Рациональная теория гомотопий

В математике и, в частности, в топологии , рациональная теория гомотопии — это упрощенная версия теории гомотопии для топологических пространств , в которой все кручения в гомотопических группах игнорируются. Ее основали Деннис Салливан ( 1977 г. ) и Дэниел Куиллен ( 1969 г. ). Такое упрощение гомотопической теории значительно упрощает некоторые вычисления.

Рациональные гомотопические типы односвязных пространств можно отождествить с (классами изоморфизма) некоторых алгебраических объектов, называемых минимальными моделями Салливана, которые представляют собой коммутативные дифференциально-градуированные алгебры над рациональными числами, удовлетворяющими определенным условиям.

Геометрическим приложением была теорема Салливана и Мишлин Виге-Пуарье (1976): каждое односвязное замкнутое риманово многообразие X, кольцо рациональных когомологий которого не порождается одним элементом, имеет бесконечное множество геометрически различных замкнутых геодезических . В доказательстве использовалась теория рациональной гомотопии, чтобы показать, что Бетти пространства свободных петель X числа неограничены. Тогда теорема следует из результата Детлефа Громоля и Вольфганга Мейера, полученного в 1969 году.

Рациональные пространства

Непрерывная карта $f\colon X\to Y$ односвязных , топологических пространств называется рациональной гомотопической эквивалентностью если она индуцирует изоморфизм на гомотопических группах, тензорированных с рациональными числами $\mathbb {Q}$. Эквивалентно: f является рациональной гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда она индуцирует изоморфизм на гомологии с рациональными коэффициентами. сингулярных группах Рациональная гомотопическая категория (односвязных пространств) определяется как локализация категории односвязных пространств относительно рациональной гомотопической эквивалентности. Цель теории рациональной гомотопии — понять эту категорию (т. е. определить информацию, которую можно восстановить из рациональной гомотопической эквивалентности).

Один из основных результатов состоит в том, что рациональная гомотопическая категория эквивалентна полной подкатегории гомотопической категории топологических пространств, подкатегории рациональных пространств. По определению, рациональное пространство — это односвязный комплекс CW , все гомотопические группы которого являются векторными пространствами над рациональными числами. Для любого односвязного комплекса CW $X$, существует рациональное пространство $X_{\mathbb {Q} }$, единственный с точностью до гомотопической эквивалентности , с отображением $X\to X_{\mathbb {Q} }$ который индуцирует изоморфизм гомотопических групп, тензорированных с рациональными числами. Пространство $X_{\mathbb {Q} }$ называется рационализацией ​ $X$. Это частный случай конструкции Салливана локализации пространства на заданном наборе простых чисел .

Эквивалентные определения можно получить, используя гомологии, а не гомотопические группы. А именно, односвязный комплекс CW $X$ является рациональным пространством тогда и только тогда, когда его группы гомологий $H_{i}(X,\mathbb {Z} )$ являются рациональными векторными пространствами для всех $i>0$. Рационализация односвязного комплекса CW $X$ это уникальное рациональное пространство $X\to X_{\mathbb {Q} }$ (с точностью до гомотопической эквивалентности) с отображением $X\to X_{\mathbb {Q} }$ который индуцирует изоморфизм рациональных гомологий. Таким образом, у человека есть

$\pi _{i}(X_{\mathbb {Q} })\cong \pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }$

и

$H_{i}(X_{\mathbb {Q} },{\mathbb {Z} })\cong H_{i}(X,{\mathbb {Z} })\otimes {\mathbb {Q} }\cong H_{i}(X,{\mathbb {Q} })$

для всех $i>0$.

Эти результаты для односвязных пространств с небольшими изменениями распространяются на нильпотентные пространства (пространства, фундаментальная группа и которых нильпотентна нильпотентно действует на высших гомотопических группах).

Вычисление гомотопических групп сфер — центральная открытая проблема теории гомотопий. Однако рациональные гомотопические группы сфер были вычислены Жаном-Пьером Серром в 1951 году:

$\pi _{i}(S^{2a-1})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{if }}i=2a-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

и

$\pi _{i}(S^{2a})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{if }}i=2a{\text{ or }}i=4a-1\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Это предполагает возможность описания всей категории рациональных гомотопий практически вычислимым способом. Рациональная теория гомотопий во многом достигла этой цели.

В теории гомотопий сферы и пространства Эйленберга – Маклейна представляют собой два совершенно разных типа базовых пространств, из которых могут быть построены все пространства. В рациональной теории гомотопий эти два типа пространств становятся гораздо ближе. В частности, расчет Серра предполагает, что $S_{\mathbb {Q} }^{2a-1}$ это пространство Эйленберга – Маклейна $K(\mathbb {Q} ,2a-1)$. В более общем смысле, пусть X — любое пространство, кольцо рациональных когомологий которого представляет собой свободную градуированно-коммутативную алгебру ( тензорное произведение кольца многочленов на генераторах четной степени и внешней алгебры на генераторах нечетной степени). Тогда рационализация $X_{\mathbb {Q} }$ является произведением пространств Эйленберга–Маклейна. Гипотеза о кольце когомологий применима к любой компактной группе Ли (или, вообще, к любому пространству петель ). Например, для унитарной группы ( n ) SU

$\operatorname {SU} (n)_{\mathbb {Q} }\simeq S_{\mathbb {Q} }^{3}\times S_{\mathbb {Q} }^{5}\times \cdots \times S_{\mathbb {Q} }^{2n-1}.$

Кольцо когомологий и гомотопическая алгебра Ли

Есть два основных инварианта пространства X в категории рациональных гомотопий: рациональных когомологий кольцо $H^{*}(X,\mathbb {Q} )$ и гомотопическая алгебра Ли $\pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q}$. Рациональные когомологии — это градуированная коммутативная алгебра над $\mathbb {Q}$, а гомотопические группы образуют градуированную алгебру Ли посредством произведения Уайтхеда . (точнее, написав $\Omega X$ для пространства петель X мы имеем это $\pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q}$ является градуированной алгеброй Ли над $\mathbb {Q}$. Ввиду изоморфизма $\pi _{i}(X)\cong \pi _{i-1}(\Omega X)$, это просто означает сдвиг градуировки на 1.) Например, приведенная выше теорема Серра гласит, что $\pi _{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q}$ — свободная градуированная алгебра Ли от одной образующей степени $n-1$.

Другой способ думать о гомотопической алгебре Ли состоит в том, что гомологии пространства петель X являются универсальной обертывающей алгеброй гомотопической алгебры Ли:

$H_{*}(\Omega X,{\mathbb {Q} })\cong U(\pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} ).$

И наоборот, можно восстановить рациональную гомотопическую алгебру Ли из гомологий пространства петель как подпространства примитивных элементов в алгебре Хопфа. $H_{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q}$.

Центральный результат теории состоит в том, что рациональную гомотопическую категорию можно описать чисто алгебраическим способом; фактически, двумя разными алгебраическими способами. Во-первых, Квиллен показал, что рациональная гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории связных дифференциально-градуированных алгебр Ли . (Соответствующая градуированная алгебра Ли $\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ является гомотопической алгеброй Ли.) Во-вторых, Квиллен показал, что рациональная гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории 1-связных дифференциальных градуированных кокоммутативных коалгебр . (Ассоциированная коалгебра — это рациональные гомологии X как коалгебры; двойственное векторное пространство — это кольцо рациональных когомологий.) Эти эквивалентности были одними из первых применений теории модельных категорий Квиллена .

В частности, из второго описания следует, что для любого градуированно-коммутативного $\mathbb {Q}$-алгебра А вида

$A=\mathbb {Q} \oplus A^{2}\oplus A^{3}\oplus \cdots ,$

с каждым векторным пространством $A^{i}$ конечной размерности, существует односвязное пространство X , кольцо рациональных когомологий которого изоморфно A . (Напротив, существует множество ограничений, не до конца понятных, на целые кольца когомологий или mod p когомологий топологических пространств для простых чисел p .) В том же духе Салливан показал, что любые градуированные коммутативные $\mathbb {Q}$-алгебра с $A^{1}=0$ которое удовлетворяет двойственности Пуанкаре, является кольцом когомологий некоторого односвязного гладкого замкнутого многообразия, за исключением размерности 4 a ; в этом случае нужно также предположить, что пара пересечений на $A^{2a}$ имеет форму $\sum \pm x_{i}^{2}$ над $\mathbb {Q}$.

Может возникнуть вопрос, как перейти между двумя алгебраическими описаниями рациональной гомотопической категории. Короче говоря, алгебра Ли определяет градуированную коммутативную алгебру с помощью когомологий алгебры Ли , а расширенная коммутативная алгебра определяет градуированную алгебру Ли с помощью приведенных когомологий Андре – Квиллена . В более общем смысле существуют версии этих конструкций для дифференциально-градуированных алгебр. Эта двойственность между коммутативными алгебрами и алгебрами Ли является разновидностью двойственности Кошуля .

Алгебры Салливана

Для пространств, рациональные гомологии которых в каждой степени имеют конечную размерность, Салливан классифицировал все типы рациональных гомотопий в терминах более простых алгебраических объектов - алгебр Салливана. По определению алгебра Салливана — это коммутативная дифференциальная градуированная алгебра над рациональными числами. $\mathbb {Q}$, базовой алгеброй которой является свободная коммутативная градуированная алгебра $\bigwedge (V)$ в градуированном векторном пространстве

$V=\bigoplus _{n>0}V^{n},$

удовлетворяющее следующему «условию нильпотентности» на своем дифференциале d : пространство V представляет собой объединение возрастающей серии градуированных подпространств, $V(0)\subseteq V(1)\subseteq \cdots$, где $d=0$ на $V(0)$ и $d(V(k))$ содержится в $\bigwedge (V(k-1))$. В контексте дифференциально-градуированных алгебр A слово «коммутативный» означает градуированно-коммутативный; то есть,

$ab=(-1)^{ij}ba$

для входа ​ $A^{i}$ и б в $A^{j}$.

Алгебра Салливана называется минимальной, если образ d содержится в $\bigwedge ^{+}(V)^{2}$, где $\bigwedge ^{+}(V)$ является прямой суммой подпространств положительной степени $\bigwedge (V)$.

Модель Салливана для коммутативной дифференциальной градуированной алгебры A является алгеброй Салливана. $\bigwedge (V)$ с гомоморфизмом $\bigwedge (V)\to A$ что индуцирует изоморфизм когомологий. Если $A^{0}=\mathbb {Q}$, то A имеет минимальную модель Салливана, единственную с точностью до изоморфизма. (Предупреждение: минимальная алгебра Салливана с той же алгеброй когомологий, что и A, не обязательно должна быть минимальной моделью Салливана для A : также необходимо, чтобы изоморфизм когомологий был индуцирован гомоморфизмом дифференциальных градуированных алгебр. Существуют примеры неизоморфных минимальные модели Салливана с изоморфными алгебрами когомологий.)

Минимальная модель Салливана топологического пространства.

Для любого топологического пространства X Салливан определил коммутативную дифференциальную градуированную алгебру $A_{PL}(X)$, называемая алгеброй полиномиальных дифференциальных форм на X с рациональными коэффициентами. Элемент этой алгебры состоит из (примерно) полиномиальной формы на каждом сингулярном симплексе X , совместимой с картами граней и вырождения. Эта алгебра обычно очень велика (несчетная размерность), но ее можно заменить алгеброй гораздо меньшего размера. Точнее, любая дифференциально-градуированная алгебра с той же минимальной моделью Салливана, что и $A_{PL}(X)$ называется моделью пространства X . Когда X односвязен, такая модель определяет рациональный гомотопический тип X .

Для любого односвязного комплекса CW X со всеми рациональными группами гомологий конечной размерности существует минимальная модель Салливана. $\bigwedge V$ для $A_{PL}(X)$, который обладает тем свойством, что $V^{1}=0$ и все $V^{k}$ имеют конечную размерность. называется минимальной моделью Салливана X ; Это оно уникально с точностью до изоморфизма. Это дает эквивалентность между рациональными гомотопическими типами таких пространств и таких алгебр со свойствами:

• Рациональные когомологии пространства — это когомологии его минимальной модели Салливана.
• Пространства неразложимых в V являются двойственными рациональным гомотопическим группам пространства X .
• Произведение Уайтхеда на рациональной гомотопии является двойственным к «квадратичной части» дифференциала d .
• Два пространства имеют один и тот же рациональный гомотопический тип тогда и только тогда, когда их минимальные алгебры Салливана изоморфны.
• односвязное пространство X с Каждой возможной алгебре Салливана соответствует $V^{1}=0$ и все $V^{k}$ конечной размерности.

Когда X — гладкое многообразие, дифференциальная алгебра гладких дифференциальных форм на X ( комплекс де Рама ) является почти моделью для X ; точнее, это тензорное произведение модели X с вещественными числами и, следовательно, определяет тип вещественной гомотопии . Можно пойти дальше и определить p -пополненный гомотопический тип для X простого числа p . «Арифметический квадрат» Салливана сводит многие проблемы теории гомотопий к комбинации рациональной и p -полной теории гомотопий для всех простых чисел p .

Построение минимальных моделей Салливана для односвязных пространств распространяется и на нильпотентные пространства. Для более общих фундаментальных групп все становится сложнее; например, рациональные гомотопические группы конечного комплекса CW (такие как клин $S^{1}\vee S^{2}$) могут быть бесконечномерными векторными пространствами.

Формальные пространства

Коммутативная дифференциальная градуированная алгебра A , опять же с $A^{0}=\mathbb {Q}$, называется формальным , если A имеет модель с исчезающим дифференциалом. Это эквивалентно требованию, чтобы алгебра когомологий A (рассматриваемая как дифференциальная алгебра с тривиальным дифференциалом) была моделью A (хотя она не обязательно должна быть минимальной моделью). Таким образом, рациональный гомотопический тип формального пространства полностью определяется его кольцом когомологий.

Примеры формальных пространств включают сферы, H-пространства , симметрические пространства и компактные кэлеровы многообразия . Формальность сохраняется по продуктам и суммам клина . Для многообразий формальность сохраняется за счет связных сумм .

С другой стороны, замкнутые нильмногообразия почти никогда не являются формальными: если M — формальное нильмногообразие, то M должно быть тором некоторой размерности. Простейшим примером неформального нильмногообразия является многообразие Гейзенберга , фактор группы Гейзенберга вещественных верхних треугольных матриц размера 3 × 3 с единицами на диагонали по ее подгруппе матриц с целыми коэффициентами. Замкнутые симплектические многообразия не обязательно должны быть формальными: простейшим примером является многообразие Кодаиры – Терстона (произведение многообразия Гейзенберга с окружностью). Существуют также примеры неформальных односвязных симплектических замкнутых многообразий.

Неформальность часто можно обнаружить с помощью продуктов Massey . Действительно, если дифференциально-градуированная алгебра A является формальной, то все произведения Мэсси (более высокого порядка) должны обращаться в нуль. Обратное неверно: формальность означает, грубо говоря, «единообразное» исчезновение всех продуктов Massey. Дополнение к кольцам Борромео является неформальным пространством: оно поддерживает нетривиальное тройное произведение Масси.

Примеры

• Если X — сфера нечетной размерности $2n+1>1$, ее минимальная модель Салливана имеет один генератор a степени $2n+1$ с $da=0$, и базис элементов 1, a .
• Если X — сфера четной размерности $2n>0$, ее минимальная модель Салливана имеет два генератора a и b степеней $2n$ и $4n+1$, с $db=a^{2}$, $da=0$, и базис элементов $1,a,b\to a^{2}$, $ab\to a^{3}$, $a^{2}b\to a^{4},\ldots$, где стрелка указывает на действие d .
• Если X — комплексное проективное пространство $\mathbb {CP} ^{n}$ с $n>0$, ее минимальная модель Салливана имеет два генератора u и x степени 2 и $2n+1$, с $du=0$ и $dx=u^{n+1}$. Имеет основу из элементов $1,u,u^{2},\ldots ,u^{n}$, $x\to u^{n+1}$, $xu\to u^{n+2},\ldots$.
• Предположим, что V имеет 4 элемента a , b , x , y степеней 2, 3, 3 и 4 с дифференциалами $da=0$, $db=0$, $dx=a^{2}$, $dy=ab$. Тогда эта алгебра является минимальной алгеброй Салливана, которая не является формальной. Алгебра когомологий имеет нетривиальные компоненты только в размерности 2, 3, 6, порожденные соответственно a , b и $xb-ay$. Любой гомоморфизм V в его алгебру когомологий отобразит y в 0, а x в число, кратное b ; так что это будет отображаться $xb-ay$ до 0. Таким образом, V не может быть моделью своей алгебры когомологий. Соответствующие топологические пространства представляют собой два пространства с изоморфными кольцами рациональных когомологий, но разными типами рациональных гомотопий. Обратите внимание, что $xb-ay$ находится в продукте Massey $\langle [a],[a],[b]\rangle$.

Эллиптические и гиперболические пространства

Теория рациональной гомотопии выявила неожиданную дихотомию среди конечных комплексов CW: либо рациональные гомотопические группы равны нулю в достаточно высоких степенях, либо они растут экспоненциально . А именно, пусть X — односвязное пространство такое, что $H_{*}(X,\mathbb {Q} )$ является конечномерным $\mathbb {Q}$-векторное пространство (например, этим свойством обладает конечный комплекс CW). Определим X как рационально эллиптический, если $\pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q}$ также является конечномерным $\mathbb {Q}$-векторное пространство, а в остальном - рационально гиперболическое . Затем Феликс и Гальперин показали: если X рационально гиперболично, то существует действительное число $C>1$ и целое число N такое, что

$\sum _{i=1}^{n}\dim _{\mathbb {Q} }\pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }\geq C^{n}$

для всех $n\geq N$.

Например, сферы, комплексные проективные пространства и однородные пространства для компактных групп Ли эллиптическими являются . С другой стороны, «большинство» конечных комплексов гиперболичны. Например:

• Кольцо рациональных когомологий эллиптического пространства удовлетворяет двойственности Пуанкаре.
• Если X — эллиптическое пространство, верхняя ненулевая группа рациональных когомологий которого имеет степень n , то каждое число Бетти $b_{i}(X)$ не более чем биномиальный коэффициент ${\binom {n}{i}}$ (с равенством для n -мерного тора).
• Эйлерова характеристика эллиптического пространства X неотрицательна. Если характеристика Эйлера положительна, то все нечетные числа Бетти $b_{2i+1}(X)$ равны нулю, а кольцо рациональных когомологий X является полным кольцом пересечений .

Существует много других ограничений на кольцо рациональных когомологий эллиптического пространства.

предсказывает Гипотеза Ботта , что каждое односвязное замкнутое риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной должно быть рационально эллиптическим. Об этой гипотезе известно очень мало, хотя она справедлива для всех известных примеров таких многообразий.

Гипотеза Гальперина утверждает, что рациональная спектральная последовательность Серра расслоенной последовательности односвязных пространств с рационально эллиптическим слоем ненулевой эйлеровой характеристики исчезает на второй странице.

Односвязный конечный комплекс X рационально эллиптичен тогда и только тогда, когда рациональные гомологии пространства петель $\Omega X$ растет не более чем полиномиально. В более общем смысле X называется целоэллиптическим , если модулю p гомологии по $\Omega X$ растет не более чем полиномиально для каждого простого числа p . Все известные римановы многообразия неотрицательной секционной кривизны на самом деле являются целоэллиптическими.

См. также

• Теорема Манделла - аналог теории рациональных гомотопий в p-адических условиях.
• Теория хроматической гомотопии

Ссылки

• Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (1993), «Эллиптические пространства II», Математическое образование , 39 (1–2): 25–32, doi : 10.5169/seals-60412 , MR   1225255
• Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (2001), Теория рациональной гомотопии , Нью-Йорк: Springer Nature , doi : 10.1007/978-1-4613-0105-9 , ISBN  0-387-95068-0 , МР   1802847
• Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (2015), Рациональная гомотопическая теория II , Сингапур: World Scientific , doi : 10.1142/9473 , ISBN  978-981-4651-42-4 , МР   3379890
• Феликс, Ив; Опрея, Джон; Танре, Дэниел (2008), Алгебраические модели в геометрии , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN  978-0-19-920651-3 , МР   2403898
• Гриффитс, Филипп А .; Морган, Джон В. (1981), Рациональная теория гомотопии и дифференциальные формы , Бостон: Биркхойзер, ISBN  3-7643-3041-4 , МР   0641551
• Гесс, Кэтрин (1999), «История теории рациональной гомотопии», Джеймс, Иоан М. (редактор), «История топологии» , Амстердам: Северная Голландия, стр. 757–796, doi : 10.1016/B978-044482375 -5/50028-6 , ISBN  0-444-82375-1 , МР   1721122
• Гесс, Кэтрин (2007), «Рациональная теория гомотопии: краткое введение» (PDF) , Взаимодействие между теорией гомотопии и алгеброй , Современная математика, том. 436, Американское математическое общество , стр. 175–202, arXiv : math/0604626 , doi : 10.1090/conm/436/08409 , ISBN  9780821838143 , МР   2355774
• Мэй, Дж. Питер ; Понто, Кэтлин (2012), Более краткая алгебраическая топология. Локализация, завершение и категории моделей (PDF) , University of Chicago Press , ISBN  978-0-226-51178-8 , МР   2884233
• Павлов, Александр В. (2002), «Оценки чисел Бетти рационально эллиптических пространств», Сибирский математический журнал , 43 (6): 1080–1085, doi : 10.1023/A:1021173418920 , MR   1946233
• Куиллен, Дэниел (1969), «Рациональная гомотопическая теория», Annals of Mathematics , 90 (2): 205–295, doi : 10.2307/1970725 , JSTOR   1970725 , MR   0258031
• Салливан, Деннис (1977), «Бесконечно-малые вычисления в топологии» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 : 269–331, doi : 10.1007/bf02684341 , hdl : 10338.dmlcz/128041 , MR   0646078
• Салливан, Деннис (2001) [1994], «Рациональная теория гомотопий» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Салливан, Деннис; Виге-Пуарье, Мишлин (1976), «Теория гомологии замкнутой геодезической задачи», Journal of Differential Geometry , 11 (4): 633–644, doi : 10.4310/jdg/1214433729 , MR   0455028