Комплексно-ориентированная теория когомологий

В алгебраической топологии комплексно -ориентируемая теория когомологий — это мультипликативная теория когомологий E такая, что отображение ограничения $E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })\to E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})$ является сюръективным. Элемент $E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })$ который ограничивается каноническим генератором приведенной теории ${\widetilde {E}}^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})$ называется комплексной ориентацией . Это понятие является центральным в работе Квиллена, связывающей когомологии с формальными групповыми законами . ^{[ нужна ссылка ]}

Если E — четная теория, означающая $\pi _{3}E=\pi _{5}E=\cdots$ , то E комплексно ориентируемо. Это следует из спектральной последовательности Атьи–Хирцебруха .

Примеры:

Обыкновенные когомологии с любым кольцом коэффициентов R комплексно ориентируемы, так как $\operatorname {H} ^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty };R)\simeq \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1};R)$ .
Комплексная K -теория, обозначаемая KU , является комплексно-ориентируемой, поскольку она четно-градуированная. ( Теорема Ботта о периодичности )
Комплексный кобордизм , спектр которого обозначается MU, является комплексно-ориентируемым.

Комплексная ориентация, назовем ее t , порождает следующий формальный групповой закон: пусть m — умножение

\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty },([x],[y])\mapsto [xy]

где $[x]$ обозначает линию, проходящую через x в базовом векторном пространстве $\mathbb {C} [t]$ из $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }$ . Это карта, классифицирующая тензорное произведение универсального линейного расслоения по $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }$ . Просмотр

E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })=\varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})=\varprojlim R[t]/(t^{n+1})=R[\![t]\!],\quad R=\pi _{*}E

,

позволять $f=m^{*}(t)$ быть откатом t вдоль m . Оно живет в

E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })=\varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{m})=\varprojlim R[x,y]/(x^{n+1},y^{m+1})=R[\![x,y]\!]

и, используя свойства тензорного произведения линейных расслоений, можно показать, что это формальный групповой закон (например, удовлетворяет ассоциативности).