Микропучок

В математике микрорасслоение — это обобщение понятия векторного расслоения , введенного американским математиком Джоном Милнором в 1964 году. ^[1] Это позволяет создавать объекты, похожие на пакеты, в ситуациях, когда обычно считается, что они не существуют. Например, касательное расслоение определено для гладкого многообразия , но не для топологического многообразия ; использование микрорасслоений позволяет определить топологическое касательное расслоение.

Определение [ править ]

А (топологический) $n$ -микрорасслоение в топологическом пространстве $B$ («базовое пространство») состоит из тройки $(E,i,p)$ , где $E$ является топологическим пространством («тотальное пространство»), $i:B\to E$ и $p:E\to B$ являются непрерывными отображениями (соответственно «нулевым сечением» и «картой проекции») такими, что:

композиция $p\circ i$ это личность $B$ ;
для каждого $b\in B$ , есть окрестности $U\subseteq B$ из $b$ и район $V\subseteq E$ из $i(b)$ такой, что $i(U)\subseteq V$ , $p(V)\subseteq U$ , $V$ гомеоморфен $U\times \mathbb {R} ^{n}$ и карты $p_{\mid V}:V\to U$ и $i_{\mid U}:U\to V$ ездить с $\mathrm {pr} _{1}:U\times \mathbb {R} ^{n}\to U$ и $U\to U\times \mathbb {R} ^{n},x\mapsto (x,0)$ .

По аналогии с векторными расслоениями целое число $n\geq 0$ также называется рангом или размерностью волокна микропучка. Аналогично заметим, что первое условие предполагает $i$ следует рассматривать как нулевое сечение векторного расслоения, а второе имитирует локальное условие тривиальности расслоения. Важным отличием здесь является то, что «локальная тривиальность» для микрорасслоений имеет место только вблизи окрестности нулевого сечения. Пространство $E$ вдали от этого района могло выглядеть очень дико. Кроме того, карты, склеивающие локально тривиальные участки микрорасслоения, могут только перекрывать волокна.

Определение микрорасслоения можно адаптировать к другим категориям, более общим, чем гладкая , например к категории кусочно-линейных многообразий , путем замены топологических пространств и непрерывных отображений подходящими объектами и морфизмами.

Примеры [ править ]

Любое векторное расслоение $p:E\to B$ ранга $n$ имеет очевидную основу $n$ -микропучок , где $i$ это нулевой участок.
Учитывая любое топологическое пространство $B$ , декартово произведение $B\times \mathbb {R} ^{n}$ (вместе с проекцией на $B$ и карта $x\mapsto (x,0)$ ) определяет $n$ -микрорасслоение, называемое стандартным тривиальным микрорасслоением ранга $n$ . Эквивалентно, это базовый микрорасслоение тривиального векторного расслоения ранга $n$ .
Учитывая топологическое многообразие размерности $n$ , декартово произведение $M\times M$ вместе с проекцией на первую компоненту и диагональным отображением $\Delta :M\to M\times M$ определяет $n$ -микропучок, называемый микропучком касательным $M$ .
Учитывая $n$ -микропучок $(E,i,p)$ над $B$ и непрерывная карта $f:A\to B$ , пространство $f^{*}E:=\{(a,e)\in A\times E\mid f(a)=p(e)\}$ определяет $n$ -микросвязка над $A$ , называемый обратным (или индуцированным) микрорасслоением $f$ , вместе с проекцией $p:=\mathrm {pr} _{1}:f^{*}E\to A$ и нулевой участок $i:A\to f^{*}E,x\mapsto (x,(i\circ f)(x))$ . Если $p:E\to B$ является векторным расслоением, обратный микрорасслоение лежащего в его основе микрорасслоения в точности является базовым микрорасслоением стандартного обратного расслоения .
Учитывая $n$ -микропучок $(E,i,p)$ над $B$ и подпространство $A\subseteq B$ , ограниченный микрорасслоение , также обозначаемый $E_{\mid A}=p^{-1}(A)$ , – микрорасслоение обратного отсчета относительно включения $A\hookrightarrow B$ .

Морфизмы [ править ]

Два $n$ -микропучки $(E_{1},i_{1},p_{1})$ и $(E_{2},i_{2},p_{2})$ над тем же пространством $B$ изоморфны (или эквивалентны) , если существует окрестность $V_{1}\subseteq E_{1}$ из $i_{1}(B)$ и район $V_{2}\subseteq E_{2}$ из $i_{2}(B)$ , вместе с гомеоморфизмом $V_{1}\cong V_{2}$ коммутируя с проекциями и нулевыми сечениями.

В более общем смысле, морфизм между микрорасслоениями состоит из зародышей непрерывных отображений. $V_{1}\to V_{2}$ между окрестностями нулевых участков, как указано выше.

Ан $n$ -микрорасслоение называется тривиальным , если оно изоморфно стандартному тривиальному микрорасслоению ранга $n$ . Таким образом, условие локальной тривиальности в определении микрорасслоения можно переформулировать следующим образом: для каждого $b\in B$ есть район $U\subseteq B$ такое, что ограничение $E_{\mid U}$ тривиально.

Аналогично параллелизуемым гладким многообразиям топологическое многообразие называется топологически параллелизуемым, если его касательное микрорасслоение тривиально.

Свойства [ править ]

Теорема Джеймса Кистера и Барри Мазура утверждает, что существует окрестность нулевого сечения, которая на самом деле представляет собой расслоение со слоями $\mathbb {R} ^{n}$ и структурная группа $\operatorname {Homeo} (\mathbb {R} ^{n},0)$ , группа гомеоморфизмов $\mathbb {R} ^{n}$ фиксируем происхождение. Это соседство уникально с точностью до изотопии . Таким образом, каждый микропучок может быть преобразован в настоящий пучок волокон по существу уникальным способом. ^[2]

Взяв пучок волокон, содержащийся в касательном микропучке $(M\times M,\Delta ,\mathrm {pr} )$ дает топологическое касательное расслоение . Интуитивно этот пакет получается, если взять за $M$ , позволяя каждой диаграмме $U$ иметь волокно $U$ по каждой точке диаграммы и склеивая эти тривиальные пучки вместе, перекрывая волокна в соответствии с картами перехода.

Теория микрорасслоений является неотъемлемой частью работ Робиона Кирби и Лорана К. Зибенмана о гладких структурах и структурах PL на многообразиях более высокой размерности . ^[3]

Ссылки [ править ]

^ Милнор, Джон Уиллард (1964). "Микросвязки. Я". Топология . 3 : 53–80. дои : 10.1016/0040-9383(64)90005-9 . МР 0161346 .
^ Кистер, Джеймс М. (1964). «Микропучки — это пучки волокон» . Анналы математики . 80 (1): 190–199. дои : 10.2307/1970498 . JSTOR 1970498 . МР 0180986 .
^ Кирби, Робион С .; Зибенманн, Лоран К. (1977). Основополагающие эссе по топологическим многообразиям, сглаживаниям и триангуляциям (PDF) . Анналы математических исследований. Том. 88. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08191-3 . МР 0645390 .

Голд, Дэвид; Гринвуд, Сина (2000). «Микрорасслоения, многообразия и метризуемость» . Труды Американского математического общества . 128 (9): 2801–2808. дои : 10.1090/s0002-9939-00-05343-0 . МР 1664358 .
Свитцер, Роберт М. (2002). Алгебраическая топология — гомотопия и гомология . Классика по математике. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-42750-6 . МР 1886843 . См. главу 14.

Внешние ссылки [ править ]

Микросвязка в Атласе многообразий.

[1] Милнор, Джон Уиллард (1964). "Микросвязки. Я". Топология . 3 : 53–80. дои : 10.1016/0040-9383(64)90005-9 . МР 0161346 .

[2] Кистер, Джеймс М. (1964). «Микропучки — это пучки волокон» . Анналы математики . 80 (1): 190–199. дои : 10.2307/1970498 . JSTOR 1970498 . МР 0180986 .

[3] Кирби, Робион С .; Зибенманн, Лоран К. (1977). Основополагающие эссе по топологическим многообразиям, сглаживаниям и триангуляциям (PDF) . Анналы математических исследований. Том. 88. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08191-3 . МР 0645390 .

[1]

[2]

[3]