Перекрестная гомология

В топологии , ветви математики , перекрестная гомология является аналогом сингулярной гомологии, особенно хорошо подходящей для изучения единственных пространств , обнаруженных Марком Горски и Робертом Макферсоном осенью 1974 года и разработанных ими в течение следующих нескольких лет.

Когомология пересечения была использована для доказывания догадков Качдана -Луштига и соответствия Римана -Хилберта . Это тесно связано с L ² Кохомология .

Гореский -Макферсон подход

Группы гомологии компактного связанного , ориентированного , идеальное , n -размерного коллектора x имеют фундаментальное свойство под названием Пуанкаре двойственность : есть сочетание

H_{i}(X,\mathbb {Q} )\times H_{n-i}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} .

Классически, например, в ответ Анри Пуанкаре . Эта двойственность была понята с точки зрения теории пересечения . Элемент

H_{j}(X)

представлен J -размерным циклом. Если я -мерный и $(n-i)$ -Мамерный цикл в общем зачете , тогда их пересечение является конечной коллекцией точек. Использование ориентации x может назначить каждой из этих точек знак; Другими словами, пересечение дает 0 -мерный цикл. Можно доказать, что класс гомологии этого цикла зависит только от классов гомологии оригинального I - и $(n-i)$ -дивменные циклы; Кроме того, это может доказать, что это спаривание идеально .

Когда у X есть особенности - то есть, когда в пространстве есть места, которые не выглядят $\mathbb {R} ^{n}$ - Эти идеи разрушаются. Например, больше невозможно понять понятие «общее положение» для циклов. Горки и Макферсон представили класс «допустимых» циклов, для которых общая позиция имеет смысл. Они ввели соотношение эквивалентности для допустимых циклов (где только «допустимые границы» эквивалентны нулю) и называют группой

IH_{i}(X)

из -за того, что допустимые циклы модули этого отношения эквивалентности «гомология пересечения». Кроме того, они показали, что пересечение I - и $(n-i)$ -Сянный допустимый цикл дает (обычный) нулевой цикл, чей класс гомологии четко определен.

Расслоения

Перекрестная гомология была первоначально определена на подходящих пространствах с стратификацией , хотя группы часто оказываются независимыми от выбора стратификации. Есть много разных определений стратифицированных пространств. Удобным для гомологии пересечения является n -размерный топологический псевдооманиста . Это ( паракомпактное , хаусдорф ) пространство x , которое имеет фильтрацию

\emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots \subset X_{n}=X

x с помощью закрытых подборов , таких как:

Для каждого я и для каждой x точки $X_{i}\setminus X_{i-1}$ , существует район $U\subset X$ x in , x компактный $(n-i-1)$ -Сяменное стратифицированное пространство L и гомеоморфизм, сохраняющий фильтрацию $U\cong \mathbb {R} ^{i}\times CL$ Полем Здесь $CL$ это открытый конус на л .
$X_{n-1}=X_{n-2}$ .
$X\setminus X_{n-1}$ плотный в х .

Если x -топологический псевдооперман, I -мерная слоя X является пространством $X_{i}\setminus X_{i-1}$ .

Примеры:

Если x является n -мерным упрощенным комплексом, таким образом, что каждый простой простой содержатся в n -simplex и n −1 simplex содержится именно в двух n -simplexes, то нижнее пространство x является топологическим псевдоманифором.
Если x является каким-либо сложным квазипроъективным разнообразием (возможно, с сингулярностями), то его базовое пространство является топологическим псевдоманифором, со всеми слоями ровного измерения.

Извращенности

Перекрестные гомологические группы $I^{\mathbf {p} }H_{i}(X)$ зависеть от выбора извращения $\mathbf {p}$ , который измеряет, насколько далеко циклы разрешаются отклоняться от поперечных. (Происхождение названия «извращенность» было объяснено Горски (2010) .) Извращение $\mathbf {p}$ это функция

\mathbf {p} \colon \mathbb {Z} _{\geq 2}\to \mathbb {Z}

от целых чисел $\geq 2$ для целых чисел, чтобы

$\mathbf {p} (2)=0$ .
$\mathbf {p} (k+1)-\mathbf {p} (k)\in \{0,1\}$ .

Второе условие используется, чтобы показать инвариантность групп гомологии пересечения при изменении стратификации.

Дополнительное извращение $\mathbf {q}$ из $\mathbf {p}$ тот, у кого

\mathbf {p} (k)+\mathbf {q} (k)=k-2

.

Группы гомологии пересечения дополнительных измерений и дополнительных извращений в сочетании.

Примеры извращений

Минимальное извращение $p(k)=0$ Полем Его дополнение - максимальное извращение с $q(k)=k-2$ .
(Нижний) средний извращение m определяется $m(k)=[(k-2)/2]$ , часть целочисленная $(k-2)/2$ Полем Его дополнение - верхняя средняя извращенность, со значениями $[(k-1)/2]$ Полем Если извращение не указано, то это обычно означает более низкую среднюю извращенность. Если пространство может быть стратифицировано со всеми стратами ровного измерения (например, любого сложного разнообразия), то группы гомологии пересечения не зависят от значений извращений на нечетных целых числах, поэтому эквивалентные извращенности верхнего и нижнего среднего.

Гомология в единственном перекрестке

Исправить топологический псевдооманиста x измерения n с некоторой стратификацией и извращением с .

Карта σ из стандартного i -simplex $\Delta ^{i}$ к x (единственное простое простое) называется допустимым , если

\sigma ^{-1}\left(X_{n-k}\setminus X_{n-k-1}\right)

содержится в $i-k+p(k)$ скелет $\Delta ^{i}$ .

Комплекс $I^{p}(X)$ является подкомплексом комплекса единственных цепей на x , который состоит из всех единственных цепей, так что как цепь, так и ее граница являются линейными комбинациями допустимых единственных простого простого. Группы гомологии в единственном перекрестке (с извращением P )

I^{p}H_{i}(X)

являются гомологическими группами этого комплекса.

Если x имеет триангуляцию, совместимую с стратификацией, то простые группы гомологии пересечения могут быть определены аналогичным образом и естественным образом изоморфны для групп гомологии в единственном пересечении.

Группы гомологии пересечения не зависят от выбора стратификации x .

Если X является топологическим коллектором, то группы гомологии пересечения (для любого извращения) совпадают с обычными гомологическими группами.

Небольшие решения

Разрешение сингулярности

f:X\to Y

Из сложного разнообразия y называется небольшим разрешением , если для каждого r > 0 пространство точек y , где волокно имеет измерение r, имеет кодимерное превышение 2 r . Грубо говоря, это означает, что большинство волокон маленькие. В этом случае морфизм индуцирует изоморфизм от (пересечения) гомологии x до гомологии интерсекции Y (со средним извращением).

Существует разнообразие с двумя разными небольшими разрешениями, которые имеют различные кольцевые структуры на их кохомологии, показывающие, что, как правило, нет естественной кольцевой структуры на гомологии пересечения (CO).

Теория сноха

Формула Deligne для перекрестной кохомологии гласит, что

I^{p}H_{n-i}(X)=I^{p}H^{i}(X)=H_{c}^{i}(IC_{p}(X))

где $IC_{p}(X)$ является перекрестным комплексом, определенным комплексом конструктивных снопок на x (рассматривается как элемент полученной категории, поэтому кохомология справа означает гиперкомологию комплекса). Комплекс $IC_{p}(X)$ дается с начала с постоянного смягчения на открытом наборе $X\setminus X_{n-2}$ и неоднократно расширяя его на более крупные открытые наборы $X\setminus X_{n-k}$ а затем усекает его в полученной категории; Точнее это дается формулой Делиньи

IC_{p}(X)=\tau _{\leq p(n)-n}\mathbf {R} i_{n*}\tau _{\leq p(n-1)-n}\mathbf {R} i_{n-1*}\cdots \tau _{\leq p(2)-n}\mathbf {R} i_{2*}\mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}

где $\tau _{\leq p}$ является фантазиром усечения в полученной категории, $i_{k}$ это включение $X\setminus X_{n-k}$ в $X\setminus X_{n-k-1}$ , и $\mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}$ Постоянный сног на $X\setminus X_{n-2}$ . ^{[ 1 ]}

Заменив постоянный смягчение $X\setminus X_{n-2}$ С помощью локальной системы можно использовать формулу Deligne для определения кохомологии пересечения с коэффициентами в локальной системе.

Примеры

Учитывая плавную эллиптическую кривую $X\subset \mathbb {CP} ^{2}$ определяется кубическим гомогенным полиномом $f$ , ^{[ 2 ]} такой как $x^{3}+y^{3}+z^{3}$ , аффинный конус $\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {C} ^{3}$ имеет изолированную сингулярность в исходном происхождении, так как $f(0)=0$ и все частичные производные $\partial _{i}f(0)=0$ исчезнуть. Это потому, что это однородная степень $3$ и производные однородны степени 2. Установка $U=\mathbb {V} (f)-\{0\}$ и $i:U\hookrightarrow X$ Карта включения, комплекс пересечения $IC_{\mathbb {V} (f)}$ дается как $\tau _{\leq 1}\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}$ Это может быть явно рассчитано, глядя на стебли кохомологии. В $p\in \mathbb {V} (f)$ где $p\neq 0$ Полученная толкатель - это карта идентичности в гладкой точке, следовательно, единственная возможная кохомология сосредоточена в степени $0$ Полем Для $p=0$ Когомология более интересна с тех пор, как $\mathbf {R} ^{k}i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}=\mathop {\underset {V\subset U}{\text{colim}}} H^{k}(V;\mathbb {Q} )$ для $V$ где закрытие $i(V)$ содержит происхождение $p=0$ Полем Поскольку все такое $V$ можно уточнить, учитывая пересечение открытого диска в $\mathbb {C} ^{3}$ с $U$ , мы можем просто вычислить кохомологию $H^{k}(U;\mathbb {Q} )$ Полем Это можно сделать, наблюдая $U$ является а $\mathbb {C} ^{*}$ перевернуть эллиптическую кривую $X$ , пакет гиперплоскости и Wan последовательность ${\begin{aligned}H^{0}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{0}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\H^{1}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{2}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{3}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{2}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\\end{aligned}}$ Отсюда и кохомология сдвигает на стебле $p=0$ являются ${\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{2}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\\{\mathcal {H}}^{1}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{0}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\end{matrix}}$ Усечение этого дает нетривиальные кохомологические снопки ${\mathcal {H}}^{0},{\mathcal {H}}^{1}$ , следовательно, перекрестный комплекс $IC_{\mathbb {V} (f)}$ имеет кохомологии ${\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{0}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{\mathbb {V} (f)}\\{\mathcal {H}}^{1}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{i}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&0&{\text{for }}i\neq 0,1\end{matrix}}$

Свойства сложного IC ( x )

Сложный IC _P ( x ) имеет следующие свойства

При дополнении некоторого закрытого набора Codimention 2 у нас есть

H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})

равно 0 для i + m ≠ 0, и для i = - m группы образуют постоянную локальную систему c

$H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})$ равно 0 для i + m <0
Если я > 0, тогда $H^{-i}(j_{x}^{*}IC_{p})$ равно нулю, за исключением набора Codimension, по крайней мере, A для наименьшего a с p ( a ) ≥ m - i
Если я > 0, тогда $H^{-i}(j_{x}^{!}IC_{p})$ равно нулю, за исключением набора Codimension, по крайней мере, A для наименьшего a с Q ( a ) ≥ ( i )

Как обычно, Q является дополнительным извращением к с . Более того, комплекс уникально характеризуется этими условиями, вплоть до изоморфизма в полученной категории. Условия не зависят от выбора стратификации, поэтому это показывает, что интерсекционная кохомология также не зависит от выбора стратификации.

Verdier Duality принимает IC _P на IC _Q , сдвинутую N = DIM ( x ) в полученной категории.

Смотрите также

Ссылки

^ Предупреждение: существует более одной конвенции о том, как извращенность входит в конструкцию Делиньи: числа $p(k)-n$ иногда пишутся как $p(k)$ .
^ Теория Ходжа (PDF) . E. Cattian, Food Ze Zein, Philliths, Dirgg Tráng Tráng Lán. Пинтертон. 21 сутодный 2014. I и IB. 978-0-691-16134-1 Полем OCLC 861677360 . Архивировано из оригинала 15 августа 2020 года. {{cite book}}: CS1 Maint: местоположение отсутствует издатель ( ссылка ) CS1 Maint: другие ( ссылка ) , с. 281-282

Арманд Борел , перекрестная кохомология . Прогресс в математике, Birkhauser Boston ISBN 0-8176-3274-3
Марк Горки и Роберт Макферсон, двойственность Пуанкаре для единственных пространств. CR Acad. Наука Т 284 (1977), стр. 1549–1551 серия А.
Goresky, Mark (2010), какова этимология термина «извращенное сношение»?
Горки, Марк; Макферсон, Роберт, Теория гомологии пересечения , Топология 19 (1980), нет. 2, 135–162. doi : 10.1016/0040-9383 (80) 90003-8
Горки, Марк; Макферсон, Роберт, Перекрестная гомология. 2 Результаты математики 72 (1983), нет. 1, 77-129. 10.11007 / bf01389130 MR 0696691 Это дает теоретичный подход к перекрестке.
Фрэнсис Кирван, Джонатан Вулф, Введение в теорию гомологии пересечения ISBN 1-5848-184-4
Клейман, Стивен. Развитие теории гомологии пересечения. Столетие математики в Америке, часть II, Hist. Математика 2, амер. Математика Soc., 1989, с. 543–585.
«Перекрестная гомология» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

Какова этимология термина «извращенное сношение»? (Включает обсуждение этимологии термина «гомология пересечения») - Mathoverflow

[1] Предупреждение: существует более одной конвенции о том, как извращенность входит в конструкцию Делиньи: числа $p(k)-n$ иногда пишутся как $p(k)$ .

[2] Теория Ходжа (PDF) . E. Cattian, Food Ze Zein, Philliths, Dirgg Tráng Tráng Lán. Пинтертон. 21 сутодный 2014. I и IB. 978-0-691-16134-1 Полем OCLC 861677360 . Архивировано из оригинала 15 августа 2020 года. {{cite book}}: CS1 Maint: местоположение отсутствует издатель ( ссылка ) CS1 Maint: другие ( ссылка ) , с. 281-282

[ 1 ]

[ 2 ]