Гомотопические группы сфер

В математической области алгебраической топологии гомотопические группы сфер описывают, как сферы различных измерений могут оборачиваться друг вокруг друга. Они являются примерами топологических инвариантов , которые отражают в алгебраических терминах структуру сфер, рассматриваемых как топологические пространства , забывая об их точной геометрии. В отличие от групп гомологий , которые также являются топологическими инвариантами, гомотопические группы удивительно сложны и их трудно вычислить.

Эта картина частично имитирует расслоение Хопфа — интересное отображение трехмерной сферы в двумерную сферу. Это отображение является генератором третьей гомотопической группы 2-сферы.

n $-мерная$ единичная сфера , для краткости называемая $n$ -сферой и обозначаемая как $S. н$ — обобщает знакомый круг ( $S 1$ ) и обычная сфера ( $S 2$ ). -сферу $n$ можно определить геометрически как совокупность точек евклидова пространства размерности $n + 1,$ расположенных на единичном расстоянии от начала координат. -я $i$ группа гомотопическая $π i (S н)$ суммирует различные способы, которыми $i$ -мерная сфера $S я$ отображается непрерывно в $n$ -мерную сферу $S н$ . В этом кратком изложении не проводится различие между двумя отображениями, если одно можно непрерывно деформировать в другое; таким образом, только классы эквивалентности суммируются отображений. Операция «сложения», определенная для этих классов эквивалентности, превращает набор классов эквивалентности в абелеву группу .

Задача определения $π i (S н)$ попадает в три режима, в зависимости от того, меньше ли $i$ , равно или больше $n$ :

Для $0 < i < n$ любое отображение из $S я$ до $С н$ гомотопно (т. е. непрерывно деформируемо) постоянному отображению, т. е. отображению, которое отображает все $S я$ в одну точку $S н$ . Следовательно, гомотопическая группа является тривиальной группой .
Когда $i = n$ , каждая карта из $S н$ сама по себе имеет степень , которая измеряет, сколько раз сфера обернулась вокруг себя. Эта степень идентифицирует гомотопическую группу $π n (S н)$ группой целых чисел с суммируемой . Например, каждую точку окружности можно непрерывно отображать в точку другой окружности; когда первая точка перемещается по первому кругу, вторая точка может несколько раз проходить по второму кругу, в зависимости от конкретного отображения.
Наиболее интересные и удивительные результаты получаются, когда $i > n$ . Первым таким сюрпризом стало открытие отображения, называемого расслоением Хопфа , которое обертывает 3-сферу $S 3$ вокруг обычной сферы $S 2$ нетривиальным образом и поэтому не эквивалентно одноточечному отображению.

Вопрос о вычислении гомотопической группы $π n + k (S н)$ для положительного $k$ оказался центральным вопросом алгебраической топологии, который способствовал развитию многих ее фундаментальных методов и послужил стимулирующим направлением исследований. Одним из главных открытий является то, что гомотопические группы $π n + k (S н)$ не зависят от $n$ при $n \geq k + 2$ . Они называются стабильными гомотопическими группами сфер и вычисляются для значений $k$ до 90. ^{[ 1 ]} Стабильные гомотопические группы образуют кольцо коэффициентов необыкновенной теории когомологий , называемой стабильной теорией когомотопий . Нестабильные гомотопические группы (при $n < k + 2$ ) более беспорядочны; тем не менее, они сведены в таблицу для $k < 20$ . В большинстве современных вычислений используются спектральные последовательности — метод, впервые примененный к гомотопическим группам сфер Жаном-Пьером Серром . Было установлено несколько важных закономерностей, однако многое остается неизвестным и необъяснимым.

Фон

Изучение гомотопических групп сфер опирается на обширный исходный материал, кратко рассмотренный здесь. Алгебраическая топология обеспечивает более широкий контекст, построенный на топологии и абстрактной алгебре , с гомотопическими группами в качестве основного примера.

$н$ -сфера

Обычная сфера в трехмерном пространстве (поверхность, а не твердый шар) — это лишь один пример того, что означает сфера в топологии. Геометрия жестко определяет сферу как форму. Вот несколько альтернатив.

Неявная поверхность : $x 20 + х 21 + х 22 = 1$

Это набор точек в трехмерном евклидовом пространстве, найденных ровно на одну единицу от начала координат. Она называется 2-сферой,

S 2

, по причинам, указанным ниже. Та же идея применима для любого измерения

n

; уравнение

х 20 + х 21 + \dots + х 2 n = 1

создает

n

-сферу как геометрический объект в (

n + 1

)-мерном пространстве. Например, 1-сфера

S 1

это круг . ^{[ 2 ]}

Диск со разрушенным ободом : записан в топологии как $D. 2 / С 1$

Эта конструкция переходит от геометрии к чистой топологии. Диск

Д. 2

— область, заключенная в круг, описываемая неравенством

x 20 + х 21 \leq 1

, а его ободом (или « границей ») является окружность

S 1

, описываемый равенством

x 20 + х 21 = 1

. Если воздушный шар проколоть и расправить, образуется диск; эта конструкция ремонтирует прокол, как будто натягивают шнурок. Косая черта , произносимая как «по модулю», означает взять топологическое пространство слева (диск) и объединить в нем все точки справа (круг). Область двумерна, поэтому топология называет полученное топологическое пространство двумерной сферой. Обобщенный,

Д н / С п -1

производит

S н

. Например,

Д 1

представляет собой отрезок прямой , а конструкция соединяет его концы в круг. Эквивалентное описание состоит в том, что граница

n

-мерного диска приклеивается к точке, создавая комплекс CW . ^{[ 3 ]}

Подвеска экватора : в топологии записана как $Σ S. 1$

Эта конструкция, хотя и проста, имеет большое теоретическое значение. Возьмите круг

S. 1

быть экватором и смести каждую точку на нем до одной точки выше (Северный полюс), создавая северное полушарие, и до одной точки ниже (Южный полюс), создавая южное полушарие. Для каждого натурального

n

-сфера

n

числа

x 20 + х 21 + \dots + х 2 n = 1

имеет в качестве экватора (

n - 1

)-сферу

x 20 + х 21 + \dots + х 2 n -1 = 1

и надстройка

Σ S п -1

производит

S н

. ^{[ 4 ]}

Некоторые теории требуют выбора фиксированной точки на сфере, называя пару $(сфера, точка)$ заостренной сферой . Для некоторых пространств выбор имеет значение, но для сферы все точки эквивалентны, поэтому выбор — вопрос удобства. ^{[ 5 ]} Для сфер, построенных как повторяющаяся подвеска, хорошо работает точка $(1, 0, 0, ..., 0)$ , которая находится на экваторе всех уровней подвески; для диска со разрушенным ободом точка, возникающая в результате разрушения обода, является еще одним очевидным выбором.

Гомотопическая группа

Отличительной особенностью топологического пространства является его структура непрерывности, формализованная в терминах открытых множеств или окрестностей . Непрерывное отображение — это функция между пространствами, сохраняющая непрерывность. Гомотопия — это непрерывный путь между непрерывными отображениями; два отображения, связанные гомотопией, называются гомотопическими. ^{[ 6 ]} Идея, общая для всех этих концепций, состоит в том, чтобы отказаться от вариаций, которые не влияют на интересующие результаты. Важным практическим примером является вычетах теорема о комплексного анализа , где «замкнутые кривые» представляют собой непрерывные отображения окружности в комплексную плоскость и где две замкнутые кривые дают один и тот же интегральный результат, если они гомотопны в топологическом пространстве, состоящем из плоскости. минус точки сингулярности. ^{[ 7 ]}

Таким образом , первая гомотопическая группа, или фундаментальная группа , $π 1 (X)$ ( путевого связного ) $топологического пространства X$ начинается с непрерывных отображений из заостренного круга $(S 1, s)$ в точечное пространство $(X, x)$ , где отображение одной пары в другую отображает $s$ в $x$ . Эти карты (или, что то же самое, замкнутые кривые ) группируются в классы эквивалентности на основе гомотопии (с сохранением «базовой точки» $x$ фиксированной), так что две карты относятся к одному классу, если они гомотопны. Как выделяется одна точка, так выделяется и один класс: все отображения (или кривые), гомотопные постоянному отображению $S. 1 \mapsto x$ называются нулевыми гомотопными. Классы становятся абстрактной алгебраической группой с введением сложения, определенного через «защемление экватора». Это сжатие отображает экватор заостренной сферы (здесь круг) в отмеченную точку, создавая « букет сфер » — две заостренные сферы, соединенные в отмеченной точке. Две добавляемые карты отображают верхнюю и нижнюю сферы отдельно, согласовывая выделенную точку, а композиция с щипком дает суммарную карту. ^{[ 8 ]}

В более общем смысле, $i$ -я гомотопическая группа, $π i (X),$ начинается с заостренной $i$ -сферы $(S я, s)$ и в остальном повторяем ту же процедуру. Нулевой гомотопический класс действует как тождество сложения группы, а для $X,$ равного $S н$ (при положительном $n$ ) — гомотопические группы сфер — группы абелевы и конечно порождены . Если для некоторого $i$ все отображения нуль-гомотопны, то группа $π i$ состоит из одного элемента и называется тривиальной группой .

Непрерывное отображение между двумя топологическими пространствами индуцирует групповой гомоморфизм между соответствующими гомотопическими группами. В частности, если отображение является непрерывной биекцией ( гомеоморфизмом ), так что два пространства имеют одинаковую топологию, то их $i$ -я гомотопическая группа изоморфна для всех $i$ . Однако действительная плоскость имеет точно такие же гомотопические группы, что и уединенная точка (как и евклидово пространство любой размерности), а действительная плоскость с удаленной точкой имеет те же группы, что и круг, поэтому одних групп недостаточно, чтобы различать пространства. Хотя потеря способности различать досадна, она также может облегчить некоторые вычисления. ^{[ нужна ссылка ]}

Низкоразмерные примеры

Низкомерные примеры гомотопических групп сфер дают представление о предмете, поскольку эти частные случаи можно визуализировать в обычном трехмерном пространстве. Однако такие визуализации не являются математическими доказательствами и не отражают возможную сложность карт между сферами.

$π 1 (С 1) = Z$

Самый простой случай касается способов обертывания круга (1-сферы) вокруг другого круга. Это можно визуализировать, намотав на палец резинку : ее можно обернуть один, два, три раза и так далее. Намотка может быть в любом из двух направлений, а намотка в противоположных направлениях прекращается после деформации. Гомотопическая группа $π 1 (S 1),$ следовательно, является бесконечной циклической группой и изоморфна группе $Z$ при целых чисел добавлении: гомотопический класс отождествляется с целым числом путем подсчета количества раз, когда отображение в гомотопическом классе обертывается вокруг круга. Это целое число также можно рассматривать как число витков цикла вокруг начала координат на плоскости . ^{[ 9 ]}

Отождествление ( групповой изоморфизм ) гомотопической группы с целыми числами часто записывается как равенство: таким образом, $π 1 (S 1) = Z$ . ^{[ 10 ]}

$π 2 (С 2) = Z$

Отображение 2-сферы в 2-сферу можно представить как обертывание пластикового пакета вокруг шара и последующее его запечатывание. Запечатанный мешок топологически эквивалентен двумерной сфере, как и поверхность шара. Мешок можно обернуть несколько раз, перекрутив его и намотав обратно на мяч. (Не требуется, чтобы непрерывное отображение было инъективным , поэтому мешку разрешено проходить через себя.) Скручивание может происходить в одном из двух направлений, а противоположные скручивания могут компенсироваться деформацией. Общее количество поворотов после отмены представляет собой целое число, называемое степенью отображения. Как и в случае отображений окружности в окружность, эта степень отождествляет гомотопическую группу с группой целых чисел $Z$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Эти два результата обобщают: для всех $n >$ 0 $π n (S н) = Z$ (см. ниже ).

$π 1 (С 2) = 0$

Гомотопия окружности вокруг сферы до одной точки.

Любое непрерывное отображение окружности в обычную сферу можно непрерывно деформировать до одноточечного отображения, поэтому его гомотопический класс тривиален. Один из способов визуализировать это — представить себе резиновую ленту, обернутую вокруг шарика, не подверженного трению: ленту всегда можно соскользнуть с мяча. Таким образом, гомотопическая группа является тривиальной группой , состоящей только из одного элемента, единичного элемента, и поэтому ее можно отождествить с подгруппой Z $,$ состоящей только из числа ноль. Эту группу часто обозначают 0. Однако строгое доказательство этого требует большей осторожности из-за существования кривые, заполняющие пространство . ^{[ 11 ]}

Этот результат обобщается на более высокие измерения. Все отображения сферы меньшей размерности в сферу большей размерности аналогично тривиальны: если $i < n$ , то $π i (S н) = 0$ . Это можно показать как следствие теоремы клеточной аппроксимации . ^{[ 12 ]}

$π 2 (С 1) = 0$

Все интересные случаи гомотопических групп сфер связаны с отображениями сферы более высокой размерности на сферу меньшей размерности. К сожалению, единственный пример, который легко представить, неинтересен: нетривиальных отображений обычной сферы в окружность не существует. Следовательно, $π 2 (S 1) = 0$ . Это потому, что $С 1$ имеет действительную прямую в качестве своего универсального стягиваемого покрытия (она имеет гомотопический тип точки). Кроме того, поскольку $С 2$ односвязна по критерию подъема , ^{[ 13 ]} любая карта из $S 2$ до $С 1$ можно поднять на карту в реальную линию, а нульгомотопия опустится в нижнее пространство (через композицию).

$р 3 (С 2) = Z$

Первый нетривиальный пример с $i > n$ касается отображений 3-сферы в обычную 2-сферу и был открыт Хайнцем Хопфом , который построил нетривиальное отображение из $S 3$ до $С 2$ , теперь известное как расслоение Хопфа . ^{[ 14 ]} Это отображение порождает гомотопическую группу $π 3 (S 2) = Z$ . ^{[ 15 ]}

История

В конце 19 века Камилла Жордан ввела понятие гомотопии и использовала понятие гомотопической группы, не используя язык теории групп. ^{[ 16 ]} Более строгий подход был принят Анри Пуанкаре в его серии статей «Анализ ситуации» соответствующие понятия гомологии и фундаментальной группы . 1895 года, где также были введены ^{[ 17 ]}

Высшие гомотопические группы были впервые определены Эдуардом Чехом в 1932 году. ^{[ 18 ]} (Его первая статья была отозвана по совету Павла Сергеевича Александрова и Хайнца Хопфа на том основании, что группы были коммутативными и не могли быть правильными обобщениями фундаментальной группы.) Витольду Гуревичу также приписывают введение гомотопических групп в его статья 1935 года, а также теорема Гуревича , которую можно использовать для вычисления некоторых групп. ^{[ 19 ]} Важным методом расчета различных групп является концепция стабильной алгебраической топологии, которая обнаруживает свойства, независимые от размерностей. Обычно они справедливы только для больших размеров. Первым таким результатом была Ганса Фройденталя о теорема подвеске , опубликованная в 1937 году. Стабильная алгебраическая топология процветала между 1945 и 1966 годами, когда было получено множество важных результатов. ^{[ 19 ]} В 1953 году Джордж Уайтхед показал, что существует метастабильный диапазон гомотопических групп сфер. Жан-Пьер Серр использовал спектральные последовательности , чтобы показать, что большинство этих групп конечны, за исключением $π n (S н)$ и $π 4 n -1 (S 2 2н)$ . Среди других, кто работал в этой области, были Хосе Адем , Хироши Тода , Фрэнк Адамс , Дж. Питер Мэй , Марк Маховальд , Дэниел Исаксен , Гочжэнь Ван и Чжоули Сюй . Стабильные гомотопические группы $π n + k (S н)$ известны для $k$ до 90 и по состоянию на 2023 год неизвестны для больших $k$ . ^{[ 1 ]}

Общая теория

Как уже отмечалось, когда $i$ меньше $n$ , $π i (S н) = 0$ , тривиальная группа . Причина в том, что непрерывное отображение $i$ -сферы в $n$ -сферу с $i < n$ всегда можно деформировать так, чтобы оно не было сюръективным . Следовательно, его образ содержится в $S н$ со снятой точкой; это сжимаемое пространство , и любое отображение в такое пространство можно деформировать в одноточечное отображение. ^{[ 12 ]}

Случай $i = n$ также уже отмечался и является простым следствием теоремы Гуревича : эта теорема связывает гомотопические группы с группами гомологий , которые обычно легче вычислить; в частности, он показывает, что для односвязного пространства X первая ненулевая гомотопическая группа $π k (X)$ с $k > 0$ изоморфна первой ненулевой группе гомологий $H k (X)$ . Для $n$ -сферы из этого сразу следует, что при $n \geq$ 2 $π n (S н = ЧАС S () н) = Z$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Группы гомологий $H i (S н)$ , с $i > n$ , все тривиальны. Поэтому с исторической точки зрения стало большим сюрпризом то, что соответствующие гомотопические группы вообще не являются тривиальными. Это случай, который имеет большое значение: высшие гомотопические группы $π i (S н)$ для $i > n$ удивительно сложны и их трудно вычислить, а усилия по их вычислению породили значительный объем новой математики. ^{[ нужна ссылка ]}

Стол

Следующая таблица дает представление о сложности высших гомотопических групп даже для сфер размерности 8 или меньше. В этой таблице элементами являются либо тривиальная группа 0, бесконечная циклическая группа $Z$ , конечные циклические группы порядка $n$ (записанные как $Z n$ ), либо прямые произведения таких групп (записанные, например, как $Z 24 \timesZ 3$ или $З 22 знак равно Z 2 \timesZ 2$ ). приведены расширенные таблицы гомотопических групп сфер В конце статьи .

	п ₁	п ₂	п ₃	п ₄	стр ₅	стр. ₆	стр _{. 7}	стр ₈	стр. ₉	стр. ₁₀	стр. ₁₁	стр. ₁₂	стр. ₁₃	стр. ₁₄	стр ₁₅
С ¹	С	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
С ²	0	С	С	З ₂	З ₂	З ₁₂	З ₂	З ₂	З ₃	З ₁₅	З ₂	С ² ₂	Z ₁₂×Z ₂	Z ₈₄×Z ² ₂	С ² ₂
С ³	0	0	С	З ₂	З ₂	З ₁₂	З ₂	З ₂	З ₃	З ₁₅	З ₂	С ² ₂	Z ₁₂×Z ₂	Z ₈₄×Z ² ₂	С ² ₂
С ⁴	0	0	0	С	З ₂	З ₂	Z×Z ₁₂	С ² ₂	С ² ₂	Z ₂₄×Z ₃	З ₁₅	З ₂	С ³ ₂	^{Z ₁₂₀×} _{Z ₁₂×Z ₂}	Z ₈₄×Z ⁵ ₂
С ⁵	0	0	0	0	С	З ₂	З ₂	З ₂₄	З ₂	З ₂	З ₂	З ₃₀	З ₂	С ³ ₂	Z ₇₂×Z ₂
С ⁶	0	0	0	0	0	С	З ₂	З ₂	З ₂₄	0	С	З ₂	З ₆₀	Z ₂₄×Z ₂	С ³ ₂
С ⁷	0	0	0	0	0	0	С	З ₂	З ₂	З ₂₄	0	0	З ₂	З ₁₂₀	С ³ ₂
С ⁸	0	0	0	0	0	0	0	С	З ₂	З ₂	З ₂₄	0	0	З ₂	Z×Z ₁₂₀

Первая строка этой таблицы проста. Гомотопические группы $π i (S 1)$ 1-сферы тривиальны при $i > 1$ , поскольку универсальное накрывающее пространство , $\mathbb {R}$ , имеющий те же высшие гомотопические группы, стягиваемо. ^{[ 20 ]}

За пределами первого ряда высшие гомотопические группы ( $i > n$ ) кажутся хаотичными, но на самом деле существует множество закономерностей, некоторые из которых очевидны, а некоторые очень неуловимы.

Группы под зубчатой черной линией постоянны по диагоналям (на что указывают красный, зеленый и синий цвета).
Большинство групп конечны. Единственные бесконечные группы находятся либо на главной диагонали, либо непосредственно над зубчатой линией (выделены желтым цветом).
Вторая и третья строки таблицы одинаковы, начиная с третьего столбца (т.е. $π i (S 2) знак равно π я (S 3)$ для $i \geq 3$ ). Этот изоморфизм индуцируется расслоением Хопфа $S 3 \to С 2$ .
Для $n = 2, 3, 4, 5$ и $i \geq n$ гомотопические группы $π i (S н)$ не исчезают. Однако $π n +4 (S н) знак равно 0$ для $n \geq 6$ .

Эти закономерности следуют из множества различных теоретических результатов. ^{[ нужна ссылка ]}

Стабильные и нестабильные группы

Тот факт, что группы ниже зубчатой линии в таблице выше постоянны вдоль диагоналей, объясняется теоремой надстройке о Ганса Фройденталя , из которой следует, что гомоморфизм надстройки из $π n + k (S н)$ до $π n + k +1 (S п +1)$ является изоморфизмом при $n > k + 1$ . Группы $π n + k (S н)$ с $n > k + 1$ называются стабильными гомотопическими группами сфер и обозначаются $π С k$ : они являются конечными абелевыми группами для $k \neq 0$ и вычислялись во многих случаях, хотя общая закономерность все еще неуловима. ^{[ 21 ]} При $n ⩽ k +1$ группы называются нестабильными гомотопическими группами сфер . ^{[ нужна ссылка ]}

Расслоения Хопфа

Классическое расслоение Хопфа представляет собой расслоение :

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}.

Общая теория расслоений $F \to E \to B$ показывает, что существует длинная точная последовательность гомотопических групп

\cdots \to \pi _{i}(F)\to \pi _{i}(E)\to \pi _{i}(B)\to \pi _{i-1}(F)\to \cdots .

Для этого конкретного расслоения каждый групповой гомоморфизм $π i (S 1) \to π я (S 3)$ , индуцированный включением $S 1 \to С 3$ , отображает все $π i (S 1)$ до нуля, поскольку сфера меньшей размерности $S 1$ может быть деформирован в точку внутри многомерной точки $S 3$ . Это соответствует исчезновению $π 1 (S 3)$ . Таким образом, длинная точная последовательность разбивается на короткие точные последовательности :

0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.

Поскольку $С п +1$ представляет подвеску S $собой н$ , эти последовательности расщепляются гомоморфизмом надстройки $π i -1 (S 1) \to π я (S 2)$ , дающий изоморфизмы

\pi _{i}(S^{2})=\pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).

Поскольку $π i -1 (S 1)$ обращается в нуль при $i$ не менее 3, первая строка показывает, что $π i (S 2)$ и $π i (S 3)$ изоморфны, если $i$ не менее 3, как отмечалось выше.

Расслоение Хопфа можно построить следующим образом: пары комплексных чисел $(z 0, z 1)$ с $| я 0 | 2 + | я 1 | 2 = 1$ образуют 3-сферу, а их отношения $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ z 0 / z 1 ⁠$ покрывают комплексную плоскость плюс бесконечность , 2-сферу. Карта Хопфа $S 3 \to С 2$ отправляет любую такую пару в ее соотношение. ^{[ нужна ссылка ]}

Аналогично (помимо расслоения Хопфа $S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1}$ , где проекция расслоения является двойным накрытием), существуют обобщенные расслоения Хопфа

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

построен с использованием пар кватернионов или октонионов вместо комплексных чисел. ^{[ 22 ]} И здесь $π 3 (S 7)$ и $π 7 (S 15)$ равны нулю. Таким образом, длинные точные последовательности снова разбиваются на семейства расщепленных коротких точных последовательностей, подразумевая два семейства отношений.

\pi _{i}(S^{4})=\pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3}),

\pi _{i}(S^{8})=\pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).

Три расслоения имеют базовое пространство $S н$ при $n = 2 м$ , для $m = 1, 2, 3$ . Расслоение существует для $S 1$ ( $m = 0$ ), как упоминалось выше, но не для $S 16$ ( $m = 4$ ) и далее. Хотя обобщения отношений к $S 16$ часто верны, иногда терпят неудачу; например,

\pi _{30}(S^{16})\neq \pi _{30}(S^{31})\oplus \pi _{29}(S^{15}).

Таким образом, никакого расслоения быть не может.

S^{15}\hookrightarrow S^{31}\rightarrow S^{16},

первый нетривиальный случай проблемы одного инварианта Хопфа , поскольку такое расслоение означало бы, что неудавшееся соотношение истинно. ^{[ нужна ссылка ]}

Рамочный кобордизм

Гомотопические группы сфер тесно связаны с классами кобордизмов многообразий. В 1938 году Лев Понтрягин установил изоморфизм между гомотопической группой $π n + k (S н)$ и группа $Ω в рамке к (С п + к)$ классов кобордизмов дифференцируемых $k$ -подмногообразий $S п + к$ которые «оснащены», т. е. имеют тривиализированное нормальное расслоение . Любая карта $f : S п + к \to С н$ гомотопно дифференцируемому отображению с $M к = е -1 (1, 0, ..., 0) \subset S п + к$ оснащенное $k$ -мерное подмногообразие. Например, $π n (S н) = Z$ — группа кобордизмов оснащенных 0-мерных подмногообразий $S н$ , вычисляемое по алгебраической сумме их точек, соответствующей степени отображений $f : S н \to С н$ . Проекция расслоения Хопфа $S 3 \to С 2$ представляет собой генератор $π 3 (S 2) = Ох в рамке 1 (С 3) = Z$ , что соответствует оснащенному 1-мерному подмногообразию $S 3$ определяется стандартным вложением $S 1 \subset С 3$ с нестандартной тривиализацией нормального 2-плоского расслоения. До появления более сложных алгебраических методов в начале 1950-х годов (Серр) изоморфизм Понтрягина был основным инструментом для вычисления гомотопических групп сфер. В 1954 году изоморфизм Понтрягина был обобщен Рене Томом до изоморфизма, выражающего другие группы классов кобордизмов (например, всех многообразий) как гомотопические группы пространств и спектров . В более поздних работах аргумент обычно меняется на противоположный: группы кобордизмов вычисляются в терминах гомотопических групп. ^{[ 23 ]}

Конечность и кручение

В 1951 году Жан-Пьер Серр показал, что все гомотопические группы сфер конечны, за исключением групп вида $π n (S н)$ или $π 4 n -1 (S 2 2н)$ (при положительном $n$ ), когда группа является произведением бесконечной циклической группы на конечную абелеву группу. ^{[ 24 ]} В частности, гомотопические группы определяются своими $p$ -компонентами для всех простых чисел $p$ . Двухкомпонентные числа труднее всего вычислить, и во многих отношениях они ведут себя иначе, чем $p$ -компоненты для нечетных простых чисел. ^{[ нужна ссылка ]}

В той же статье Серр обнаружил первое место, где $происходит p$ -кручение, в гомотопических группах $n-$ мерных сфер, показав, что $π n + k (S н)$ не имеет $p$ - кручения , если $k < 2 p - 3$ , и имеет единственную подгруппу порядка $p,$ если $n \geq 3$ и $k = 2 p - 3$ . Случай двумерных сфер немного отличается: первое $p$ -кручение происходит при $k = 2 p - 3 + 1$ . В случае нечетного кручения результаты более точные; в этом случае существует большая разница между нечетными и четномерными сферами. Если $p$ — нечетное простое число и $n = 2 i + 1$ , то элементы $p$ - компоненты числа $π n + k (S н)$ имеют порядок не более $p я$ . ^{[ 25 ]} В некотором смысле это наилучший возможный результат, поскольку известно, что эти группы имеют элементы этого порядка для некоторых значений $k$ . ^{[ 26 ]} Более того, в этом случае диапазон устойчивости можно расширить: если $n$ нечетно, то двойная подвеска из $π k (S н)$ до $π k +2 (S п +2)$ является изоморфизмом $p$ -компонент, если $k < p (n + 1) - 3$ , и эпиморфизмом, если имеет место равенство. ^{[ 27 ]} p $($ промежуточной группы $π k +1 S -кручение п +1)$ может быть строго больше. ^{[ нужна ссылка ]}

Приведенные выше результаты о нечетном кручении справедливы только для нечетномерных сфер: для четномерных сфер расслоение Джеймса дает кручение в нечетных простых числах $p$ в терминах кручения нечетномерных сфер:

\pi _{2m+k}(S^{2m})(p)=\pi _{2m+k-1}(S^{2m-1})(p)\oplus \pi _{2m+k}(S^{4m-1})(p)

(где $(p)$ означает взять $p$ -компонент). ^{[ 28 ]} Эта точная последовательность аналогична последовательности, исходящей из расслоения Хопфа; разница в том, что он работает для всех четномерных сфер, хотя и за счет игнорирования 2-кручения. Объединение результатов для нечетных и четномерных сфер показывает, что большая часть нечетного кручения нестабильных гомотопических групп определяется нечетным кручением стабильных гомотопических групп. ^{[ нужна ссылка ]}

Для стабильных гомотопических групп имеются более точные результаты о $p$ -кручении. Например, если $k < 2 p (p - 1) - 2$ для простого числа $p$ , то $p$ -примарная компонента стабильной гомотопической группы $π С k$ обращается в нуль, если только $k + 1$ не делится на $2(p - 1)$ , и в этом случае он циклический порядка $p$ . ^{[ 29 ]}

J-гомоморфизм

Важная подгруппа группы $π n + k (S н)$ , при $k \geq 2$ , является образом J-гомоморфизма $J : π k (SO(n)) \to π n + k (S н)$ , где $SO(n)$ обозначает специальную ортогональную группу . ^{[ 30 ]} В стабильной области $n \geq k + 2$ гомотопические группы $π k (SO(n))$ зависят только от $k (mod 8)$ . Эта закономерность периода 8 известна как периодичность Ботта и отражается в стабильных гомотопических группах сфер через образ $J$ -гомоморфизма, который есть:

циклическая группа порядка 2, если $0$ или k конгруэнтно 1 по модулю 8;
тривиально, если $k$ конгруэнтно 2, 4, 5 или 6 по модулю 8; и
циклическая группа порядка, равного знаменателю $⁠ B 2 m / 4 m ⁠$ , где $B 2 m$ - число Бернулли , если $k знак равно 4 м - 1 \equiv 3 (mod 4)$ .

В последнем случае объясняются элементы необычно большого конечного порядка по $π n + k (S н)$ для таких значений $k$ . Например, стабильные группы $π n +11 (S н)$ имеют циклическую подгруппу порядка 504, знаменатель $⁠ B 6 / 12 ⁠ = ⁠ 1 / 504 ⁠$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Стабильные гомотопические группы сфер представляют собой прямую сумму образа $J$ -гомоморфизма и ядра $е$ -инварианта Адамса — гомоморфизма этих групп в $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ . Грубо говоря, образ $J$ -гомоморфизма — это подгруппа «хорошо понятных» или «легких» элементов стабильных гомотопических групп. Эти хорошо изученные элементы составляют большинство элементов стабильных гомотопических групп сфер малых размерностей. Фактор $π С n$ по образу $J$ -гомоморфизма считается «жесткой» частью стабильных гомотопических групп сфер ( Адамс, 1966 ). (Адамс также ввел некоторые элементы порядка 2 $µ n$ из $π С n$ для $n \equiv 1 или 2 (mod 8)$ , и они также считаются «хорошо понятыми».) Таблицы гомотопических групп сфер иногда опускают «простую» часть $im(J)$ для экономии места. ^{[ нужна ссылка ]}

Кольцевая структура

Прямая сумма

\pi _{\ast }^{S}=\bigoplus _{k\geq 0}\pi _{k}^{S}

стабильных гомотопических групп сфер является суперкоммутативным градуированным кольцом , где умножение задается композицией представляющих отображений, а любой элемент ненулевой степени нильпотентен ; ^{[ 31 ]} из теоремы нильпотентности о комплексных кобордизмах следует теорема Нисиды. ^{[ нужна ссылка ]}

Пример: если $η$ является генератором $π С 1$ (порядка 2), тогда $η 2$ ненулевое значение и порождает $π С 2$ и $н 3$ ненулевое значение и 12 раз является генератором $π С 3$ , в то время как $н 4$ равна нулю, поскольку группа $π С 4$ тривиально. ^{[ нужна ссылка ]}

Если $f$ , $g$ и $h$ являются элементами $π С *$ при $f g = 0$ и $g \cdot h = 0$ существует скобка Тоды $⟨ f, g, h ⟩$ этих элементов. ^{[ 32 ]} Скобка Тоды не совсем является элементом стабильной гомотопической группы, поскольку она определена только с точностью до сложения произведений некоторых других элементов. Хироши Тода использовал произведение композиции и скобки Тоды для обозначения многих элементов гомотопических групп. Существуют также высшие скобки Тоды из нескольких элементов, определяемые, когда подходящие нижние скобки Тоды исчезают. Это соответствует теории произведений Мэсси в когомологиях . ^{[ нужна ссылка ]} Каждый элемент стабильных гомотопических групп сфер может быть выражен с помощью композиционных произведений и высших скобок Тоды через некоторые хорошо известные элементы, называемые элементами Хопфа. ^{[ 33 ]}

Вычислительные методы

Если $X$ — любой конечный симплициальный комплекс с конечной фундаментальной группой, в частности, если $X$ — сфера размерности не менее 2, то все его гомотопические группы являются конечно порожденными абелевыми группами . Чтобы вычислить эти группы, их часто разлагают на $p$ -компоненты для каждого простого числа $p$ и вычисляют каждую из этих $p$ -групп отдельно. Первые несколько гомотопических групп сфер можно вычислить, используя специальные вариации приведенных выше идей; за пределами этой точки большинство методов вычисления гомотопических групп сфер основаны на спектральных последовательностях . ^{[ 34 ]} Обычно это делается путем построения подходящих расслоений и взятия соответствующих длинных точных последовательностей гомотопических групп; спектральные последовательности — это систематический способ организации сложной информации, которую генерирует этот процесс. ^{[ нужна ссылка ]}

«Метод уничтожения гомотопических групп», предложенный Картаном и Серром ( 1952a , 1952b ), включает в себя многократное использование теоремы Гуревича для вычисления первой нетривиальной гомотопической группы, а затем ее уничтожение (устранение) с помощью расслоения, включающего пространство Эйленберга – Маклейна. . В принципе, это дает эффективный алгоритм для вычисления всех гомотопических групп любого конечного односвязного симплициального комплекса, но на практике его слишком громоздко, чтобы использовать его для вычисления чего-либо, кроме первых нескольких нетривиальных гомотопических групп, поскольку симплициальный комплекс с каждым разом становится намного сложнее. убивают гомотопическую группу.
Спектральная последовательность Серра была использована Серром для доказательства некоторых результатов, упомянутых ранее. Он использовал тот факт, что взятие пространства петель в пространстве с хорошим поведением сдвигает все гомотопические группы вниз на 1, поэтому $n-$ я гомотопическая группа пространства $X$ является первой гомотопической группой его ( $n -1$ )-кратного повторяющегося пространства петель. равна первой группе гомологий ( $n -1$ , которая по теореме Гуревича )-кратного пространства петель. Это сводит вычисление гомотопических групп $X$ к вычислению групп гомологии его повторяющихся пространств петель. Спектральная последовательность Серра связывает гомологии пространства с гомологией его пространства петель, поэтому иногда ее можно использовать для вычисления гомологии пространств петель. Спектральная последовательность Серра имеет тенденцию иметь много ненулевых дифференциалов, которыми трудно управлять, а для высших гомотопических групп появляется слишком много неоднозначностей. Следовательно, его заменили более мощные спектральные последовательности с меньшим количеством ненулевых дифференциалов, которые дают больше информации. ^{[ нужна ссылка ]}
Спектральная последовательность EHP может использоваться для вычисления многих гомотопических групп сфер; он основан на некоторых расслоениях, использованных Тодой в его вычислениях гомотопических групп. ^{[ 35 ]}^{[ 32 ]}
Классическая спектральная последовательность Адамса имеет $член E 2$ , заданный группами Ext $Ext *,* A (p) (Z p, Z p)$ mod $p$ над алгеброй Стинрода $A (p)$ и сходится к чему-то, тесно связанному с $p$ -компонентой стабильных гомотопических групп. Начальные члены спектральной последовательности Адамса сами по себе довольно сложно вычислить: иногда это делается с помощью вспомогательной спектральной последовательности, называемой спектральной последовательностью Мэя . ^{[ 36 ]}
В нечетных простых числах спектральная последовательность Адамса – Новикова представляет собой более мощную версию спектральной последовательности Адамса, заменяющую обычные когомологии по модулю $p$ обобщенной теорией когомологий, такой как комплексный кобордизм или, чаще, ее часть, называемая когомологиями Брауна – Петерсона. . Первоначальный член опять-таки довольно сложно вычислить; для этого можно использовать хроматическую спектральную последовательность . ^{[ 37 ]}

Вариант этого последнего подхода использует обратную версию спектральной последовательности Адамса-Новикова для когомологий Брауна-Петерсона: предел известен, а начальные члены включают неизвестные стабильные гомотопические группы сфер, которые кто-то пытается найти. ^{[ 38 ]}

Мотивная спектральная последовательность Адамса сходится к мотивным стабильным гомотопическим группам сфер. Сравнивая мотивный метод комплексных чисел с классическим, Исаксен дает строгое доказательство вычислений вплоть до 59-стержня. В частности, Исаксен вычисляет, что Кокер J 56-стержня равен 0, и, следовательно, согласно работе Кервера-Милнора, сфера $S 56$ имеет уникальную гладкую структуру. ^{[ 39 ]}

Отображение Кана – Придди индуцирует отображение спектральных последовательностей Адамса из спектра надстройки бесконечного вещественного проективного пространства в сферический спектр. оно сюръективно $На странице Адамса E 2$ в положительных основах. Ван и Сюй разрабатывают метод, использующий карту Кана – Придди для индуктивного вывода дифференциалов Адамса для спектра сферы. Они приводят подробные аргументы в пользу нескольких дифференциалов Адамса и вычисляют 60- и 61-стержни. Геометрическим следствием их результата является сфера $S 61$ имеет уникальную гладкую структуру и является последней нечетной размерностью – единственные $S 1$ , $С 3$ , $С 5$ и $С 61$ . ^{[ 40 ]}

Мотивный сослоист $метода τ$ на данный момент является наиболее эффективным методом в простом числе 2. Класс $τ$ представляет собой отображение между мотивными сферами. Теорема Георге-Вана-Сюй идентифицирует мотивную спектральную последовательность Адамса для кослоя $τ$ как алгебраическую спектральную последовательность Новикова для $BP *$ , что позволяет вывести мотивные дифференциалы Адамса для кослоя $τ$ из чисто алгебраических данных. Затем можно вернуть эти мотивные дифференциалы Адамса в мотивную сферу, а затем использовать функтор реализации Бетти, чтобы переместить их в классическую сферу. ^{[ 41 ]} Используя этот метод, Исаксен, Ван и Сюй (2023) рассчитывают до 90 стеблей. ^{[ 1 ]}

Вычисление гомотопических групп $S 2$ была сведена к вопросу комбинаторной теории групп . Беррик и др. (2006) идентифицируют эти гомотопические группы как некоторые факторы брунновских групп кос $S 2$ . При этом соответствии каждый нетривиальный элемент из $π n (S 2)$ при $n > 2$ может быть представлена брунновской косой над $S 2$ это не брунновское явление над диском $D 2$ . Например, отображение Хопфа $S 3 \to С 2$ соответствует кольцам Борромео . ^{[ 42 ]}

Приложения

Номер обмотки (соответствует целому числу $π 1 (S 1) = Z)$ можно использовать для доказательства фундаментальной теоремы алгебры , которая гласит, что каждый непостоянный комплексный многочлен имеет нуль. ^{[ 43 ]}
Тот факт, что $π n -1 (S п -1) = Z$ следует из теоремы Брауэра о неподвижной точке , согласно которой каждое непрерывное отображение $n$ -мерного шара в себя имеет неподвижную точку. ^{[ 44 ]}
Стабильные гомотопические группы сфер играют важную роль в теории особенностей , изучающей строение особых точек гладких отображений или алгебраических многообразий . Такие особенности возникают как критические точки гладких отображений из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ . Геометрия вблизи критической точки такого отображения может быть описана элементом из $π m -1 (S п -1)$ , рассматривая способ , которым небольшая $сфера m - 1$ вокруг критической точки отображается в топологическую $сферу n - 1$ вокруг критического значения . ^{[ нужна ссылка ]}
Тот факт, что третья стабильная гомотопическая группа сфер является циклической 24-го порядка, впервые доказанный Владимиром Рохлиным , влечет за собой теорему Рохлина о том, что сигнатура компактного гладкого спинового 4-многообразия делится на 16. ^{[ 23 ]}
Стабильные гомотопические группы сфер используются для описания группы $Θ n$ классов h-кобордизмов ориентированных гомотопических $n$ -сфер (при $n \neq 4$ это группа гладких структур на $n$ -сферах с точностью до диффеоморфизма, сохраняющего ориентацию; нетривиальные элементы этой группы представлены экзотическими сферами ). Точнее, существует инъективное отображение

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,

где

bP n +1

— циклическая подгруппа, представленная гомотопическими сферами, ограничивающими параллелизуемое многообразие ,

π С n

—

n-

я стабильная гомотопическая группа сфер, а

J

— образ

J

-гомоморфизма . Это изоморфизм, если

n

не имеет вида

2 к - 2

, и в этом случае изображение имеет индекс 1 или 2. ^{[ 45 ]}

Группы $Θ n,$ указанные выше, и, следовательно, стабильные гомотопические группы сфер, используются при классификации возможных гладких структур на топологическом или кусочно-линейном многообразии . ^{[ 23 ]}
о Инвариантная проблема Кервера существовании многообразий инварианта Кервера 1 в размерностях $2. к - 2$ можно свести к вопросу о стабильных гомотопических группах сфер. Например, знание стабильных гомотопических групп степени до 48 было использовано для решения инвариантной проблемы Кервера в размерности $2. 6 - 2 = 62$ . (Это было наименьшее значение $k$ , для которого на тот момент вопрос был открыт.) ^{[ 46 ]}
Теорема Баррата – Придди утверждает, что стабильные гомотопические группы сфер могут быть выражены через конструкцию плюса, примененную к классифицирующему пространству симметрической группы , что приводит к отождествлению K-теории поля с одним элементом со стабильной гомотопией. группы. ^{[ 47 ]}

Таблица гомотопических групп

Таблицы гомотопических групп сфер удобнее всего организовать, указав $π n + k (S н)$ .

В следующей таблице показаны многие группы $π n + k (S н)$ . Стабильные гомотопические группы выделены синим цветом, нестабильные — красным. Каждая гомотопическая группа является произведением циклических групп порядков, указанных в таблице, с использованием следующих соглашений: ^{[ 48 ]}

Запись «⋅» обозначает тривиальную группу.
Если запись представляет собой число целое $m$ , гомотопическая группа — это циклическая группа этого порядка (обычно обозначаемая $Z m$ ).
запись — ∞, гомотопическая группа — это группа бесконечная циклическая $Z.$ Если
Если запись является продуктом, гомотопическая группа является декартовым произведением (эквивалентно прямой суммой ) циклических групп этих порядков. Полномочия указывают на повторяющиеся продукты. (Обратите внимание, что когда $и$ b $не$ общего множителя , $Z a \timesZ b$ изоморфно a Z $имеют ab$ .)

Пример : $π 19 (S 10) = π 9+10 (S 10) = Z\timesZ 2 \timesZ 2 \timesZ 2$ , который обозначается $\infty\cdot2 3$ в таблице.

С ^н →	С ⁰	С ¹	С ²	С ³	С ⁴	С ⁵	С ⁶	С ⁷	С ⁸	С ⁹	С ¹⁰	С ¹¹	С ¹²	С ^≥13
π _{< n} ( S ^н)		⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π _{0+ n} ( S ^н)	2	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞
π _{1+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	∞	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π _{2+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π _{3+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	2	12	∞⋅12	24	24	24	24	24	24	24	24	24
π _{4+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	12	2	2 ²	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π _{5+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	2	2	2 ²	2	∞	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π _{6+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	2	3	24⋅3	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π _{7+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	3	15	15	30	60	120	∞⋅120	240	240	240	240	240
π _{8+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	15	2	2	2	24⋅2	2 ³	2 ⁴	2 ³	2 ²	2 ²	2 ²	2 ²
π _{9+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	2	2 ²	2 ³	2 ³	2 ³	2 ⁴	2 ⁵	2 ⁴	∞⋅2 ³	2 ³	2 ³	2 ³
π _{10+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	2 ²	12⋅2	120⋅12⋅2	72⋅2	72⋅2	24⋅2	24 ²⋅2	24⋅2	12⋅2	6⋅2	6	6
π _{11+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	12⋅2	84⋅2 ²	84⋅2 ⁵	504⋅2 ²	504⋅4	504⋅2	504⋅2	504⋅2	504	504	∞⋅504	504
π _{12+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	84⋅2 ²	2 ²	2 ⁶	2 ³	240	⋅	⋅	⋅	12	2	2 ²	Видеть ниже
π _{13+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	2 ²	6	24⋅6⋅2	6⋅2	6	6	6⋅2	6	6	6⋅2	6⋅2
π _{14+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	6	30	2520⋅6⋅2	6⋅2	12⋅2	24⋅4	240⋅24⋅4	16⋅4	16⋅2	16⋅2	48⋅4⋅2
π _{15+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	30	30	30	30⋅2	60⋅6	120⋅2 ³	120⋅2 ⁵	240⋅2 ³	240⋅2 ²	240⋅2	240⋅2
π _{16+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	30	6⋅2	6 ²⋅2	2 ²	504⋅2 ²	2 ⁴	2 ⁷	2 ⁴	240⋅2	2	2
π _{17+ n} ( S ^н)	⋅	⋅	6⋅2	12⋅2 ²	24⋅12⋅4⋅2 ²	4⋅2 ²	2 ⁴	2 ⁴	6⋅2 ⁴	2 ⁴	2 ³	2 ³	2 ⁴
π _{18+ n} ( С ^н)	⋅	⋅	12⋅2 ²	12⋅2 ²	120⋅12⋅2 ⁵	24⋅2 ²	24⋅6⋅2	24⋅2	504⋅24⋅2	24⋅2	24⋅2 ²	8⋅4⋅2	480⋅4 ²⋅2
π _{19+ n} ( С ^н)	⋅	⋅	12⋅2 ²	132⋅2	132⋅2 ⁵	264⋅2	1056⋅8	264⋅2	264⋅2	264⋅2	264⋅6	264⋅2 ³	264⋅2 ⁵

С ^н →	С ¹³	С ¹⁴	С ¹⁵	С ¹⁶	С ¹⁷	С ¹⁸	С ¹⁹	С ²⁰	С ^≥21
π _{12+ n} ( S ^н)	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π _{13+ n} ( S ^н)	6	∞⋅3	3	3	3	3	3	3	3
π _{14+ n} ( S ^н)	16⋅2	8⋅2	4⋅2	2 ²	2 ²	2 ²	2 ²	2 ²	2 ²
π _{15+ n} ( S ^н)	480⋅2	480⋅2	480⋅2	∞⋅480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2
π _{16+ n} ( S ^н)	2	24⋅2	2 ³	2 ⁴	2 ³	2 ²	2 ²	2 ²	2 ²
π _{17+ n} ( S ^н)	2 ⁴	2 ⁴	2 ⁵	2 ⁶	2 ⁵	∞⋅2 ⁴	2 ⁴	2 ⁴	2 ⁴
π _{18+ n} ( С ^н)	8 ²⋅2	8 ²⋅2	8 ²⋅2	24⋅8 ²⋅2	8 ²⋅2	8⋅4⋅2	8⋅2 ²	8⋅2	8⋅2
π _{19+ n} ( С ^н)	264⋅2 ³	264⋅4⋅2	264⋅2 ²	264⋅2 ²	264⋅2 ²	264⋅2	264⋅2	∞⋅264⋅2	264⋅2

Таблица стабильных гомотопических групп

Стабильные гомотопические группы $π С k$ — произведения циклических групп бесконечного или простого степенного порядка, показанные в таблице. (В основном по историческим причинам стабильные гомотопические группы обычно задаются как произведения циклических групп простого степенного порядка, тогда как таблицы нестабильных гомотопических групп часто дают их как произведения наименьшего числа циклических групп.) Для $p > 5$ часть p $2$ -компонента, учитываемая $J$ -гомоморфизмом, является циклической порядка $p,$ если $(p - 1)$ делит $k + 1$ и 0 в противном случае. ^{[ 49 ]} Поведение таблицы по модулю 8 обусловлено периодичностью Ботта через J-гомоморфизм , образ которого подчеркнут.

п →	0	1	2	3	4	5	6	7
π _{0+ п}^С	∞	2	2	8⋅3	⋅	⋅	2	16⋅3⋅5
п _{8+ н}^С	2 ⋅2	2 ⋅2 ²	2⋅3	8⋅9⋅7	⋅	3	2 ²	32 ⋅2⋅ 3⋅5
π _{16+ н}^С	2 ⋅2	2 ⋅2 ³	8⋅2	8 ⋅2⋅ 3⋅11	8⋅3	2 ²	2⋅2	16 ⋅8⋅2⋅ 9 ⋅3⋅ 5⋅7⋅13
п _{24+ н}^С	2 ⋅2	2 ⋅2	2 ²⋅3	8⋅3	2	3	2⋅3	64 ⋅2 ²⋅ 3⋅5⋅17
п _{32+ н}^С	2 ⋅2 ³	2 ⋅2 ⁴	4⋅2 ³	8 ⋅2 ²⋅ 27⋅7⋅19	2⋅3	2 ²⋅3	4⋅2⋅3⋅5	16 ⋅2 ⁵⋅3⋅ 3⋅25⋅11
р _{40+ н}^С	2 ⋅4⋅2 ⁴⋅3	2 ⋅2 ⁴	8⋅2 ²⋅3	8⋅3⋅23	8	16⋅2 ³⋅9⋅5	2 ⁴⋅3	32 ⋅4⋅2 ³⋅ 9 ⋅3⋅ 5⋅7⋅13
р _{48+ н}^С	2 ⋅4⋅2 ³	2 ⋅2⋅3	2 ³⋅3	8 ⋅8⋅2⋅ 3	2 ³⋅3	2 ⁴	4⋅2	16 ⋅3⋅ 3⋅5⋅29
π _{56+ н}^С	2	2 ⋅2 ²	2 ²	8 ⋅2 ²⋅ 9⋅7⋅11⋅31	4	⋅	2 ⁴⋅3	128 ⋅4⋅2 ²⋅ 3⋅5⋅17
п _{64+ н}^С	2 ⋅4⋅2 ⁵	2 ⋅4⋅2 ⁸⋅3	8⋅2 ⁶	8 ⋅4⋅2 ³⋅ 3	2 ³⋅3	2 ⁴	4 ²⋅2 ⁵	16 ⋅8⋅4⋅2 ⁶⋅ 27⋅5⋅7⋅13⋅19⋅37
п _{72+ н}^С	2 ⋅2 ⁷⋅3	2 ⋅2 ⁶	4 ³⋅2⋅3	8 ⋅2⋅9⋅ 3	4⋅2 ²⋅5	4⋅2 ⁵	4 ²⋅2 ³⋅3	32 ⋅4⋅2 ⁶⋅ 3⋅25⋅11⋅41

Ссылки

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с Исаксен, Ван и Сюй, 2023 .
^ Хэтчер 2002 , с. xii.
^ Хэтчер 2002 , Пример 0.3, с. 6.
^ Хэтчер 2002 , с. 129.
^ Хэтчер 2002 , с. 28.
^ Хэтчер 2002 , с. 3.
^ Миранда 1995 , стр. 123–125.
^ Ху 1959 , с. 107 .
^ Хэтчер 2002 , с. 29.
^ См., например, Теорию гомотопических типов, 2013 , раздел 8.1, " ${\textstyle \pi _{1}(S^{1})}$ ".
^ Хэтчер 2002 , с. 348.
^ Jump up to: ^а ^б Хэтчер 2002 , с. 349.
^ Хэтчер 2002 , с. 61.
^ Хопф 1931 .
^ Уолшап 2004 , с. 90.
^ О'Коннор и Робертсон 2001 .
^ О'Коннор и Робертсон 1996 .
^ Богемия 1932 , с. 203.
^ Jump up to: ^а ^б Май 1999а .
^ Хэтчер 2002 , с. 342.
^ Хэтчер 2002 , Стабильные гомотопические группы, стр. 385–393.
^ Хэтчер 2002 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Скорпан 2005 .
^ Теплица 1951 г.
^ Коэн, Мур и Нейзендорфер, 1979 .
^ Равенел 2003 , с. 4.
^ Теплица 1952 г.
^ Равенел 2003 , с. 25.
^ Fuks 2001 .
^ Адамс 1966 .
^ Нисида 1973 .
^ Jump up to: ^а ^б Весь 1962 год .
^ Коэн 1968 .
^ Равенел 2003 .
^ Маховальд 2001 .
^ Равенел 2003 , стр. 67–74.
^ Равенел 2003 , Глава 5.
^ Кочман 1990 .
^ Исаксен 2019 .
^ Ван и Сюй 2017 .
^ Георге, Ван и Сюй, 2021 .
^ Беррик и др. 2006 год .
^ Файн и Розенбергер 1997 .
^ Хэтчер 2002 , с. 32.
^ Кервэр и Милнор 1963 .
^ Барратт, Джонс и Маховальд 1984 .
^ Дейтмар 2006 .
^ Эти таблицы основаны на таблице гомотопических групп сфер Тоды (1962) .
^ Фукс 2001 . 2-компоненты можно найти у Isaksen, Wang & Xu (2023) , а 3- и 5-компоненты — у Ravenel (2003) .

Источники

Адамс, Дж. Франк (1966), «О группах J(X) IV», Топология , 5 (1): 21–71, doi : 10.1016/0040-9383(66)90004-8 . См. также Адамс, Дж. (1968), «Коррекция», Топология , 7 (3): 331, doi : 10.1016/0040-9383(68)90010-4 .
Барратт, Майкл Г.; Джонс, Джон Д.С.; Маховальд, Марк Э. (1984), «Отношения между скобками Тоды и инвариантом Кервера в размерности 62», Журнал Лондонского математического общества , 30 (3): 533–550, CiteSeerX 10.1.1.212.1163 , doi : 10.1112/ jlms/s2-30.3.533 , МР 0810962 .
Беррик, Эй Джей; Коэн, Фредерик Р .; Вонг, Ян Лой; Ву, Цзе (2006), «Конфигурации, косы и гомотопические группы» , Журнал Американского математического общества , 19 (2): 265–326, doi : 10.1090/S0894-0347-05-00507-2 , MR 2188127 .
Картан, Анри ; Серр, Жан-Пьер (1952a), «Расслоенные пространства и гомотопические группы. I. Общие конструкции», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 234 , Париж: 288–290, ISSN 0764-4442 , MR 0046045 .
Картан, Анри ; Серр, Жан-Пьер (1952b), «Расслоенные пространства и гомотопические группы. II. Приложения», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 234 , Париж: 393–395, ISSN 0764-4442 , MR 0046046 .
Коэн, Фредерик Р .; Мур, Джон С .; Нейзендорфер, Джозеф А. (ноябрь 1979 г.), «Двойная подвеска и показатели гомотопических групп сфер», Annals of Mathematics , Second Series, 110 (3): 549–565, doi : 10.2307/1971238 , JSTOR 1971238 , MR 0554384 .
Коэн, Джоэл М. (1968), «Разложение стабильной гомотопии», Annals of Mathematics , Second Series, 87 (2): 305–320, doi : 10.2307/1970586 , JSTOR 1970586 , MR 0231377 , PMC 224450 , PMID 16591550 .
Дейтмар, Антон (2006), «Замечания о дзета-функциях и K -теории над F ₁ » , Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences , 82 (8): 141–146, arXiv : math/0605429 , doi : 10.3792/pjaa.82.141 , ISSN 0386-2194 , МР 2279281 .
Хорошо, Бенджамин; Розенбергер, Герхард (1997), «8.1 Число витков и доказательство пять», Фундаментальная теорема алгебры , Тексты для студентов по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 134–136, doi : 10.1007/978-1-4612- 1928-6 , ISBN 0-387-94657-8 , МР 1454356
Фукс, Дмитрий Б. (2001) [1994], «Сферы, гомотопические группы» , Энциклопедия математики , EMS Press .
Ху, Сзе-цен (1959), Гомотопическая теория , Чистая и прикладная математика, вып. 8, Нью-Йорк и Лондон: Academic Press, MR 0106454.
Исаксен, Дэниел К. (2019), «Стабильные стебли», Мемуары Американского математического общества , 262 (1269), doi : 10.1090/memo/1269 , ISBN 978-1-4704-3788-6 , МР 4046815 .
Исаксен, Дэниел К.; Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2023), «Стабильные гомотопические группы сфер: от размерности от 0 до 90», Publications mathématiques de l'IHÉS , 137 : 107–243, arXiv : 2001.04511 , doi : 10.1007/s10240-023-00139-1 .
Кервер, Мишель А .; Милнор, Джон В. (1963), «Группы гомотопических сфер: I», Annals of Mathematics , 77 (3): 504–537, doi : 10.2307/1970128 , JSTOR 1970128 , MR 0148075 .
Кочман, Стэнли О. (1990), Стабильные гомотопические группы сфер. Компьютерный подход , Конспект лекций по математике, вып. 1423, Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0083795 , ISBN 978-3-540-52468-7 , MR 1052407 ( Кочман и Маховальд, 1995 ).
Кочман, Стэнли О.; Маховальд, Марк Э. (1995), «О вычислении устойчивых основ» , Столетие Чеха (Бостон, Массачусетс, 1993) , Современная математика, том. 181, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 299–316, ISBN. 978-0-8218-0296-0 , МР 1320997
Маховальд, Марк (1998), «На пути к глобальному пониманию π _∗ ( S ^н)" , Труды Международного конгресса математиков (Берлин, 1998) , Documenta Mathematica, Extra Volume, том II, стр. 465–472, MR 1648096
Маховальд, Марк (2001) [1994], «Спектральная последовательность ЭДП» , Энциклопедия математики , EMS Press .
Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 58 (6): 804–809
Миранда, Рик (1995), Алгебраические кривые и римановы поверхности , Аспирантура по математике, том. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/gsm/005 , ISBN. 0-8218-0268-2 , МР 1326604
Нисида, Горо (1973), «Нильпотентность элементов стабильных гомотопических групп сфер», Журнал Математического общества Японии , 25 (4): 707–732, doi : 10.2969/jmsj/02540707 , hdl : 2433/ 220059 , ISSN 0025-5645 , МР 0341485 .
Понтрягин, Лев , Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий, Переводы Американского математического общества, Сер. 2, Том. 11, стр. 1–114 (1959).
Равенел, Дуглас К. (2003), Комплексный кобордизм и стабильные гомотопические группы сфер (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7 , МР 0860042 .
Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3749-8 , МР 2136212 .
Серр, Жан-Пьер (1951), «Особые гомологии расслоенных пространств. Приложения», Annals of Mathematics , Second Series, 54 (3): 425–505, doi : 10.2307/1969485 , JSTOR 1969485 , MR 0045386 .
Серр, Жан-Пьер (1952), «О отстранении Фрейденталя», Труды Академии наук, серия I , 234 , Париж: 1340–1342, ISSN 0764-4442 , MR 0046048 .
Тода, Хироси (1962), Методы композиции в гомотопических группах сфер , Анналы математических исследований, том. 49, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-09586-8 , МР 0143217 .
Уолшап, Джерард (2004), «Глава 3: Гомотопические группы и расслоения над сферами», Метрические структуры в дифференциальной геометрии , Тексты для аспирантов по математике, том. 224, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, номер номера : 10.1007/978-0-387-21826-7 , ISBN. 0-387-20430-Х , МР 2045823
Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2017), «Тривиальность 61-стержня в стабильных гомотопических группах сфер», Annals of Mathematics , 186 (2): 501–580, arXiv : 1601.02184 , doi : 10.4007/annals.2017.186.2.3 , МИСТЕР 3702672 , S2CID 119147703 .
Георгий, Богдан; Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2021), «Специальный слой мотивной деформации стабильной гомотопической категории является алгебраическим», Acta Mathematica , 226 (2): 319–407, arXiv : 1809.09290 , doi : 10.4310/ACTA.2021.v226. n2.a2 , S2CID 119303902 .
Теория гомотопических типов — одновалентные основы математики , Программа Uniвалентных основ и Институт перспективных исследований, 2013, MR 3204653

Общие ссылки по алгебраической топологии

Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-79540-1 , МР 1867354 .
Мэй, Дж. Питер (1999b), Краткий курс алгебраической топологии , Чикагские лекции по математике (переработанная редакция), University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-51183-2 , МР 1702278 .

Исторические документы

Чех, Эдуард (1932), «Многомерные гомотопические группы», Труды Международного конгресса математиков, Цюрих .
Хопф, Хайнц (1931), «Об отображениях трехмерной сферы на сферическую поверхность» , Mathematical Annals , 104 (1): 637–665, doi : 10.1007/BF01457962 , S2CID 123533891 .
Мэй, Дж. Питер (1999a), «Стабильная алгебраическая топология 1945–1966» , в И. М. Джеймсе (редактор), «История топологии» , Elsevier Science , стр. 665–723, ISBN. 978-0-444-82375-5 .

Внешние ссылки

Баэз, Джон (21 апреля 1997 г.), Находки этой недели по математической физике 102 , получено 9 октября 2007 г.
Хэтчер, Аллен , Стабильные гомотопические группы сфер (PDF) , получено 20 октября 2007 г.
О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, Э.Ф. (1996), История топологии , получено 14 ноября 2007 г. в архиве MacTutor History of Mathematics .
О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (2001), Мари Эннемонд Камилла Джордан , получено 14 ноября 2007 г. в архиве MacTutor History of Mathematics.

[FOOTNOTEIsaksenWangXu2023-1] Jump up to: ^а ^б ^с Исаксен, Ван и Сюй, 2023 .

[FOOTNOTEHatcher2002xii-2] Хэтчер 2002 , с. xii.

[FOOTNOTEHatcher2002Example_0.3,_p._6-3] Хэтчер 2002 , Пример 0.3, с. 6.

[FOOTNOTEHatcher2002129-4] Хэтчер 2002 , с. 129.

[FOOTNOTEHatcher200228-5] Хэтчер 2002 , с. 28.

[FOOTNOTEHatcher20023-6] Хэтчер 2002 , с. 3.

[FOOTNOTEMiranda1995123–125-7] Миранда 1995 , стр. 123–125.

[FOOTNOTEHu1959[httpsbooksgooglecombooksidiVhMPU0X2G4CpgPA107_107]-8] Ху 1959 , с. 107 .

[FOOTNOTEHatcher200229-9] Хэтчер 2002 , с. 29.

[10] См., например, Теорию гомотопических типов, 2013 , раздел 8.1, " ${\textstyle \pi _{1}(S^{1})}$ ".

[FOOTNOTEHatcher2002348-11] Хэтчер 2002 , с. 348.

[FOOTNOTEHatcher2002349-12] Jump up to: ^а ^б Хэтчер 2002 , с. 349.

[FOOTNOTEHatcher200261-13] Хэтчер 2002 , с. 61.

[FOOTNOTEHopf1931-14] Хопф 1931 .

[FOOTNOTEWalschap200490-15] Уолшап 2004 , с. 90.

[FOOTNOTEO'ConnorRobertson2001-16] О'Коннор и Робертсон 2001 .

[FOOTNOTEO'ConnorRobertson1996-17] О'Коннор и Робертсон 1996 .

[FOOTNOTEČech1932203-18] Богемия 1932 , с. 203.

[FOOTNOTEMay1999a-19] Jump up to: ^а ^б Май 1999а .

[FOOTNOTEHatcher2002342-20] Хэтчер 2002 , с. 342.

[FOOTNOTEHatcher2002Stable_homotopy_groups,_pp._385–393-21] Хэтчер 2002 , Стабильные гомотопические группы, стр. 385–393.

[FOOTNOTEHatcher2002-22] Хэтчер 2002 .

[FOOTNOTEScorpan2005-23] Jump up to: ^а ^б ^с Скорпан 2005 .

[FOOTNOTESerre1951-24] Теплица 1951 г.

[FOOTNOTECohenMooreNeisendorfer1979-25] Коэн, Мур и Нейзендорфер, 1979 .

[FOOTNOTERavenel20034-26] Равенел 2003 , с. 4.

[FOOTNOTESerre1952-27] Теплица 1952 г.

[FOOTNOTERavenel200325-28] Равенел 2003 , с. 25.

[FOOTNOTEFuks2001-29] Fuks 2001 .

[FOOTNOTEAdams1966-30] Адамс 1966 .

[FOOTNOTENishida1973-31] Нисида 1973 .

[FOOTNOTEToda1962-32] Jump up to: ^а ^б Весь 1962 год .

[FOOTNOTECohen1968-33] Коэн 1968 .

[FOOTNOTERavenel2003-34] Равенел 2003 .

[FOOTNOTEMahowald2001-35] Маховальд 2001 .

[FOOTNOTERavenel200367–74-36] Равенел 2003 , стр. 67–74.

[FOOTNOTERavenel2003Chapter_5-37] Равенел 2003 , Глава 5.

[FOOTNOTEKochman1990-38] Кочман 1990 .

[FOOTNOTEIsaksen2019-39] Исаксен 2019 .

[FOOTNOTEWangXu2017-40] Ван и Сюй 2017 .

[FOOTNOTEGheorgheWangXu2021-41] Георге, Ван и Сюй, 2021 .

[FOOTNOTEBerrickCohenWongWu2006-42] Беррик и др. 2006 год .

[FOOTNOTEFineRosenberger1997-43] Файн и Розенбергер 1997 .

[FOOTNOTEHatcher200232-44] Хэтчер 2002 , с. 32.

[FOOTNOTEKervaireMilnor1963-45] Кервэр и Милнор 1963 .

[FOOTNOTEBarrattJonesMahowald1984-46] Барратт, Джонс и Маховальд 1984 .

[FOOTNOTEDeitmar2006-47] Дейтмар 2006 .

[48] Эти таблицы основаны на таблице гомотопических групп сфер Тоды (1962) .

[49] Фукс 2001 . 2-компоненты можно найти у Isaksen, Wang & Xu (2023) , а 3- и 5-компоненты — у Ravenel (2003) .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

Фон

н -сфера