J-гомоморфизм

В математике J - гомоморфизм — это отображение гомотопических групп специальных ортогональных групп в гомотопические группы сфер . Он был определен Джорджем Уайтхедом ( 1942 ), расширив конструкцию Хайнца Хопфа ( 1935 ).

Определение

Уайтхеда Исходный гомоморфизм определяется геометрически и дает гомоморфизм

J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(S^{q})

абелевых групп для целых q и $r\geq 2$ . (Хопф определил это для особого случая $q=r+1$ .)

-гомоморфизм J можно определить следующим образом. Элемент специальной ортогональной группы SO( q ) можно рассматривать как отображение

S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}

и гомотопическая группа $\pi _{r}(\operatorname {SO} (q))$ ) состоит из гомотопических классов отображений r -сферы в SO( q ).Таким образом, элемент $\pi _{r}(\operatorname {SO} (q))$ может быть представлено картой

S^{r}\times S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}

Применение к этому конструкции Хопфа дает отображение

S^{r+q}=S^{r}*S^{q-1}\rightarrow S(S^{q-1})=S^{q}

в $\pi _{r+q}(S^{q})$ , который Уайтхед определил как образ элемента $\pi _{r}(\operatorname {SO} (q))$ при J-гомоморфизме.

Переход к пределу при стремлении q к бесконечности дает стабильный J -гомоморфизм в теории стабильной гомотопии :

J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} )\to \pi _{r}^{S},

где $\mathrm {SO}$ — бесконечная специальная ортогональная группа, а правая часть — r -й устойчивый стебель стабильных гомотопических групп сфер .

Изображение J-гомоморфизма

Образ ( 1963 гомоморфизма J был описан Фрэнком Адамсом ( 1966 ), приняв гипотезу Адамса Адамса ) , доказанную - Дэниелом Квилленом ( 1971 ), следующим образом. Группа $\pi _{r}(\operatorname {SO} )$ задается периодичностью Ботта . Это всегда циклично ; и если r положительно, он имеет порядок 2, если r равен 0 или 1 по модулю 8, бесконечен, если r равен 3 или 7 по модулю 8, и порядок 1 в противном случае ( Switzer 1975 , стр. 488). В частности, образ стабильного J -гомоморфизма цикличен. Стабильные гомотопические группы $\pi _{r}^{S}$ являются прямой суммой (циклического) образа J -гомоморфизма и ядра е-инварианта Адамса ( Адамс 1966 ), гомоморфизма стабильных гомотопических групп в $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ . Если r равен 0 или 1 по модулю 8 и положителен, порядок образа равен 2 (поэтому в этом случае J -гомоморфизм инъективен ). Если r равно 3 или 7 по модулю 8, образ представляет собой циклическую группу порядка, равного знаменателю $B_{2n}/4n$ , где $B_{2n}$ является числом Бернулли . В остальных случаях, когда r равно 2, 4, 5 или 6 по модулю 8, образ тривиален , потому что $\pi _{r}(\operatorname {SO} )$ тривиально.

р	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
$\pi _{r}(\operatorname {SO} )$	1	2	1	$\mathbb {Z}$	1	1	1	$\mathbb {Z}$	2	2	1	$\mathbb {Z}$	1	1	1	$\mathbb {Z}$	2	2
$\|\operatorname {im} (J)\|$	1	2	1	24	1	1	1	240	2	2	1	504	1	1	1	480	2	2
$\pi _{r}^{S}$	$\mathbb {Z}$	2	2	24	1	1	2	240	2 ²	2 ³	6	504	1	3	2 ²	480×2	2 ²	2 ⁴
$B_{2n}$				¹⁄ ₆				− ¹⁄ ₃₀				¹⁄ ₄₂				− ¹⁄ ₃₀

Приложения

Майкл Атья ( 1961 ) ввёл группу J ( X ) пространства X , которая для X сферой является образом J -гомоморфизма в подходящем измерении.

Коядро J -гомоморфизма $J\colon \pi _{n}(\mathrm {SO} )\to \pi _{n}^{S}$ появляется в группе Θ _n классов h -кобордизмов ориентированных гомотопических n -сфер ( Косинский (1992) ).

Ссылки

Атья, Майкл Фрэнсис (1961), «Комплексы Тома», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 11 : 291–310, doi : 10.1112/plms/s3-11.1.291 , MR 0131880
Адамс, Дж. Ф. (1963), «О группах J(X) I», Топология , 2 (3): 181, doi : 10.1016/0040-9383(63)90001-6
Адамс, Дж. Ф. (1965a), «О группах J (X) II», Топология , 3 (2): 137, doi : 10.1016/0040-9383 (65) 90040-6.
Адамс, Дж. Ф. (1965b), «О группах J (X) III», Топология , 3 (3): 193, doi : 10.1016/0040-9383(65)90054-6
Адамс, Дж. Ф. (1966), «О группах J (X) IV», Топология , 5 : 21, doi : 10.1016/0040-9383(66)90004-8 . «Коррекция», Топология , 7 (3): 331, 1968, doi : 10.1016/0040-9383(68)90010-4.
Хопф, Хайнц (1935), «Об отображениях сфер на сферы более низких измерений» , Fundamenta Mathematicae , 25 : 427–440.
Косински, Антони А. (1992), Дифференциальные многообразия , Сан-Диего, Калифорния: Academic Press , стр. 195 и далее , ISBN 0-12-421850-4
Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 58 (6): 804–809
Куиллен, Дэниел (1971), «Гипотеза Адамса», Топология , 10 : 67–80, doi : 10.1016/0040-9383(71)90018-8 , MR 0279804
Свитцер, Роберт М. (1975), Алгебраическая топология - гомотопия и гомология , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-06758-2
Уайтхед, Джордж В. (1942), «О гомотопических группах сфер и группах вращения», Annals of Mathematics , Second Series, 43 (4): 634–640, doi : 10.2307/1968956 , JSTOR 1968956 , MR 0007107
Уайтхед, Джордж В. (1978), Элементы теории гомотопий , Берлин: Springer , ISBN 0-387-90336-4 , МР 0516508