10.4310/jdg/1214446320 . МР   1094459 .
  8. ^ Финтушель, Рональд; Стерн, Рональд Дж. (1981). «Экзотическая свободная инволюция на ". Ann. of Math. 113 (2): 357–365. : 10.2307 /2006987 . JSTOR   2006987. . MR   0607896 doi
  9. ^ Кервер, Мишель А. (1969). «Гладкие сферы гомологий и их фундаментальные группы» . Пер. амер. Математика. Соц. 144 : 67–72. дои : 10.1090/S0002-9947-1969-0253347-3 . МР   0253347 .
  • Рольфсен, Дейл (1990), Узлы и звенья. Исправленная перепечатка оригинала 1976 года. , Серия лекций по математике, вып. 7, Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc., стр. 355–357, глава 11E, ISBN.  0-914098-16-0 , МР   1277811
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: bf3dbfdfb1f2d3cf781079e9025cb69a__1715272020
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/bf/9a/bf3dbfdfb1f2d3cf781079e9025cb69a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Mazur manifold - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)