Форма Дирихле

В теории потенциала (изучение гармонической функции ) и функциональном анализе формы Дирихле обобщают лапласиан ( математический оператор в скалярных полях). Формы Дирихле могут быть определены в любом пространстве с мерой без необходимости упоминания частных производных . Это позволяет математикам изучать уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности на пространствах, не являющихся многообразиями , например, фракталах . Преимущество этих пространств состоит в том, что это можно сделать без необходимости использования оператора градиента , и, в частности, таким образом можно даже слабо определить «лапласиан», если начать с формы Дирихле.

Определение

При работе над $\mathbb {R} ^{n}$, «классическая» форма Дирихле имеет вид: $${\mathcal {E}}(u,v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\;dx$$где часто обсуждают ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ которую часто называют «энергией» функции $u(x)$.

В более общем смысле, форма Дирихле — это марковская замкнутая симметрическая форма на L ² -космос . В частности, форма Дирихле в пространстве с мерой $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ это билинейная функция $${\mathcal {E}}:D\times D\to \mathbb {R}$$такой, что

1. $D$ представляет собой подмножество плотное $L^{2}(\mu )$.
2. ${\mathcal {E}}$ симметричен, то есть ${\mathcal {E}}(u,v)={\mathcal {E}}(v,u)$ для каждого $u,v\in D$.
3. ${\mathcal {E}}(u,u)\geq 0$ для каждого $u\in D$.
4. Набор $D$ оснащен внутренним продуктом, определяемым $(u,v)_{\mathcal {E}}:=(u,v)_{L^{2}(\mu )}+{\mathcal {E}}(u,v)$ является реальным гильбертовым пространством.
5. Для каждого $u\in D$ у нас есть это $u_{*}=\min(\max(u,0),1)\in D$ и ${\mathcal {E}}(u_{*},u_{*})\leq {\mathcal {E}}(u,u)$.

Другими словами, форма Дирихле — это не что иное, как неотрицательная симметричная билинейная форма, определенная на плотном подмножестве $L^{2}(X,\mu )$ такие, что выполняются 4) и 5).

Альтернативно, квадратичная форма $u\mapsto {\mathcal {E}}(u,u)$ сама по себе известна как форма Дирихле и до сих пор обозначается ${\mathcal {E}}$, так ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)$.

Гармонические функции

Функции, которые минимизируют энергию при определенных граничных условиях, называются гармоническими, и соответствующий лапласиан (слабый или нет) будет равен нулю внутри, как и ожидалось.

Например, пусть ${\mathcal {E}}$ быть стандартной формой Дирихле, определенной для $u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ как $${\mathcal {E}}(u)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}\;dx$$

Тогда гармоническая функция в обычном смысле, т. е. такая, что $\Delta u=0$, будет иметь ${\mathcal {E}}(u)=0$ как видно при интегрировании по частям.

В качестве альтернативного примера стандартная форма графа Дирихле имеет вид: $${\mathcal {E}}_{G}(u,v)=\sum _{x\sim y}((u(x)-u(y))(v(x)-v(y))$$где $x\sim y$ означает, что они соединены ребром. Пусть выбрано подмножество множества вершин и назовем его границей графа. Задайте граничное условие Дирихле (выберите действительные числа для каждой граничной вершины). Можно найти функцию, минимизирующую энергию графа, и она будет гармонической. В частности, он будет удовлетворять свойству усреднения, которое воплощает лапласиан графа, то есть, если $u_{G}(x)$ является графической гармоникой, тогда $$\Delta _{G}u_{G}(x)=\sum _{y\sim x}(u_{G}(y)-u_{G}(x))=0$$ что эквивалентно свойству усреднения $$u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y).$$

Технически такие объекты изучаются в абстрактной теории потенциала , основанной на классическом принципе Дирихле . Теория форм Дирихле возникла в работах Берлинга и Дени ( 1958 , 1959 ) о пространствах Дирихле.

Интегральные ядра

Другой пример формы Дирихле дается следующим образом: $${\mathcal {E}}(u)=\iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}(u(y)-u(x))^{2}k(x,y)\,dx\,dy$$где $k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — некоторое неотрицательное симметричное целое ядро .

Если ядро $k$ удовлетворяет границе $k(x,y)\leq \Lambda |x-y|^{-n-s}$, то квадратичная форма ограничена в ${\dot {H}}^{s/2}$. Если к тому же, $\lambda |x-y|^{-n-s}\leq k(x,y)$, то форма сравнима с нормой в ${\dot {H}}^{s/2}$ в квадрате и в этом случае множество $D\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ определенное выше, определяется выражением $H^{s/2}(\mathbb {R} ^{n})$. Таким образом, формы Дирихле являются естественным обобщением интегралов Дирихле. $${\mathcal {E}}(u)=\int (A\nabla u,\nabla u)\;dx,$$где $A(x)$ является положительной симметричной матрицей. Уравнение Эйлера-Лагранжа формы Дирихле является нелокальным аналогом эллиптического уравнения в дивергентной форме. Уравнения этого типа изучаются с использованием вариационных методов, и ожидается, что они будут обладать аналогичными свойствами.

Ссылки

• Берлинг, Арне; Дени, Дж. (1958), «Пространства Дирихле. I. Элементарный случай», Acta Mathematica , 99 (1): 203–224, doi : 10.1007/BF02392426 , ISSN   0001-5962 , MR   0098924
• Берлинг, Арне; Дени, Дж. (1959), «Пространства Дирихле», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 45 (2): 208–215, Бибкод : 1959PNAS...45..208B , doi : 10.1073 /pnas.45.2.208 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   90170 , MR   0106365 , PMC   222537 , PMID   16590372
• Фукусима, Масатоши (1980), Формы Дирихле и марковские процессы , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 23, Амстердам: Северная Голландия, ISBN  978-0-444-85421-6 МР  0569058
• Йост, Юрген; Кендалл, Уилфрид; Моско, Умберто; Рёкнер, Майкл; Штурм, Карл-Теодор (1998), Новые направления в формах Дирихле , Исследования AMS/IP в области высшей математики, том. 8, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. xiv+277, ISBN  978-0-8218-1061-3 , МР   1652277 .
• «Теория абстрактного потенциала» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]