Степень непрерывного отображения

В топологии степень многообразие непрерывного отображения между двумя компактными ориентированными многообразиями одной и той же размерности — это число, которое представляет количество раз, которое области обертывает вокруг многообразия значений при отображении. Степень всегда является целым числом , но может быть положительной или отрицательной в зависимости от ориентации.

Степень отображения впервые определил Брауэр . ^[1] который показал, что степень гомотопически инвариантна ( инвариантна среди гомотопий), и использовал ее для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке . В современной математике степень отображения играет важную роль в топологии и геометрии . В физике степень непрерывного отображения (например, отображения пространства в некоторый набор параметров порядка) является одним из примеров топологического квантового числа .

Определения степени

От С ^н до С ^н

Самый простой и важный случай — это степень непрерывного отображения из $n$ -сфера $S^{n}$ самому себе (в случае $n=1$ , это называется числом обмотки ):

Позволять $f\colon S^{n}\to S^{n}$ быть непрерывным отображением. Затем $f$ индуцирует гомоморфизм $f_{*}\colon H_{n}\left(S^{n}\right)\to H_{n}\left(S^{n}\right)$ , где $H_{n}\left(\cdot \right)$ это $n$ группа гомологии . Учитывая тот факт, что $H_{n}\left(S^{n}\right)\cong \mathbb {Z}$ , мы видим это $f_{*}$ должно быть вида $f_{*}\colon x\mapsto \alpha x$ для некоторых фиксированных $\alpha \in \mathbb {Z}$ .Этот $\alpha$ тогда называется степенью $f$ .

Между коллекторами

Алгебраическая топология

Пусть X и Y — замкнутые связные ориентированные m -мерные многообразия . многообразия Двойственность Пуанкаре подразумевает, что верхняя группа гомологий изоморфна Z . Выбор ориентации означает выбор генератора верхней группы гомологии.

Непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм f _∗ из H _m ( X ) в H _m ( Y ). Пусть [ X ], соотв. [ Y ] — выбранный генератор H _m ( X ), соответственно. H _m ( Y ) (или фундаментальный класс X . , Y ) Тогда степень f ] определяется как f _* ([ X ). Другими словами,

f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.

Если y в Y и f ⁻¹( y ) — конечное множество, степень f можно вычислить, рассматривая m -ю локальную группу гомологии в X каждой точке f ⁻¹( у ).А именно, если $f^{-1}(y)=\{x_{1},\dots ,x_{m}\}$ , затем

\deg(f)=\sum _{i=1}^{m}\deg(f|_{x_{i}})\,.

Дифференциальная топология

На языке дифференциальной топологии степень гладкого отображения можно определить следующим образом: если f областью определения которого является компактное многообразие, а p — регулярное значение f — гладкое отображение , , рассмотрим конечное множество

f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.

Поскольку p является регулярным значением, в окрестности каждого x _i отображение f является локальным диффеоморфизмом . Диффеоморфизмы могут быть как сохраняющими, так и обращающими ориентацию. Пусть r будет числом точек x _i, в которых f сохраняет ориентацию, а s будет числом, в которых f меняет ориентацию. Когда кодобласть f связна, число r − s не зависит от выбора p (хотя n не зависит!), и степень f как определяется r − s . Это определение совпадает с приведенным выше алгебро-топологическим определением.

То же определение работает для компактных многообразий с краем , но тогда f должно направить границу X на границу Y .

Можно также определить степень по модулю 2 (deg ₂ ( f )) так же, как и раньше, но взяв фундаментальный класс в гомологиях Z ₂ . В этом случае deg ₂ ( f ) является элементом Z ₂ ( поле с двумя элементами ), многообразия не обязательно должны быть ориентируемыми, и если n — это количество прообразов p, как и раньше, тогда deg ₂ ( f ) равно n по модулю 2. .

Интегрирование дифференциальных форм дает спаривание между (C ^∞-) сингулярные гомологии и когомологии де Рама : ${\textstyle \langle c,\omega \rangle =\int _{c}\omega }$ , где $c$ — класс гомологии, представленный циклом $c$ и $\omega$ замкнутая форма, представляющая класс когомологий де Рама. Для гладкого отображения f : X → Y между ориентируемыми m -многообразиями имеем

\left\langle f_{*}[c],[\omega ]\right\rangle =\left\langle [c],f^{*}[\omega ]\right\rangle ,

где f _∗ и f ^∗ являются индуцированными отображениями на цепях и формах соответственно. Поскольку f _∗ [ X ] = deg f · [ Y ], имеем

\deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,

для любой m -формы ω на Y .

Карты закрытого региона

Если $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ это ограниченная область , $f:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}$ гладкий, $p$ регулярное значение $f$ и $p\notin f(\partial \Omega )$ , то степень $\deg(f,\Omega ,p)$ определяется по формуле

\deg(f,\Omega ,p):=\sum _{y\in f^{-1}(p)}\operatorname {sgn} \det(Df(y))

где $Df(y)$ - Якобиана матрица $f$ в $y$ .

Это определение степени может быть естественным образом расширено для нерегулярных значений. $p$ такой, что $\deg(f,\Omega ,p)=\deg \left(f,\Omega ,p'\right)$ где $p'$ это точка, близкая к $p$ .

Степень удовлетворяет следующим свойствам: ^[2]

Если $\deg \left(f,{\bar {\Omega }},p\right)\neq 0$ , то существует $x\in \Omega$ такой, что $f(x)=p$ .
$\deg(\operatorname {id} ,\Omega ,y)=1$ для всех $y\in \Omega$ .
Свойство разложения: $\deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y),$ если $\Omega _{1},\Omega _{2}$ являются непересекающимися частями $\Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$ и $y\not \in f{\left({\overline {\Omega }}\setminus \left(\Omega _{1}\cup \Omega _{2}\right)\right)}$ .
Гомотопическая инвариантность : если $f$ и $g$ гомотопически эквивалентны через гомотопию $F(t)$ такой, что $F(0)=f,\,F(1)=g$ и $p\notin F(t)(\partial \Omega )$ , затем $\deg(f,\Omega ,p)=\deg(g,\Omega ,p)$
Функция $p\mapsto \deg(f,\Omega ,p)$ является локально постоянным на $\mathbb {R} ^{n}-f(\partial \Omega )$

Эти свойства однозначно характеризуют степень, и степень может быть определена ими аксиоматически.

Аналогичным образом мы могли бы определить степень отображения между компактными ориентированными многообразиями с краем .

Характеристики

Степень отображения является гомотопическим инвариантом; при этом для непрерывных отображений сферы в себя это полный гомотопический инвариант, т. е. два отображения $f,g:S^{n}\to S^{n}\,$ гомотопны тогда и только тогда, когда $\deg(f)=\deg(g)$ .

Другими словами, степень — это изоморфизм между $\left[S^{n},S^{n}\right]=\pi _{n}S^{n}$ и $\mathbf {Z}$ .

Более того, теорема Хопфа утверждает, что для любого $n$ -мерное замкнутое ориентированное многообразие M , два отображения $f,g:M\to S^{n}$ гомотопны тогда и только тогда, когда $\deg(f)=\deg(g).$

Карта себя $f:S^{n}\to S^{n}$ -сферы n продолжается до отображения $F:B_{n+1}\to S^{n}$ из n+1 -шара в n -сферу тогда и только тогда, когда $\deg(f)=0$ . (Здесь функция F расширяет f в том смысле, что f является ограничением F на $S^{n}$ .)

Вычисление степени

Существует алгоритм вычисления топологической степени deg( f , B , 0) непрерывной функции f из n -мерного ящика B (произведения n интервалов) до $\mathbb {R} ^{n}$ , где f задано в виде арифметических выражений. ^[3] Реализация алгоритма доступна в TopDeg — программном средстве вычисления степени (LGPL-3).

См. также

Покрывающее число — термин с аналогичным названием. Заметим, что оно не обобщает число намоток, а описывает покрытия множества шарами.
Плотность (многогранник) , многогранный аналог
Теория топологической степени

Примечания

^ Брауэр, ЛЭД (1911). «Об отображении многообразий» . Математические летописи . 71 (1): 97–115. дои : 10.1007/bf01456931 . S2CID 177796823 .
^ Танцовщица, EN (2000). Вариационное исчисление и уравнения в частных производных . Спрингер-Верлаг. стр. 185–225. ISBN 3-540-64803-8 .
^ Франек, Питер; Ратчан, Стефан (2015). «Эффективное вычисление топологической степени на основе интервальной арифметики». Математика вычислений . 84 (293): 1265–1290. arXiv : 1207.6331 . дои : 10.1090/S0025-5718-2014-02877-9 . ISSN 0025-5718 . S2CID 17291092 .

Ссылки

Фландерс, Х. (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дувр.
Хирш, М. (1976). Дифференциальная топология . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90148-5 .
Милнор, JW (1997). Топология с дифференцируемой точки зрения . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-04833-8 .
Оутерело, Э.; Руис, Дж. М. (2009). Теория степени отображения . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4915-6 .

Внешние ссылки

«Степень Брауэра» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Давайте познакомимся со степенью отображения Раде Т. Живальевича.

[1] Брауэр, ЛЭД (1911). «Об отображении многообразий» . Математические летописи . 71 (1): 97–115. дои : 10.1007/bf01456931 . S2CID 177796823 .

[dancer-2] Танцовщица, EN (2000). Вариационное исчисление и уравнения в частных производных . Спрингер-Верлаг. стр. 185–225. ISBN 3-540-64803-8 .

[3] Франек, Питер; Ратчан, Стефан (2015). «Эффективное вычисление топологической степени на основе интервальной арифметики». Математика вычислений . 84 (293): 1265–1290. arXiv : 1207.6331 . дои : 10.1090/S0025-5718-2014-02877-9 . ISSN 0025-5718 . S2CID 17291092 .

[1]

[2]

[3]