Степень непрерывного картирования

В топологии степень под непрерывного отображения между двумя компактными ориентированными коллекторами того же измерения - это число, которое представляет количество раз, когда доменное многообразие оборачивается вокруг коллектора диапазона отображением. Степень всегда целое число , но может быть положительным или отрицательным в зависимости от ориентаций.

Степень карты была впервые определена Брауром , ^{[ 1 ]} кто показал, что эта степень является гомотопическим инвариантом ( инвариант среди гомотопий) и использовал ее, чтобы доказать теорему с фиксированной точкой Брауэра . В современной математике степень карты играет важную роль в топологии и геометрии . В физике степень непрерывной карты (например, карта от пространства до некоторого набора параметров порядка) является одним из примеров топологического квантового числа .

Определения степени

От с ^не к с ^не

Самый простой и самый важный случай - степень непрерывной карты из $n$ -sphere $S^{n}$ к себе (в случае $n=1$ , это называется извилистым номером ):

Позволять $f\colon S^{n}\to S^{n}$ быть непрерывной картой. Затем $f$ индуцирует гомоморфизм $f_{*}\colon H_{n}\left(S^{n}\right)\to H_{n}\left(S^{n}\right)$ , где $H_{n}\left(\cdot \right)$ является $n$ Группа гомологии . Учитывая тот факт, что $H_{n}\left(S^{n}\right)\cong \mathbb {Z}$ , мы видим, что $f_{*}$ Должен быть в форме $f_{*}\colon x\mapsto \alpha x$ для некоторых фиксированных $\alpha \in \mathbb {Z}$ Полем Этот $\alpha$ затем называется степенью $f$ .

Между коллекторами

Алгебраическая топология

Пусть x и y закрыты подключенными могут быть M -мерными коллекторами . коллектора Poincare Duality подразумевает, что главная группа гомологии изоморфна до z . Выбор ориентации означает выбор генератора высшей гомологической группы.

Непрерывная карта F : x → Y вызывает гомоморфизм F _∗ от H _M ( x ) до H _M ( y ). Пусть [ x ], соответственно. [ Y ] быть выбранным генератором h _m ( x ), соответственно. H _M ( Y ) (или фундаментальный класс X . , Y ) Тогда степень F x определяется как f _* ([ ] ). Другими словами,

f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.

Если y в y и f ⁻¹( y конечным набором, степень F может быть рассчитана с учетом m -th локальной гомологии x ) является в каждой точке F ⁻¹( y ). А именно, если $f^{-1}(y)=\{x_{1},\dots ,x_{m}\}$ , затем

\deg(f)=\sum _{i=1}^{m}\deg(f|_{x_{i}})\,.

Дифференциальная топология

На языке дифференциальной топологии степень гладкой карты можно определить следующим образом: если плавная , домен , доклад компакт F карта -

f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.

Благодаря регулярному значению , в районе каждого X _I карта F является локальным диффеоморфизмом . Диффеоморфизмы могут быть либо сохранением ориентации, либо обращением с ориентацией. Пусть r - количество точек x _i, в которых F является сохранением ориентации, и S - это число, в котором F обращается с ориентацией. Когда кодом F подключен, число R - S не зависит от выбора P (хотя не !), А один определяет степень F как является R - S. N Это определение совпадает с алгебраическим топологическим определением выше.

Такое же определение работает для компактных коллекторов с границей , но затем F должен отправить границу x на границу y .

Можно также определить степень модуля 2 (град ₂ ( f )) так же, как и раньше, но принять фундаментальный класс в гомологии z ₂ . В этом случае deg ₂ ( f ) является элементом z ₂ ( поле с двумя элементами ), коллекторы не должны быть ориентированы, и если n - количество предварительных изображений , как и раньше, то Deg ₂ ( f ) - n modulo 2 Полем

Интеграция дифференциальных форм дает спаривание между (c ^∞-) единственная гомология и кохомология де Рам : ${\textstyle \langle c,\omega \rangle =\int _{c}\omega }$ , где $c$ Является ли класс гомологии, представленный циклом $c$ и $\omega$ Закрытая форма, представляющая класс кохомологии De Rham. Для гладкой карты F : x → y между ориентированными m -manifolds, один

\left\langle f_{*}[c],[\omega ]\right\rangle =\left\langle [c],f^{*}[\omega ]\right\rangle ,

где f _∗ и f ^∗ индуцированные карты на цепях и формах соответственно. Поскольку f _∗ [ x ] = deg f · [ y ], мы

\deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,

для любого m -форма ω на y .

Карты из закрытого региона

Если $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ является ограниченным регионом , $f:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}$ гладкий, $p$ обычная ценность $f$ и $p\notin f(\partial \Omega )$ , затем степень $\deg(f,\Omega ,p)$ определяется формулой

\deg(f,\Omega ,p):=\sum _{y\in f^{-1}(p)}\operatorname {sgn} \det(Df(y))

где $Df(y)$ Якобианская матрица $f$ в $y$ .

Это определение степени может быть естественно расширено для нерегулярных значений $p$ так что $\deg(f,\Omega ,p)=\deg \left(f,\Omega ,p'\right)$ где $p'$ это точка, близкая к $p$ .

Степень удовлетворяет следующие свойства: ^{[ 2 ]}

Если $\deg \left(f,{\bar {\Omega }},p\right)\neq 0$ , тогда существует $x\in \Omega$ так что $f(x)=p$ .
$\deg(\operatorname {id} ,\Omega ,y)=1$ для всех $y\in \Omega$ .
Свойство разложения: $\deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y),$ если $\Omega _{1},\Omega _{2}$ не пересекают части $\Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$ и $y\not \in f{\left({\overline {\Omega }}\setminus \left(\Omega _{1}\cup \Omega _{2}\right)\right)}$ .
Гомотопия инвариантность : если $f$ и $g$ гомотопия эквивалентны с помощью гомотопии $F(t)$ так что $F(0)=f,\,F(1)=g$ и $p\notin F(t)(\partial \Omega )$ , затем $\deg(f,\Omega ,p)=\deg(g,\Omega ,p)$
Функция $p\mapsto \deg(f,\Omega ,p)$ локально постоянно $\mathbb {R} ^{n}-f(\partial \Omega )$

Эти свойства характеризуют степень однозначно, и степень может быть определена ими аксиоматическими способами.

Аналогичным образом, мы могли бы определить степень карты между компактными ориентированными коллекторами с границей .

Характеристики

Степень карты является инвариантом гомотопии ; Кроме того, для непрерывных карт от сферы до себя это полная инвариантная гомотопия, то есть две карты $f,g:S^{n}\to S^{n}\,$ гомотопичны тогда и только тогда $\deg(f)=\deg(g)$ .

Другими словами, степень - это изоморфизм между $\left[S^{n},S^{n}\right]=\pi _{n}S^{n}$ и $\mathbf {Z}$ .

Более того, теорема HOPF утверждает, что для любого $n$ -Сядный закрытый коллектор M , две карты $f,g:M\to S^{n}$ гомотопичны тогда и только тогда $\deg(f)=\deg(g).$

Карта самостоятельно $f:S^{n}\to S^{n}$ n -sphere расширяется на карту $F:B_{n+1}\to S^{n}$ от n+1 -ball до n -sphere тогда и только тогда, когда $\deg(f)=0$ Полем (Здесь функция F расширяет F в том смысле, что F является ограничением F до $S^{n}$ .)

Расчет степени

Существует алгоритм расчета топологической степени градуса ( F , B , 0) непрерывной функции F из N -мерной коробки B (продукт интервалов N ) до $\mathbb {R} ^{n}$ , где F дается в форме арифметических выражений. ^{[ 3 ]} Реализация алгоритма доступна в Topdeg - программный инструмент для вычисления степени (LGPL -3).

Смотрите также

Покрытие номера , аналогично названный термин. Обратите внимание, что он не обобщает обмоток, но описывает обложки набора шариками
Плотность (политоп) , многогранный аналог
Топологическая теория степени

Примечания

^ Brouwer, Lej (1911). «О картировании разнообразия» . Математические летописи . 71 (1): 97–115. Doi : 10.1007/bf01456931 . S2CID 177796823 .
^ Dancer, En (2000). Исчисление вариаций и уравнений с дифференциальными частями . Springer-Verlag. С. 185–225. ISBN 3-540-64803-8 .
^ Франек, Питер; Ratschan, Stefan (2015). «Эффективные топологические расчеты, основанные на интервальной арифметике». Математика вычислений . 84 (293): 1265–1290. Arxiv : 1207.6331 . doi : 10.1090/s0025-5718-2014-02877-9 . ISSN 0025-5718 . S2CID 17291092 .

Ссылки

Фландрия, Х. (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дувр.
Хирш, М. (1976). Дифференциальная топология . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5 .
Милнор, JW (1997). Топология с дифференцируемой точки зрения . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. ISBN 978-0-691-04833-8 .
Outerelo, E.; Ruiz, JM (2009). Теория степени картирования . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4915-6 .

Внешние ссылки

«Степень Брауре» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
Давайте познакомимся со степенью картирования Раде Т. Зивалджевича.

[1] Brouwer, Lej (1911). «О картировании разнообразия» . Математические летописи . 71 (1): 97–115. Doi : 10.1007/bf01456931 . S2CID 177796823 .

[dancer-2] Dancer, En (2000). Исчисление вариаций и уравнений с дифференциальными частями . Springer-Verlag. С. 185–225. ISBN 3-540-64803-8 .

[3] Франек, Питер; Ratschan, Stefan (2015). «Эффективные топологические расчеты, основанные на интервальной арифметике». Математика вычислений . 84 (293): 1265–1290. Arxiv : 1207.6331 . doi : 10.1090/s0025-5718-2014-02877-9 . ISSN 0025-5718 . S2CID 17291092 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]