Магма (алгебра)
Алгебраические структуры |
---|
В абстрактной магма , , бинар алгебре [1] или, реже, группоид — это базовый вид алгебраической структуры . В частности, магма состоит из множества, оснащенного одной бинарной операцией должна быть закрыта , которая по определению . Никакие другие свойства не налагаются.
История и терминология [ править ]
Термин группоид был введен в 1927 году Генрихом Брандтом при описании его группоида Брандта . Затем этот термин был присвоен Б.А. Хаусманном и Ойстейном Оре (1937). [2] в том смысле (множества с бинарной операцией), который используется в этой статье. В паре обзоров последующих статей в Zentralblatt Брандт категорически не согласился с такой перегрузкой терминологии. Группоид Брандта является группоидом в том смысле, который используется в теории категорий, но не в том смысле, который используют Хаусманн и Оре. Тем не менее, влиятельные книги по теории полугрупп, в том числе Клиффорд и Престон (1961) и Хоуи (1995), используют группоид в смысле Хаусмана и Оре. Холлингс (2014) пишет, что термин группоид «возможно, чаще всего используется в современной математике» в том смысле, который придается ему в теории категорий. [3]
По словам Бергмана и Хаускнехта (1996): «Не существует общепринятого слова для обозначения множества с не обязательно ассоциативной бинарной операцией. Слово группоид используется многими универсальными алгебраистами, но специалисты в теории категорий и смежных областях категорически возражают против этого использования. потому что они используют одно и то же слово для обозначения «категории, в которой все морфизмы обратимы». Термин «магма» использовал Серр [Алгебры и группы Ли, 1965]». [4] Оно также появляется в Бурбаки » «Элементах математики «Алгебра», главы с 1 по 3, 1970 год . [5]
Определение [ править ]
Магма — это множество M, с операцией •, которая переводит любые два элемента a , b ∈ M в другой элемент, a • b ∈ M. сопоставленное Символ • является общим заполнителем для правильно определенной операции. Чтобы квалифицироваться как магма, набор и операция ( M , •) должны удовлетворять следующему требованию (известному как аксиома магмы или замыкания ):
- Для всех a , b в M результат операции a • b находится в M. также
И в математической записи:
Если • вместо этого является частичной операцией , то ( M , •) называется частичной магмой. [6] или, чаще, частичный группоид . [6] [7]
Морфизм магм [ править ]
Морфизм ( магмы — это функция f : M → N , которая отображает магму ( M , •) в магму N , ∗) , сохраняющую бинарную операцию:
- ж ( Икс • у ) знак равно ж ( Икс ) * ж ( у ).
Обозначения и комбинаторика [ править ]
Операцию магмы можно применять неоднократно, и в общем, неассоциативном случае имеет значение порядок, который обозначается круглыми скобками. Кроме того, операция • часто опускается и обозначается сопоставлением:
- ( а • ( б • c )) • d ≡ ( а ( bc )) d .
Для уменьшения количества круглых скобок часто используется сокращение, в котором самые внутренние операции и пары круглых скобок опускаются и заменяются только сопоставлением: xy • z ≡ ( x • y ) • z . Например, приведенное выше сокращенно до следующего выражения, все еще содержащего круглые скобки:
- ( а • до н.э ) d .
Способом полностью избежать использования круглых скобок является префиксная запись , в которой одно и то же выражение будет записываться •• a • bcd . Другой способ, знакомый программистам, — это постфиксная нотация ( обратная польская нотация ), в которой то же выражение будет записываться abc •• d • , при котором порядок выполнения просто слева направо (без каррирования ).
Совокупность всех возможных строк, состоящих из символов, обозначающих элементы магмы, и наборов сбалансированных круглых скобок, называется языком Дика . Общее количество различных способов записи n применений оператора магмы определяется каталонским числом C n . Так, например, C 2 = 2 , что является просто утверждением, что ( ab ) c и a ( bc ) — единственные два способа объединения трех элементов магмы в пары с помощью двух операций. Менее тривиально, C 3 = 5 : (( ab ) c ) d , ( a ( bc )) d , ( ab ) ( cd ) , a ( ( bc ) d ) и a ( b ( cd )) .
Есть н н 2 магмы с n элементами, поэтому существует 1, 1, 16, 19683, 4 294 967 296 , ... (последовательность A002489 в OEIS ) магм с 0, 1, 2, 3, 4, ... элементами. Соответствующие количества неизоморфных магм равны 1, 1, 10, 3330, 178 981 952 , ... (последовательность A001329 в OEIS ), а количества одновременно неизоморфных и неантиизоморфных магм равны 1, 1, 7. , 1734, 89 521 056 , ... (последовательность A001424 в OEIS ). [8]
Свободная магма [ править ]
Свободная магма M X на множестве X — это «наиболее общая возможная» магма, порожденная X (т. е. на генераторы не налагаются никакие отношения или аксиомы; см. свободный объект ). Бинарная операция над M X формируется путем заключения каждого из двух операндов в круглые скобки и их сопоставления в одном и том же порядке. Например:
- а • б = ( а )( б ),
- а • ( а • б ) = ( а )(( а )( б )),
- ( а • а ) • б знак равно (( а )( а ))( б ).
M X можно описать как набор неассоциативных слов на X с сохраненными круглыми скобками. [9]
Его также можно рассматривать, в терминах, знакомых в информатике , как магму полных бинарных деревьев помеченными элементами X. с листьями , Операция заключается в соединении деревьев в корне. Поэтому он играет основополагающую роль в синтаксисе .
Свободная магма обладает таким универсальным свойством , что если f : X → N является функцией от X до любой магмы N , то существует единственное расширение f до морфизма магм f ′
- ж ′ : M Икс → N .
Виды магмы [ править ]
Магмы как таковые изучаются нечасто; вместо этого существует несколько различных видов магмы, в зависимости от того, каким аксиомам должна удовлетворять операция. Обычно изучаемые типы магмы включают:
- Квазигруппа : Магма, в которой разделение всегда возможно.
- Цикл : Квазигруппа с единичным элементом .
- Полугруппа : Магма, в которой операция ассоциативна .
- Моноид : полугруппа с единичным элементом.
- Группа : Магма с инверсией, ассоциативностью и единичным элементом.
Обратите внимание, что делимость и обратимость подразумевают свойство отмены .
- Магмы с коммутативностью
- Коммутативная магма : магма с коммутативностью.
- Коммутативный моноид : Моноид с коммутативностью.
- Абелева группа : группа с коммутативностью.
Классификация по свойствам [ править ]
Закрытие | Ассоциативный | Личность | Отмена | коммутативный | |
---|---|---|---|---|---|
Частичная магма | Ненужный | Ненужный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Полугруппоид | Ненужный | Необходимый | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Малая категория | Ненужный | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Ненужный |
группоид | Ненужный | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Ненужный |
Коммутативный группоид | Ненужный | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Необходимый |
Магма | Необходимый | Ненужный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Коммутативная магма | Необходимый | Ненужный | Ненужный | Ненужный | Необходимый |
Квазигруппа | Необходимый | Ненужный | Ненужный | Необходимый | Ненужный |
Коммутативная квазигруппа | Необходимый | Ненужный | Ненужный | Необходимый | Необходимый |
Ассоциативная квазигруппа | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Необходимый | Ненужный |
Коммутативно-ассоциативная квазигруппа | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Необходимый | Необходимый |
Единая магма | Необходимый | Ненужный | Необходимый | Ненужный | Ненужный |
Коммутативная унитарная магма | Необходимый | Ненужный | Необходимый | Ненужный | Необходимый |
Петля | Необходимый | Ненужный | Необходимый | Необходимый | Ненужный |
Коммутативный цикл | Необходимый | Ненужный | Необходимый | Необходимый | Необходимый |
Полугруппа | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Коммутативная полугруппа | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Ненужный | Необходимый |
Моноид | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Ненужный |
Коммутативный моноид | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Необходимый |
Группа | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Ненужный |
Абелева группа | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Необходимый |
Магма ( S , • ) с x , y , u , z ∈ S называется
- Медиальный
- Если оно удовлетворяет тождеству xy • uz ≡ xu • yz
- Левый полумедиальный
- Если оно удовлетворяет тождеству xx • yz ≡ xy • xz
- Правый полумедиальный
- Если оно удовлетворяет тождеству yz • xx ≡ yx • zx
- Полумедиальный
- Если он одновременно левый и правый полумедиальный
- Левый дистрибутив
- Если оно удовлетворяет тождеству x • yz ≡ xy • xz
- Правый дистрибутив
- Если оно удовлетворяет тождеству yz • x ≡ yx • zx
- Автодистрибутив
- Если оно является одновременно левым и правым дистрибутивом
- коммутативный
- Если оно удовлетворяет тождеству xy ≡ yx
- Идемпотент
- Если оно удовлетворяет тождеству xx ≡ x
- Одномогущий
- Если оно удовлетворяет тождеству xx ≡ yy
- Зеропотент
- Если оно удовлетворяет тождествам xx • y ≡ xx ≡ y • xx [10]
- Альтернатива
- Если оно удовлетворяет тождествам xx • y ≡ x • xy и x • yy ≡ xy • y
- Сильно-ассоциативный
- Если субмагма, порожденная каким-либо элементом, ассоциативна
- Гибкий
- если ху • х ≡ х • yx
- Ассоциативный
- Если она удовлетворяет тождеству x • yz ≡ xy • z , называется полугруппой
- Левый унар
- Если оно удовлетворяет тождеству xy ≡ xz
- Правильный унар
- Если оно удовлетворяет тождеству yx ≡ zx
- Полугруппа с нулевым умножением или нулевая полугруппа
- Если оно удовлетворяет тождеству xy ≡ uv
- Юнитал
- Если у него есть элемент идентификации
- Левый- отменяющий
- Если для всех x , y , z соотношение xy = xz влечет за собой y = z
- Правоотменяющий
- Если для всех x , y , z соотношение yx = zx влечет за собой y = z
- Отмена
- Если это одновременно правосократяющееся и левосокращающееся
- Полугруппа с левыми нулями
- Если это полугруппа и она удовлетворяет тождеству xy ≡ x
- Полугруппа с правыми нулями
- Если это полугруппа и она удовлетворяет тождеству yx ≡ x
- Тримедиальный
- Если любая тройка (не обязательно различных) элементов порождает срединную субмагму
- Энтропийный
- Если это гомоморфный образ магмы медиального сокращения . [11]
Количество магм, удовлетворяющих заданным свойствам [ править ]
Идемпотентность | Коммутативное свойство | Ассоциативное свойство | Отмена собственности | Последовательность OEIS (с маркировкой) | Последовательность OEIS (классы изоморфизма) |
---|---|---|---|---|---|
Ненужный | Ненужный | Ненужный | Ненужный | А002489 | А001329 |
Необходимый | Ненужный | Ненужный | Ненужный | А090588 | А030247 |
Ненужный | Необходимый | Ненужный | Ненужный | А023813 | А001425 |
Ненужный | Ненужный | Необходимый | Ненужный | А023814 | А001423 |
Ненужный | Ненужный | Ненужный | Необходимый | A002860 добавить a(0)=1 | А057991 |
Необходимый | Необходимый | Ненужный | Ненужный | А076113 | А030257 |
Необходимый | Ненужный | Необходимый | Ненужный | ||
Необходимый | Ненужный | Ненужный | Необходимый | ||
Ненужный | Необходимый | Необходимый | Ненужный | А023815 | А001426 |
Ненужный | Необходимый | Ненужный | Необходимый | А057992 | |
Ненужный | Ненужный | Необходимый | Необходимый | A034383 добавить a(0)=1 | A000001 с a(0)=1 вместо 0 |
Необходимый | Необходимый | Необходимый | Ненужный | ||
Необходимый | Необходимый | Ненужный | Необходимый | a(n)=1 для n=0 и всех нечетных n, a(n)=0 для всех четных n≥2 | |
Необходимый | Ненужный | Необходимый | Необходимый | a(0)=a(1)=1, a(n)=0 для всех n≥2 | a(0)=a(1)=1, a(n)=0 для всех n≥2 |
Ненужный | Необходимый | Необходимый | Необходимый | A034382 добавить a(0)=1 | A000688 добавить a(0)=1 |
Необходимый | Необходимый | Необходимый | Необходимый | a(0)=a(1)=1, a(n)=0 для всех n≥2 | a(0)=a(1)=1, a(n)=0 для всех n≥2 |
Категория магм [ править ]
Категория магм, обозначаемая Mag , — это категория , объектами которой являются магмы, а морфизмы — гомоморфизмы магмы . Категория Mag имеет прямые произведения и существует функтор включения : Set → Med ↪ Mag как тривиальные магмы, с операциями, заданными проекцией x T y = y .
Важным свойством является то, что инъективный эндоморфизм может быть расширен до автоморфизма магмы расширения , просто копредела ( постоянной последовательности) эндоморфизма .
Поскольку синглтон ({*}, *) является конечным объектом Mag Mag и поскольку Mag является алгебраическим , является точечным и полным . [12]
См. также [ править ]
- Категория магмы
- Универсальная алгебра
- Система компьютерной алгебры Magma , названная в честь объекта данной статьи.
- Коммутативная магма
- Алгебраические структуры, все аксиомы которых являются тождествами.
- Группоидная алгебра
- Набор для зала
Ссылки [ править ]
- ^ Бергман, Клиффорд (2011), Универсальная алгебра: основы и избранные темы , CRC Press, ISBN 978-1-4398-5130-2
- ^ Хаусманн, бакалавр; Оре, Эйстейн (октябрь 1937 г.), «Теория квазигрупп», American Journal of Mathematics , 59 (4): 983–1004, doi : 10.2307/2371362 , JSTOR 2371362 .
- ^ Холлингс, Кристофер (2014), Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп , Американское математическое общество, стр. 142–143, ISBN 978-1-4704-1493-1 .
- ^ Бергман, Джордж М.; Хаускнехт, Адам О. (1996), Когруппы и кокольца в категориях ассоциативных колец , Американское математическое общество, с. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7 .
- ^ Бурбаки, Н. (1998) [1970], «Алгебраические структуры: §1.1 Законы композиции: Определение 1» , Алгебра I: Главы 1–3 , Спрингер, стр. 1, ISBN 978-3-540-64243-5 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Мюллер-Хойссен, Фолькерт; Палло, Жан Марсель; Сташефф, Джим, ред. (2012), Ассоциэдры, Решетки Тамари и родственные структуры: Tamari Memorial Festschrift , Springer, стр. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9 .
- ^ Евсеев, А.Е. (1988), «Обзор частичных группоидов», в книге Сильвер, Бен (ред.), Девятнадцать статей по алгебраическим полугруппам , Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-3115-1 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Группоид» . Математический мир .
- ^ Роуэн, Луи Галле (2008), «Определение 21B.1». , Аспирантура по алгебре: некоммутативный взгляд , Аспирантура по математике , Американское математическое общество , с. 321, ISBN 0-8218-8408-5 .
- ^ Кепка, Т.; Немец, П. (1996), «Простые сбалансированные группоиды» (PDF) , Журнал Палацкого университета в Оломоуце. Сила природных вещей. Математика , 35 (1): 53–60 .
- ^ Ежек, Ярослав; Кепка, Томаш (1981), «Свободные энтропийные группоиды» (PDF) , Математические заметки Университета Каролины , 22 (2): 223–233, MR 0620359 .
- ^ Борсо, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Спрингер. стр. 7, 19. ISBN. 1-4020-1961-0 .
- Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Магма» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Группоид» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Свободная магма» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Вайсштейн, Эрик В. «Группоид» . Математический мир .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Брук, Ричард Хьюберт (1971), Обзор бинарных систем (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3