Jump to content

Степень непрерывного картирования

(Перенаправлено из степени картирования )
Степень двух карт сферы на себя.

В топологии степень под непрерывного отображения между двумя компактными ориентированными коллекторами того же измерения - это число, которое представляет количество раз, когда доменное многообразие оборачивается вокруг коллектора диапазона отображением. Степень всегда целое число , но может быть положительным или отрицательным в зависимости от ориентаций.

Степень карты была впервые определена Брауром , [ 1 ] кто показал, что эта степень является гомотопическим инвариантом ( инвариант среди гомотопий) и использовал ее, чтобы доказать теорему с фиксированной точкой Брауэра . В современной математике степень карты играет важную роль в топологии и геометрии . В физике степень непрерывной карты (например, карта от пространства до некоторого набора параметров порядка) является одним из примеров топологического квантового числа .

Определения степени

[ редактировать ]

От с не к с не

[ редактировать ]

Самый простой и самый важный случай - степень непрерывной карты из -sphere к себе (в случае , это называется извилистым номером ):

Позволять быть непрерывной картой. Затем индуцирует гомоморфизм , где является Группа гомологии . Учитывая тот факт, что , мы видим, что Должен быть в форме для некоторых фиксированных Полем Этот затем называется степенью .

Между коллекторами

[ редактировать ]

Алгебраическая топология

[ редактировать ]

Пусть x и y закрыты подключенными могут быть M -мерными коллекторами . коллектора Poincare Duality подразумевает, что главная группа гомологии изоморфна до z . Выбор ориентации означает выбор генератора высшей гомологической группы.

Непрерывная карта F : x Y вызывает гомоморфизм F от H M ( x ) до H M ( y ). Пусть [ x ], соответственно. [ Y ] быть выбранным генератором h m ( x ), соответственно. H M ( Y ) (или фундаментальный класс X . , Y ) Тогда степень F x определяется как f * ([ ] ). Другими словами,

Если y в y и f −1 ( y конечным набором, степень F может быть рассчитана с учетом m -th локальной гомологии x ) является в каждой точке F −1 ( y ). А именно, если , затем

Дифференциальная топология

[ редактировать ]

На языке дифференциальной топологии степень гладкой карты можно определить следующим образом: если плавная , домен , доклад компакт F карта -

Благодаря регулярному значению , в районе каждого X I карта F является локальным диффеоморфизмом . Диффеоморфизмы могут быть либо сохранением ориентации, либо обращением с ориентацией. Пусть r - количество точек x i, в которых F является сохранением ориентации, и S - это число, в котором F обращается с ориентацией. Когда кодом F подключен, число R - S не зависит от выбора P (хотя не !), А один определяет степень F как является R - S. N Это определение совпадает с алгебраическим топологическим определением выше.

Такое же определение работает для компактных коллекторов с границей , но затем F должен отправить границу x на границу y .

Можно также определить степень модуля 2 (град 2 ( f )) так же, как и раньше, но принять фундаментальный класс в гомологии z 2 . В этом случае deg 2 ( f ) является элементом z 2 ( поле с двумя элементами ), коллекторы не должны быть ориентированы, и если n - количество предварительных изображений , как и раньше, то Deg 2 ( f ) - n modulo 2 Полем

Интеграция дифференциальных форм дает спаривание между (c -) единственная гомология и кохомология де Рам : , где Является ли класс гомологии, представленный циклом и Закрытая форма, представляющая класс кохомологии De Rham. Для гладкой карты F : x y между ориентированными m -manifolds, один

где f и f индуцированные карты на цепях и формах соответственно. Поскольку f [ x ] = deg f · [ y ], мы

для любого m -форма ω на y .

Карты из закрытого региона

[ редактировать ]

Если является ограниченным регионом , гладкий, обычная ценность и , затем степень определяется формулой

где Якобианская матрица в .

Это определение степени может быть естественно расширено для нерегулярных значений так что где это точка, близкая к .

Степень удовлетворяет следующие свойства: [ 2 ]

  • Если , тогда существует так что .
  • для всех .
  • Свойство разложения: если не пересекают части и .
  • Гомотопия инвариантность : если и гомотопия эквивалентны с помощью гомотопии так что и , затем
  • Функция локально постоянно

Эти свойства характеризуют степень однозначно, и степень может быть определена ими аксиоматическими способами.

Аналогичным образом, мы могли бы определить степень карты между компактными ориентированными коллекторами с границей .

Характеристики

[ редактировать ]

Степень карты является инвариантом гомотопии ; Кроме того, для непрерывных карт от сферы до себя это полная инвариантная гомотопия, то есть две карты гомотопичны тогда и только тогда .

Другими словами, степень - это изоморфизм между и .

Более того, теорема HOPF утверждает, что для любого -Сядный закрытый коллектор M , две карты гомотопичны тогда и только тогда

Карта самостоятельно n -sphere расширяется на карту от n+1 -ball до n -sphere тогда и только тогда, когда Полем (Здесь функция F расширяет F в том смысле, что F является ограничением F до .)

Расчет степени

[ редактировать ]

Существует алгоритм расчета топологической степени градуса ( F , B , 0) непрерывной функции F из N -мерной коробки B (продукт интервалов N ) до , где F дается в форме арифметических выражений. [ 3 ] Реализация алгоритма доступна в Topdeg - программный инструмент для вычисления степени (LGPL -3).

Смотрите также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Brouwer, Lej (1911). «О картировании разнообразия» . Математические летописи . 71 (1): 97–115. Doi : 10.1007/bf01456931 . S2CID   177796823 .
  2. ^ Dancer, En (2000). Исчисление вариаций и уравнений с дифференциальными частями . Springer-Verlag. С. 185–225. ISBN  3-540-64803-8 .
  3. ^ Франек, Питер; Ratschan, Stefan (2015). «Эффективные топологические расчеты, основанные на интервальной арифметике». Математика вычислений . 84 (293): 1265–1290. Arxiv : 1207.6331 . doi : 10.1090/s0025-5718-2014-02877-9 . ISSN   0025-5718 . S2CID   17291092 .
  • Фландрия, Х. (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дувр.
  • Хирш, М. (1976). Дифференциальная топология . Springer-Verlag. ISBN  0-387-90148-5 .
  • Милнор, JW (1997). Топология с дифференцируемой точки зрения . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. ISBN  978-0-691-04833-8 .
  • Outerelo, E.; Ruiz, JM (2009). Теория степени картирования . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4915-6 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: c0ae933544539f514bff3b48c1454ad4__1710001620
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/c0/d4/c0ae933544539f514bff3b48c1454ad4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Degree of a continuous mapping - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)