Степень непрерывного картирования

В топологии степень под непрерывного отображения между двумя компактными ориентированными коллекторами того же измерения - это число, которое представляет количество раз, когда доменное многообразие оборачивается вокруг коллектора диапазона отображением. Степень всегда целое число , но может быть положительным или отрицательным в зависимости от ориентаций.
Степень карты была впервые определена Брауром , [ 1 ] кто показал, что эта степень является гомотопическим инвариантом ( инвариант среди гомотопий) и использовал ее, чтобы доказать теорему с фиксированной точкой Брауэра . В современной математике степень карты играет важную роль в топологии и геометрии . В физике степень непрерывной карты (например, карта от пространства до некоторого набора параметров порядка) является одним из примеров топологического квантового числа .
Определения степени
[ редактировать ]От с не к с не
[ редактировать ]Самый простой и самый важный случай - степень непрерывной карты из -sphere к себе (в случае , это называется извилистым номером ):
Позволять быть непрерывной картой. Затем индуцирует гомоморфизм , где является Группа гомологии . Учитывая тот факт, что , мы видим, что Должен быть в форме для некоторых фиксированных Полем Этот затем называется степенью .
Между коллекторами
[ редактировать ]Алгебраическая топология
[ редактировать ]Пусть x и y закрыты подключенными могут быть M -мерными коллекторами . коллектора Poincare Duality подразумевает, что главная группа гомологии изоморфна до z . Выбор ориентации означает выбор генератора высшей гомологической группы.
Непрерывная карта F : x → Y вызывает гомоморфизм F ∗ от H M ( x ) до H M ( y ). Пусть [ x ], соответственно. [ Y ] быть выбранным генератором h m ( x ), соответственно. H M ( Y ) (или фундаментальный класс X . , Y ) Тогда степень F x определяется как f * ([ ] ). Другими словами,
Если y в y и f −1 ( y конечным набором, степень F может быть рассчитана с учетом m -th локальной гомологии x ) является в каждой точке F −1 ( y ). А именно, если , затем
Дифференциальная топология
[ редактировать ]На языке дифференциальной топологии степень гладкой карты можно определить следующим образом: если плавная , домен , доклад компакт F карта -
Благодаря регулярному значению , в районе каждого X I карта F является локальным диффеоморфизмом . Диффеоморфизмы могут быть либо сохранением ориентации, либо обращением с ориентацией. Пусть r - количество точек x i, в которых F является сохранением ориентации, и S - это число, в котором F обращается с ориентацией. Когда кодом F подключен, число R - S не зависит от выбора P (хотя не !), А один определяет степень F как является R - S. N Это определение совпадает с алгебраическим топологическим определением выше.
Такое же определение работает для компактных коллекторов с границей , но затем F должен отправить границу x на границу y .
Можно также определить степень модуля 2 (град 2 ( f )) так же, как и раньше, но принять фундаментальный класс в гомологии z 2 . В этом случае deg 2 ( f ) является элементом z 2 ( поле с двумя элементами ), коллекторы не должны быть ориентированы, и если n - количество предварительных изображений , как и раньше, то Deg 2 ( f ) - n modulo 2 Полем
Интеграция дифференциальных форм дает спаривание между (c ∞ -) единственная гомология и кохомология де Рам : , где Является ли класс гомологии, представленный циклом и Закрытая форма, представляющая класс кохомологии De Rham. Для гладкой карты F : x → y между ориентированными m -manifolds, один
где f ∗ и f ∗ индуцированные карты на цепях и формах соответственно. Поскольку f ∗ [ x ] = deg f · [ y ], мы
для любого m -форма ω на y .
Карты из закрытого региона
[ редактировать ]Если является ограниченным регионом , гладкий, обычная ценность и , затем степень определяется формулой
где Якобианская матрица в .
Это определение степени может быть естественно расширено для нерегулярных значений так что где это точка, близкая к .
Степень удовлетворяет следующие свойства: [ 2 ]
- Если , тогда существует так что .
- для всех .
- Свойство разложения: если не пересекают части и .
- Гомотопия инвариантность : если и гомотопия эквивалентны с помощью гомотопии так что и , затем
- Функция локально постоянно
Эти свойства характеризуют степень однозначно, и степень может быть определена ими аксиоматическими способами.
Аналогичным образом, мы могли бы определить степень карты между компактными ориентированными коллекторами с границей .
Характеристики
[ редактировать ]Степень карты является инвариантом гомотопии ; Кроме того, для непрерывных карт от сферы до себя это полная инвариантная гомотопия, то есть две карты гомотопичны тогда и только тогда .
Другими словами, степень - это изоморфизм между и .
Более того, теорема HOPF утверждает, что для любого -Сядный закрытый коллектор M , две карты гомотопичны тогда и только тогда
Карта самостоятельно n -sphere расширяется на карту от n+1 -ball до n -sphere тогда и только тогда, когда Полем (Здесь функция F расширяет F в том смысле, что F является ограничением F до .)
Расчет степени
[ редактировать ]Существует алгоритм расчета топологической степени градуса ( F , B , 0) непрерывной функции F из N -мерной коробки B (продукт интервалов N ) до , где F дается в форме арифметических выражений. [ 3 ] Реализация алгоритма доступна в Topdeg - программный инструмент для вычисления степени (LGPL -3).
Смотрите также
[ редактировать ]- Покрытие номера , аналогично названный термин. Обратите внимание, что он не обобщает обмоток, но описывает обложки набора шариками
- Плотность (политоп) , многогранный аналог
- Топологическая теория степени
Примечания
[ редактировать ]- ^ Brouwer, Lej (1911). «О картировании разнообразия» . Математические летописи . 71 (1): 97–115. Doi : 10.1007/bf01456931 . S2CID 177796823 .
- ^ Dancer, En (2000). Исчисление вариаций и уравнений с дифференциальными частями . Springer-Verlag. С. 185–225. ISBN 3-540-64803-8 .
- ^ Франек, Питер; Ratschan, Stefan (2015). «Эффективные топологические расчеты, основанные на интервальной арифметике». Математика вычислений . 84 (293): 1265–1290. Arxiv : 1207.6331 . doi : 10.1090/s0025-5718-2014-02877-9 . ISSN 0025-5718 . S2CID 17291092 .
Ссылки
[ редактировать ]- Фландрия, Х. (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дувр.
- Хирш, М. (1976). Дифференциальная топология . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5 .
- Милнор, JW (1997). Топология с дифференцируемой точки зрения . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. ISBN 978-0-691-04833-8 .
- Outerelo, E.; Ruiz, JM (2009). Теория степени картирования . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4915-6 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- «Степень Брауре» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
- Давайте познакомимся со степенью картирования Раде Т. Зивалджевича.