Псевдомногообразие

В математике псевдомногообразие — особый тип топологического пространства . оно выглядит как многообразие В большинстве точек , но может содержать особенности . Например, конус решений $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ образует псевдомногообразие.

Псевдомногообразие можно рассматривать как комбинаторную реализацию общей идеи многообразия с особенностями. Понятия ориентируемости , ориентации и степени отображения имеют смысл для псевдомногообразий, и более того, в рамках комбинаторного подхода псевдомногообразия образуют естественную область определения этих понятий. ^[1]^[2]

Определение

Топологическое пространство X, наделенное триангуляцией K , является n -мерным псевдомногообразием, если выполняются следующие условия: ^[3]

( чистый ) Икс знак равно | К | является объединением всех n - симплексов .
Каждый ( n –1)-симплекс является гранью ровно одного или двух n -симплексов при n > 1 .
Для каждой пары n σ и σ' в K существует последовательность n -симплексов -симплексов σ = σ ₀ , σ ₁ , ..., σ _k = σ' такая, что пересечение σ _i ∩ σ _{i +1} является ( n −1)-симплексом для всех i = 0, ..., k −1.

Последствия определения

Условие 2 означает, что X — неветвящийся симплициальный комплекс . ^[4]
Условие 3 означает, что X — сильно связный симплициальный комплекс. ^[4]
Если мы потребуем выполнения условия 2 только для ( n −1)-симплексов в последовательностях из n -симплексов в условии 3, мы получим эквивалентное определение только для n = 2. Для n≥3 существуют примеры комбинаторных непсевдомногообразий, сильно связанных через последовательности n -симплексов, удовлетворяющих условию 2. ^[5]

Разложение

Сильно связанные n-комплексы всегда можно собрать из n -симплексов, склеив всего два из них по ( n −1)-симплексам . Однако в целом построение склейкой может привести к непсевдомногообразию (см. рис. 2).

Рисунок 2. Склеивание многообразия по краям многообразия (зеленым цветом) может привести к созданию ребер, не являющихся псевдомногообразиями (красным цветом). Разложение возможно при разрезании (синим цветом) по особому краю.

Тем не менее, всегда возможно разложить поверхность, не являющуюся псевдомногообразием, на части многообразия, разрезающие только по особым ребрам и вершинам (см. рисунок 2, выделенный синим цветом). Для некоторых поверхностей возможны несколько неэквивалентных вариантов (см. рисунок 3).

Рисунок 3: Поверхность непсевдомногообразия слева можно разложить на ориентируемое многообразие (центральное) или на неориентируемое многообразие (справа).

С другой стороны, в более высоком измерении, при n>2, ситуация становится довольно сложной.

В общем случае при n≥3 n-псевдомногообразия нельзя разложить на части многообразия только путем разрезания по особенностям (см. рисунок 4).

Рисунок 4: Два 3-псевдомногообразия с особенностями (красным), которые нельзя разбить на части многообразия только разрезанием по особенностям.

При n≥3 существуют n-комплексы, которые невозможно разложить даже на части псевдомногообразия только разрезанием по особенностям. ^[5]

Связанные определения

Псевдомногообразие называется нормальным , если зацепление каждого симплекса коразмерности ≥ 2 является псевдомногообразием.

Примеры

( Защемленный тор см. рисунок 1) является примером ориентируемого компактного двумерного псевдомногообразия. ^[3]

(Обратите внимание, что защемленный тор не является нормальным псевдомногообразием, поскольку звено вершины не связно.)

Комплексные алгебраические многообразия (даже с особенностями) являются примерами псевдомногообразий. ^[4]

(Обратите внимание, что реальные алгебраические многообразия не всегда являются псевдомногообразиями, поскольку их особенности могут иметь коразмерность 1, например xy=0.)

Пространства Тома векторных расслоений над триангулируемыми компактными многообразиями являются примерами псевдомногообразий. ^[4]
Триангулируемые компактные связные над многообразия гомологий Z являются примерами псевдомногообразий. ^[4]
Комплексы, полученные склейкой двух 4-симплексов в общий тетраэдр, представляют собой собственное надмножество 4-псевдомногообразий, используемых в в виде спиновой пены формулировке петлевой квантовой гравитации . ^[6]
Комбинаторные n-комплексы, определяемые склейкой двух n -симплексов на (n-1) -грани, не всегда являются n-псевдомногообразиями. Склеивание может вызвать непсевдомногообразие. ^[5]

См. также

Расслоенное пространство

Ссылки

^ Зайферт, Х.; Трелфолл, В. (1980), Учебник топологии , Academic Press Inc., ISBN 0-12-634850-2
^ Спэньер, Х. (1966), Алгебраическая топология , McGraw-Hill Education, ISBN 0-07-059883-5
^ Перейти обратно: ^а ^б Брасселе, JP (1996). «Пересечение алгебраических циклов». Журнал математических наук . 82 (5). Спрингер Нью-Йорк: 3625–3632. дои : 10.1007/bf02362566 . S2CID 122992009 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Д. В. Аносов (2001) [1994], «Псевдомногообразие» , Энциклопедия математики , EMS Press , получено 6 августа 2010 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Ф. Морандо. Декомпозиция и моделирование в немногообразной области (доктор философии). стр. 139–142. arXiv : 1904.00306v1 .
^ Баэз, Джон С; Кристенсен, Дж. Дэниел; Хэлфорд, Томас Р.; Цанг, Дэвид С. (22 августа 2002 г.). «Модели спиновой пены римановой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 19 (18). Издательство ИОП: 4627–4648. arXiv : gr-qc/0202017 . дои : 10.1088/0264-9381/19/18/301 . ISSN 0264-9381 .

[1] Зайферт, Х.; Трелфолл, В. (1980), Учебник топологии , Academic Press Inc., ISBN 0-12-634850-2

[2] Спэньер, Х. (1966), Алгебраическая топология , McGraw-Hill Education, ISBN 0-07-059883-5

[BRAS-3] Перейти обратно: ^а ^б Брасселе, JP (1996). «Пересечение алгебраических циклов». Журнал математических наук . 82 (5). Спрингер Нью-Йорк: 3625–3632. дои : 10.1007/bf02362566 . S2CID 122992009 .

[ANO-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Д. В. Аносов (2001) [1994], «Псевдомногообразие» , Энциклопедия математики , EMS Press , получено 6 августа 2010 г.

[MRN-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с Ф. Морандо. Декомпозиция и моделирование в немногообразной области (доктор философии). стр. 139–142. arXiv : 1904.00306v1 .

[Baez_Christensen_Halford_Tsang_pp._4627–4648-6] Баэз, Джон С; Кристенсен, Дж. Дэниел; Хэлфорд, Томас Р.; Цанг, Дэвид С. (22 августа 2002 г.). «Модели спиновой пены римановой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 19 (18). Издательство ИОП: 4627–4648. arXiv : gr-qc/0202017 . дои : 10.1088/0264-9381/19/18/301 . ISSN 0264-9381 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]