когомологии L²

По математике ​ Л. ² когомологии — теория когомологий гладких метрикой некомпактных многообразий M с римановой . Она определяется так же, как и когомологии де Рама, за исключением того, что используются интегрируемые с квадратом дифференциальные формы, . Понятие квадратичной интегрируемости имеет смысл, поскольку метрика на M порождает норму для дифференциальных форм и форму объема .

л ² когомологии, которые частично выросли из L ² Оценки d-бара 1960-х годов когомологически изучались независимо Стивеном Цукером (1978) и Джеффом Чигером (1979). Это тесно связано с когомологиями пересечений ; действительно, результаты предыдущих цитированных работ могут быть выражены в терминах когомологий пересечений.

Другой такой результат — гипотеза Цукера , которая утверждает, что для эрмитова локально симметричного многообразия L ² когомологии изоморфны когомологиям пересечений (со средней извращенностью ) своей компактификации Бейли – Бореля (Zucker 1982). Это по-разному доказали Эдуард Лоойенга (1988), а также Лесли Сапер и Марк Стерн (1990).

См. также

• Форма Дирихле
• Принцип Дирихле
• Риманово многообразие

Ссылки

• Атья, Майкл Ф. (1976). «Эллиптические операторы, дискретные группы и алгебры фон Неймана». Конференция «Анализ и топология» в честь Анри Картана (Орсе, 1974) . Париж: Сок. Математика. Франция. стр. 43–72. Звездочка, № 32–33.
• Гордон, Б. Брент (2001) [1994], «Компактификация Бейли – Бореля» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Чигер, Джефф (1983), «Спектральная геометрия сингулярных римановых пространств», Журнал дифференциальной геометрии , 18 (4): 575–657, doi : 10.4310/jdg/1214438175 , MR   0730920
• Чигер, Джефф (1980). «К теории Ходжа римановых псевдомногообразий». Геометрия оператора Лапласа . Учеб. Симпозиумы. Чистая математика. Том. 36. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 91–146. МР   0573430 .
• Чигер, Джефф (1979). «О спектральной геометрии пространств с конусообразными особенностями» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 76 (5): 2103–2106. Бибкод : 1979PNAS...76.2103C . дои : 10.1073/pnas.76.5.2103 . МР   0530173 . ПМЦ   383544 . ПМИД   16592646 .
• Чигер, Дж.; Горески, М.; Макферсон, Р."Л ² Когомологии и гомологии пересечений для сингулярных алгебраических многообразий». Семинар по дифференциальной геометрии . Анналы математических исследований. Том 102. С. 303–340. MR   0645745 .
• Марк Горески , L ² когомологии - это когомологии пересечений
• Фрэнсис Кирван , Джонатан Вульф. Введение в теорию гомологии пересечений, глава 6 ISBN   1-58488-184-4
• Лоойенга, Эдуард (1988). "Л ² -когомологии локально симметричных многообразий». Compositio Mathematica . 67 (1): 3–20. MR   0949269 .
• Люк, Вольфганг (2002). л ² -инварианты: теория и приложения к геометрии и К -теории . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. Том 44. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-43566-2 .
• Сапер, Лесли; Стерн, Марк (1990). «L ₂ -когомологии арифметических многообразий». Анналы математики . Вторая серия. 132 (1): 1–69. дои : 10.2307/1971500 . JSTOR   1971500 . МР   1059935 .
• Цукер, Стивен (1978). «Теория Ходжа с вырожденными коэффициентами». Счет Возвращает. акад. Наука . 286 : 1137–1140.
• Цукер, Стивен (1979). «Теория Ходжа с вырождающимися коэффициентами: L ² -когомологии в метрике Пуанкаре». Annals of Mathematics . 109 (3): 415–476. doi : 10.2307/1971221 . JSTOR   1971221 .
• Цукер, Стивен (1982). "Л ² -когомологии деформированных произведений и арифметических групп". Inventiones Mathematicae . 70 (2): 169–218. Bibcode : 1982InMat..70..169Z . doi : 10.1007/BF01390727 . S2CID   121348276 .