Когомотопический набор
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( июль 2014 г. ) |
В математике , особенно в алгебраической топологии , когомотопические множества представляют собой особые контравариантные функторы из категории точечных топологических пространств отображений , сохраняющих базовую точку, и непрерывных в категорию множеств и функций . Они двойственны гомотопическим группам , но менее изучены.
Обзор [ править ]
p -е когомотопическое множество точечного топологического пространства X определяется формулой
множество точечных гомотопических классов непрерывных отображений из в p - сферу . [1]
При p = 1 это множество имеет абелеву групповую структуру и называется группой Брушлинского . Предоставил является CW-комплексом , он изоморфен первой когомологий группе , поскольку круг является пространством Эйленберга–Маклейна типа .
Теорема Хайнца Хопфа гласит, что если является CW-комплексом размерности не выше p , то находится в биекции с p -й группой когомологий .
Набор также имеет естественную групповую структуру, если это подвеска , например сфера для .
Если X не гомотопически эквивалентен CW-комплексу, то может быть не изоморфен . Контрпример даёт варшавский круг , первая группа когомологий которого исчезает, но допускает отображение в которое не гомотопно постоянному отображению. [2]
Свойства [ править ]
Некоторые основные факты о когомотопических множествах, некоторые из которых более очевидны, чем другие:
- для всех p и q .
- Для и , группа равно . (Для доказательства этого результата Лев Понтрягин разработал понятие оснащенного кобордизма .)
- Если имеет для всех x , тогда , и гомотопия гладкая, если f и g гладкие.
- Для компактное , гладкое многообразие изоморфно множеству гомотопических классов гладких отображений ; в этом случае любое непрерывное отображение можно равномерно аппроксимировать гладким, и любые гомотопические гладкие отображения будут гладко гомотопными.
- Если это - многообразие , тогда для .
- Если это - многообразие с краем , множество находится канонически в биекции с множеством классов кобордизмов коразмерности - p оснащенных подмногообразий внутреннего пространства .
- Стабильная когомотопическая группа это копредел
- которая является абелевой группой.
История [ править ]
Когомотопические множества были введены Каролем Борсуком в 1936 году. [3] Систематическое исследование было проведено Эдвином Спэньером в 1949 году. [4] Стабильные группы когомотопий были определены Франклином П. Петерсоном в 1956 году. [5]
Ссылки [ править ]
- ^ «Когомотопическая_группа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ « Польский круг и некоторые его необычные свойства ». Конспект лекций по математике 205B-2012, Калифорнийский университет в Риверсайде. Проверено 16 ноября 2023 г. См. также сопроводительную схему « Строения на Польском кольце ».
- ^ К. Борсук, О группах классов непрерывных преобразований , Comptes Rendu de Academie de Science. Париж 202 (1936), вып. 14.00-14.03, 2
- ^ Э. Спанье, Когомотопические группы Борсука , Анналы математики. Вторая серия 50 (1949), 203–245. MR 29170 https://doi.org/10.2307/1969362 https://www.jstor.org/stable/1969362
- ^ Ф. П. Петерсон, Обобщенные группы когомотопий , Американский журнал математики 78 (1956), 259–281. МР 0084136