Спектральная последовательность

О сортировке звезд в астрономии см. Звездная классификация .

В гомологической алгебре и алгебраической топологии спектральная последовательность — это средство вычисления групп гомологий путем принятия последовательных приближений. Спектральные последовательности являются обобщением точных последовательностей , и с момента их введения Жаном Лере ( 1946a , 1946b ) они стали важными вычислительными инструментами, особенно в алгебраической топологии, алгебраической геометрии и гомологической алгебре.

и

Движимый проблемами алгебраической топологии, Жан Лере ввел понятие пучка и столкнулся с проблемой вычисления когомологий пучка . Для вычисления пучковых когомологий Лерэ ввел вычислительную технику, теперь известную как спектральная последовательность Лере . Это дало связь между группами когомологий пучка и группами когомологий выдвижения пучка . Отношения включали в себя бесконечный процесс. Лере обнаружил, что группы когомологий продвижения вперед образуют естественный цепной комплекс , так что он мог взять когомологии когомологий. Это еще не были когомологии исходного пучка, но в некотором смысле они были на шаг ближе. Когомологии когомологий снова образовали цепной комплекс, а их когомологии образовали цепной комплекс и так далее. Предел этого бесконечного процесса по существу был таким же, как и группы когомологий исходного пучка.

Вскоре стало понятно, что вычислительная техника Лере представляет собой пример более общего явления. Спектральные последовательности были обнаружены в различных ситуациях и давали сложные отношения между группами гомологий и когомологий, происходящими из геометрических ситуаций, таких как расслоения , и из алгебраических ситуаций, включающих производные функторы . Хотя их теоретическое значение уменьшилось с момента введения производных категорий , они по-прежнему остаются наиболее эффективным доступным вычислительным инструментом. Это верно даже тогда, когда многие члены спектральной последовательности невычислимы.

К сожалению, из-за большого количества информации, передаваемой в спектральных последовательностях, их трудно усвоить. Эта информация обычно содержится в решетке абелевых групп или модулей третьего ранга . Проще всего иметь дело со случаями, когда спектральная последовательность в конечном итоге разрушается, а это означает, что дальнейшее продвижение последовательности не дает новой информации. Даже когда этого не происходит, часто из спектральной последовательности можно получить полезную информацию с помощью различных ухищрений.

Формальное определение

последовательность

Зафиксируйте абелеву категорию , например категорию модулей над кольцом , и неотрицательное целое число. $r_{0}$. — Когомологическая спектральная последовательность это последовательность $\{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}$ объектов $E_{r}$ и эндоморфизмы $d_{r}:E_{r}\to E_{r}$, такой, что для каждого $r\geq r_{0}$

1. $d_{r}\circ d_{r}=0$,
2. $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$, гомология ​ $E_{r}$ относительно $d_{r}$.

Обычно изоморфизмы подавляются и мы пишем $E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})$ вместо. Объект $E_{r}$ называется листом (как в листе бумаги ), а иногда и страницей или термином ; эндоморфизм $d_{r}$ называется граничной картой или дифференциалом . Иногда $E_{r+1}$ называется производным объектом $E_{r}$.

последовательность

В действительности спектральные последовательности чаще всего встречаются в категории двуградуированных модулей над кольцом R (или двуградуированных пучков модулей над пучком колец), т. е. каждый лист представляет собой биградуированный R-модуль. ${\textstyle E_{r}=\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}E_{r}^{p,q}.}$Итак, в этом случае когомологическая спектральная последовательность — это последовательность $\{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}$ биградуированных R-модулей $\{E_{r}^{p,q}\}_{p,q}$ и для каждого модуля прямая сумма эндоморфизмов $d_{r}=(d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1})_{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}$ двухстепенной $(r,1-r)$, такой, что для каждого $r\geq r_{0}$ он утверждает, что:

1. $d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0$,
2. $E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})$.

Используемые здесь обозначения называются дополнительной степенью . Некоторые авторы пишут $E_{r}^{d,q}$ вместо этого, где $d=p+q$ это общая степень . В зависимости от спектральной последовательности карта границ на первом листе может иметь степень, соответствующую r = 0, r = 1 или r = 2. Например, для спектральной последовательности фильтрованного комплекса, описанной ниже, r ₀ = 0, но для Гротендика спектральной последовательности r ₀ = 2. Обычно r ₀ равно нулю, единице или двум. В неклассифицированной ситуации, описанной выше, r ₀ не имеет значения.

последовательность

В основном объекты, о которых мы говорим, представляют собой цепные комплексы , встречающиеся в нисходящем (как указано выше) или возрастающем порядке. В последнем случае, заменив $E_{r}^{p,q}$ с $E_{p,q}^{r}$ и $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ с $d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}$ (двухградусный $(-r,r-1)$), получаем определение гомологической спектральной последовательности аналогично когомологическому случаю.

Спектральная последовательность цепного комплекса

Самый элементарный пример в неградуированной ситуации — цепной комплекс C _• . Объект C _• в абелевой категории цепных комплексов естественно имеет дифференциал d . Пусть r ₀ = 0, и пусть E ₀ будет C _• . Это вынуждает E ₁ быть комплексом H ( C _• ): В i -м положении это i -я группа гомологий C _• . Единственным естественным дифференциалом в этом новом комплексе является нулевое отображение, поэтому мы полагаем d ₁ = 0. Это заставляет $E_{2}$ равняться $E_{1}$, и снова наш единственный естественный дифференциал — это нулевое отображение. Помещение нулевого дифференциала на все остальные наши листы дает спектральную последовательность, члены которой:

• Е ₀ = С _•
• E _r = H ( C _• ) для всех r ≥ 1.

Члены этой спектральной последовательности стабилизируются на первом листе, поскольку ее единственный нетривиальный дифференциал находился на нулевом листе. Следовательно, мы не сможем получить больше информации на последующих этапах. Обычно, чтобы получить полезную информацию из последующих листов, нам нужна дополнительная структура $E_{r}$.

Визуализация

Лист E ₂ когомологической спектральной последовательности

Спектральная последовательность с двойной градацией содержит огромное количество данных, которые необходимо отслеживать, но существует общий метод визуализации, который делает структуру спектральной последовательности более ясной. У нас есть три индекса: r , p и q . Объект $E_{r}$ можно рассматривать как $r^{th}$ клетчатая страница книги. На этих листах мы будем считать p горизонтальным направлением, а q — вертикальным направлением. В каждой точке решетки у нас есть объект $E_{r}^{p,q}$. Теперь переход на следующую страницу означает взятие гомологии, то есть $(r+1)^{th}$ страница является подчастным $r^{th}$ страница. Общая степень n = p + q проходит по диагонали, с северо-запада на юго-восток, через каждый лист. В гомологическом случае дифференциалы имеют бистепень (− r , r − 1), поэтому они уменьшают n на единицу. В когомологическом случае n увеличивается на единицу. Дифференциалы меняют свое направление при каждом повороте относительно r.

Четыре страницы когомологической спектральной последовательности

Красные стрелки демонстрируют случай последовательности первого квадранта (см. пример ниже ), где только объекты первого квадранта ненулевые. При перелистывании страниц либо домен, либо кодомен всех дифференциалов становятся равными нулю.

Свойства

Категориальные свойства

Множество когомологических спектральных последовательностей образует категорию: морфизм спектральных последовательностей. $f:E\to E'$ по определению это набор карт $f_{r}:E_{r}\to E'_{r}$ которые совместимы с дифференциалами, т.е. $f_{r}\circ d_{r}=d'_{r}\circ f_{r}$, и с заданными изоморфизмами когомологий r -го шага и (r+1)-го листов E и E' соответственно: $f_{r+1}(E_{r+1})\,=\,f_{r+1}(H(E_{r}))\,=\,H(f_{r}(E_{r}))$. В случае с биградацией они также должны соблюдать градуировку: $f_{r}(E_{r}^{p,q})\subset {E'_{r}}^{p,q}.$

Мультипликативная структура

придает Произведение чашки кольцевую структуру группе когомологий, превращая ее в кольцо когомологий . Таким образом, естественно рассмотреть и спектральную последовательность с кольцевой структурой. Позволять $E_{r}^{p,q}$ — спектральная последовательность когомологического типа. Мы говорим, что оно имеет мультипликативную структуру, если (i) $E_{r}$ являются (двухградуенными) дифференциально-градуированными алгебрами и (ii) умножением на $E_{r+1}$ вызвано этим на $E_{r}$ путем перехода к когомологиям.

Типичным примером является когомологическая спектральная последовательность Серра для расслоения $F\to E\to B$, когда группа коэффициентов является кольцом R . Он имеет мультипликативную структуру, вызванную чашечными продуктами волокна и основы на $E_{2}$-страница. Однако в целом предельный срок $E_{\infty }$ не изоморфна как градуированная алгебра H( E ; R ). Мультипликативная структура может быть очень полезна для вычисления дифференциалов последовательности.

Конструкции спектральных последовательностей

Спектральные последовательности могут быть построены различными способами. В алгебраической топологии точная пара — пожалуй, самый распространенный инструмент построения. В алгебраической геометрии спектральные последовательности обычно строятся из фильтраций коцепных комплексов.

пары

Основная статья: Точная пара

Другой метод построения спектральных последовательностей — Уильяма Мэсси метод точных пар . Точные пары особенно распространены в алгебраической топологии. Несмотря на это, они непопулярны в абстрактной алгебре, где большинство спектральных последовательностей происходят из отфильтрованных комплексов.

Чтобы определить точные пары, мы снова начнем с абелевой категории. Как и раньше, на практике это обычно категория двуградуированных модулей над кольцом. Точная пара — это пара объектов ( A , C ) вместе с тремя гомоморфизмами между этими объектами: f : A → A , g : A → C и h : C → A при соблюдении определенных условий точности:

• Изображение f = ядро ​​g
• Изображение g = ядро ​​h
• Изображение h = Ядро f

Мы будем сокращать эти данные как ( A , C , f , g , h ). Точные пары обычно изображаются в виде треугольников. увидим, что C соответствует члену E0 _Мы спектральной последовательности и что A представляет собой некоторые вспомогательные данные.

Для перехода к следующему листу спектральной последовательности сформируем производную пару . Мы устанавливаем:

• d = г о час
• А' знак равно ж ( А )
• C' = Ker d / Im d
• ж' = ж | _A' , ограничение f на A'
• h' : C' → A' индуцируется h . Нетрудно видеть, что h индуцирует такое отображение.
• g' : A' → C' определяется на элементах следующим образом: для каждого a в A' запишите a как f ( b ) для некоторого b в A . g' ( a ) определяется как образ g ( b ) в C' . В общем случае g' можно построить, используя одну из теорем вложения абелевых категорий.

Отсюда несложно проверить, что ( A' , C' , f' , g' , h' ) — точная пара. C' соответствует члену E ₁ спектральной последовательности. Мы можем повторить эту процедуру, чтобы получить точные пары ( A ^{( н )} , С ^{( н )} , ж ^{( н )} , г ^{( н )} , ч ^{( н )} ).

Чтобы построить спектральную последовательность, En _будет C пусть ^{( н )} и не _будь ​ г ^{( н )} ой ​ ^{( н )} .

построенные этим

• Спектральная последовательность Серра - используется для вычисления (ко) гомологий расслоения
• Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха - используется для вычисления (ко) гомологий необычных теорий когомологий, таких как K-теория.
• Спектральная последовательность Бокштейна .
• Спектральные последовательности фильтрованных комплексов

Спектральная последовательность фильтрованного комплекса

Очень распространенный тип спектральной последовательности происходит из фильтрованного коцепного комплекса, поскольку он естественным образом порождает биградуированный объект. Рассмотрим коцепной комплекс $(C^{\bullet },d)$ вместе с нисходящей фильтрацией, ${\textstyle ...\supset \,F^{-2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{-1}C^{\bullet }\supset F^{0}C^{\bullet }\,\supset \,F^{1}C^{\bullet }\,\supset \,F^{2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{3}C^{\bullet }\,\supset ...\,}$ . Мы требуем, чтобы граничное отображение было совместимо с фильтрацией, т.е. ${\textstyle d(F^{p}C^{n})\subset F^{p}C^{n+1}}$, и что фильтрация является исчерпывающей , то есть объединением множества всех ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ это весь цепной комплекс ${\textstyle C^{\bullet }}$. Тогда существует спектральная последовательность с ${\textstyle E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$ и ${\textstyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(F^{p}C^{\bullet }/F^{p+1}C^{\bullet })}$. В дальнейшем мы также будем предполагать, что фильтрация хаусдорфова или разделённая , т. е. пересечение множества всех ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ равен нулю.

Фильтрация полезна, поскольку она дает меру близости к нулю: при p увеличении ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ все ближе и ближе к нулю. На основе этой фильтрации мы построим спектральную последовательность, в которой кограницы и коциклы на последующих листах становятся все ближе и ближе к кограницам и коциклам в исходном комплексе. Эта спектральная последовательность дважды градуирована степенью фильтрации p и дополнительной степенью q = n − p .

Строительство

$C^{\bullet }$ имеет только одну градуировку и фильтрацию, поэтому сначала мы создаем двухградуированный объект для первой страницы спектральной последовательности. Чтобы получить вторую оценку, мы возьмем связанный с ней градуированный объект с учетом фильтрации. Мы напишем его необычным образом, который будет оправдан на $E_{1}$ шаг:

$Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}$

$B_{0}^{p,q}=0$

$E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+1,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}$

$E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q}$

Поскольку мы предполагали, что карта границ совместима с фильтрацией, $E_{0}$ является объектом с двойной градуировкой и существует естественная карта границ с двойной градуировкой $d_{0}$ на $E_{0}$. Получить $E_{1}$, возьмем гомологию $E_{0}$.

${\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\rightarrow F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}$

${\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}/F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}$

$E_{1}^{p,q}={\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{{\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}}}$

$E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}$

Обратите внимание, что ${\bar {Z}}_{1}^{p,q}$ и ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$ можно записать как изображения в $E_{0}^{p,q}$ из

$Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}$

$B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}$

и что тогда мы имеем

$E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1,q-1}}}.$

$Z_{1}^{p,q}$ - это именно те элементы, которые дифференциал поднимает на один уровень фильтрации, и $B_{1}^{p,q}$ являются в точности образом элементов, которые дифференциал поднимает на нулевой уровень фильтрации. Это говорит о том, что нам следует выбрать $Z_{r}^{p,q}$ быть элементами, которые дифференциал поднимает на r уровней фильтрации и $B_{r}^{p,q}$ быть изображением элементов, которые дифференциал поднимает на уровень r-1 при фильтрации. Другими словами, спектральная последовательность должна удовлетворять

$Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1}$

$B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}$

$E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p+1,q-1}}}$

и у нас должны быть отношения

$B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).$

Чтобы это имело смысл, нам нужно найти дифференциал $d_{r}$ на каждом $E_{r}$ и проверим, что оно приводит к гомологиям, изоморфным $E_{r+1}$. Дифференциал

$d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}$

определяется путем ограничения исходного дифференциала $d$ определено на $C^{p+q}$ к подобъекту $Z_{r}^{p,q}$. Несложно проверить, что гомология $E_{r}$ относительно этого дифференциала $E_{r+1}$, так что это дает спектральную последовательность. К сожалению, дифференциал не очень явный. Определение дифференциалов или поиск способов их обхода — одна из основных задач успешного применения спектральной последовательности.

построенные этим

• Спектральная последовательность Ходжа – де Рама
• Спектральная последовательность двойного комплекса
• Может использоваться для создания структур смешанного Ходжа.

Спектральная последовательность двойного комплекса

Другой распространенной спектральной последовательностью является спектральная последовательность двойного комплекса. Двойной комплекс — это совокупность объектов C _i,j для всех целых чисел i и j вместе с двумя дифференциалами d ^я и д ^II . д ^я предполагается, что уменьшается i , а d ^II предполагается, что j уменьшается . Кроме того, мы предполагаем, что дифференциалы антикоммутируют , так что d ^я д ^II + д ^II д ^я = 0. Наша цель — сравнить итерированные гомологии $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ и $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$. Мы сделаем это, отфильтровав наш двойной комплекс двумя разными способами. Вот наши фильтры:

$(C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{if }}i\geq p\end{cases}}$

$(C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{if }}j\geq p\end{cases}}$

Чтобы получить спектральную последовательность, приведем к предыдущему примеру. Мы определяем полный комплекс T ( C _•,• ) как комплекс, n 'тый член которого равен $\bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}$ и чей дифференциал равен d ^я + д ^II . Это комплекс, потому что д ^я и д ^II являются антикоммутирующими дифференциалами. Две фильтрации на C _i,j дают две фильтрации на полном комплексе:

$T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}$

$T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}$

Чтобы показать, что эти спектральные последовательности дают информацию о повторяющихся гомологиях, мы вычислим E ⁰ , и ¹ и Е ² члены I- фильтрации на T ( C _•,• ). Е ​ ⁰ термин ясен:

${}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},$

где п = п + q .

Чтобы найти букву Е ¹ член, нам нужно определить d ^я + д ^II это Е ⁰ . Обратите внимание, что дифференциал должен иметь степень −1 по отношению к n , поэтому мы получаем отображение

$d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}$

Следовательно, дифференциал на E ⁰ — это отображение C _{p , q} → C _{p , q −1,} индуцированное d ^я + д ^II . Но д ^я имеет неправильную степень, чтобы вызвать такое отображение, поэтому d ^я должен быть нулем на E ⁰ . Это означает, что дифференциал равен ровно d ^II , поэтому мы получаем

${}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).$

Чтобы найти Е ² , нам нужно определить

$d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{II}(C_{p+1,\bullet })$

Потому что Э ¹ была в точности гомологией относительно d ^II , д ^II равен нулю на E ¹ . Следовательно, мы получаем

${}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet })).$

Использование другой фильтрации дает нам другую спектральную последовательность с аналогичным E ² срок:

${}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).$

Осталось найти связь между этими двумя спектральными последовательностями. Окажется, что по мере увеличения r две последовательности станут достаточно похожими, чтобы можно было проводить полезные сравнения.

и

Интерпретация как фильтрация циклов и границ

Пусть E _r — спектральная последовательность, начинающаяся, скажем, с r = 1. Тогда существует последовательность подобъектов

$0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{1}$

такой, что $E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1}$; действительно, рекурсивно мы позволяем $Z_{0}=E_{1},B_{0}=0$ и пусть $Z_{r},B_{r}$ быть так, чтобы $Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1}$ являются ядром и образом $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$

Затем мы позволяем $Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}$ и

$E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }$;

он называется предельным сроком . (Конечно, такое $E_{\infty }$ не обязательно должно существовать в категории, но обычно это не является проблемой, поскольку, например, в категории модулей существуют такие пределы или поскольку на практике спектральная последовательность, с которой мы работаем, имеет тенденцию вырождаться; в приведенной выше последовательности имеется лишь конечное число включений.)

Условия конвергенции

Мы говорим, что спектральная последовательность сходится слабо, если существует градуированный объект $H^{\bullet }$ с фильтрацией $F^{\bullet }H^{n}$ для каждого $n$, и для каждого $p$ существует изоморфизм $E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}$. Он сходится к $H^{\bullet }$ если фильтрация $F^{\bullet }H^{n}$ является Хаусдорфом, т.е. $\cap _{p}F^{p}H^{\bullet }=0$. Мы пишем

$E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}$

это означает, что всякий раз, когда p + q = n , $E_{r}^{p,q}$ сходится к $E_{\infty }^{p,q}$.Мы говорим, что спектральная последовательность $E_{r}^{p,q}$ примыкает к $E_{\infty }^{p,q}$ если для каждого $p,q$ есть $r(p,q)$ такой, что для всех $r\geq r(p,q)$, $E_{r}^{p,q}=E_{r(p,q)}^{p,q}$. Затем $E_{r(p,q)}^{p,q}=E_{\infty }^{p,q}$ является ограничивающим сроком. Спектральная последовательность регулярна или вырождается при $r_{0}$ если дифференциалы $d_{r}^{p,q}$ равны нулю для всех $r\geq r_{0}$. Если, в частности, есть $r_{0}\geq 2$, такой, что $r_{0}^{th}$ лист сосредоточен в одной строке или в одном столбце, тогда мы говорим, что он сворачивается . Символами пишем:

$E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}$

P . указывает индекс фильтрации Очень часто пишут $E_{2}^{p,q}$ термин на левой стороне абатмента, поскольку это наиболее полезный термин для большинства спектральных последовательностей. Спектральная последовательность нефильтрованного цепного комплекса вырождается на первом листе (см. первый пример): поскольку после нулевого листа ничего не происходит, предельный лист $E_{\infty }$ то же самое, что $E_{1}$.

Пятичленная точная последовательность спектральной последовательности связывает некоторые члены низкой степени и члены E _∞ .

Примеры вырождения

Спектральная последовательность фильтрованного комплекса, продолжение

Обратите внимание, что у нас есть цепочка включений:

$Z_{0}^{p,q}\supseteq Z_{1}^{p,q}\supseteq Z_{2}^{p,q}\supseteq \cdots \supseteq B_{2}^{p,q}\supseteq B_{1}^{p,q}\supseteq B_{0}^{p,q}$

Мы можем спросить, что произойдет, если мы определим

$Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q},$

$B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q},$

$E_{\infty }^{p,q}={\frac {Z_{\infty }^{p,q}}{B_{\infty }^{p,q}+Z_{\infty }^{p+1,q-1}}}.$

$E_{\infty }^{p,q}$ является естественным кандидатом на опору этой спектральной последовательности. Конвергенция не происходит автоматически, но происходит во многих случаях. В частности, если фильтрация конечна и состоит ровно из r нетривиальных шагов, то спектральная последовательность вырождается после r- го листа. Сходимость также имеет место, если комплекс и фильтрация ограничены снизу или оба ограничены сверху.

Чтобы более подробно описать примыкание нашей спектральной последовательности, обратите внимание, что у нас есть формулы:

$Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1})$

$B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }({\mbox{im }}d^{p,q-r}:F^{p-r}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}$

Чтобы увидеть, что это означает для $Z_{\infty }^{p,q}$ напомним, что мы предполагали, что фильтрация разделена. Это означает, что с увеличением r ядра сжимаются, пока у нас не останется $Z_{\infty }^{p,q}=\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1})$. Для $B_{\infty }^{p,q}$, напомним, что мы предполагали, что фильтрация исчерпывающая. Это означает, что с увеличением r изображения растут, пока мы не достигнем $B_{\infty }^{p,q}={\text{im }}(C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}$. Мы заключаем

$E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })$,

то есть опорой спектральной последовательности является p -й -я градуированная часть (p+q) гомологии C . Если наша спектральная последовательность сходится, то мы заключаем, что:

$E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}H^{p+q}(C^{\bullet })$

Длинные точные последовательности

Используя спектральную последовательность фильтрованного комплекса, мы можем вывести существование длинных точных последовательностей . Выберите короткую точную последовательность коцепных комплексов 0 → A. ^• → Б ^• → С ^• → 0 и вызываем первую карту f ^• : А ^• → Б ^• . Получаем естественные карты объектов гомологии H ^н ( А ^• ) → Ч ^н ( Б ^• ) → Ч ^н ( С ^• ), и мы знаем, что это ровно посередине. Мы будем использовать спектральную последовательность фильтрованного комплекса, чтобы найти связующий гомоморфизм и доказать, что полученная последовательность точна. Для начала мы фильтруем B ^• :

$F^{0}B^{n}=B^{n}$

$F^{1}B^{n}=A^{n}$

$F^{2}B^{n}=0$

Это дает:

$E_{0}^{p,q}={\frac {F^{p}B^{p+q}}{F^{p+1}B^{p+q}}}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\C^{q}&{\text{if }}p=0\\A^{q+1}&{\text{if }}p=1\end{cases}}$

$E_{1}^{p,q}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(C^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\H^{q+1}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}$

Дифференциал имеет бистепень (1, 0), поэтому d _0,q : H ^д ( С ^• ) → Ч ^{д +1} ( А ^• ). Это связующие гомоморфизмы из леммы о змее и вместе с отображениями A ^• → Б ^• → С ^• , они дают последовательность:

$\cdots \rightarrow H^{q}(B^{\bullet })\rightarrow H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\rightarrow \cdots$

Осталось показать, что эта последовательность точна в A и C. точках Обратите внимание, что эта спектральная последовательность вырождается в члене E2 _, поскольку дифференциалы имеют бистепень (2, −1). Следовательно, член E ₂ совпадает с членом E _∞ :

$E_{2}^{p,q}\cong {\text{gr}}_{p}H^{p+q}(B^{\bullet })={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\{\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}$

прямое описание термина Е2 _{Но у} как гомологии термина Е1 _{нас есть и} . Эти два описания должны быть изоморфны:

$H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })\cong \ker d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })$

${\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\cong H^{q+1}(A^{\bullet })/({\mbox{im }}d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet }))$

Первый дает точность в точке C , а второй дает точность в A. точке

Спектральная последовательность двойного комплекса, продолжение

Используя абатмент для фильтрованного комплекса, мы обнаруживаем, что:

$H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))$

$H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))$

В целом две оценки по H ^р+q (T(C _•,• )) различны . Несмотря на это, из этих двух спектральных последовательностей все еще можно получить полезную информацию.

Коммутативность Tor

Пусть R — кольцо, M — правый R -модуль и N — левый R -модуль. Напомним, что производные функторы тензорного произведения обозначаются Tor . Tor определяется с использованием проективного разрешения его первого аргумента. Однако оказывается, что $\operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)$. Хотя это можно проверить и без спектральной последовательности, с помощью спектральных последовательностей это очень просто.

Выбирайте проекционное разрешение $P_{\bullet }$ и $Q_{\bullet }$ M соответственно и N . Рассмотрим их как комплексы, исчезающие в отрицательной степени, имеющие дифференциалы d и e соответственно. Мы можем построить двойной комплекс, члены которого равны $C_{i,j}=P_{i}\otimes Q_{j}$ и чьи дифференциалы $d\otimes 1$ и $(-1)^{i}(1\otimes e)$. (Коэффициент -1 означает, что дифференциалы антикоммутируют.) Поскольку проективные модули плоские, тензорное произведение с проективным модулем коммутирует с взятием гомологий, поэтому мы получаем:

$H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{II}(Q_{\bullet }))$

$H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet })\otimes Q_{\bullet })$

Поскольку эти два комплекса являются резольвентами, их гомологии исчезают за пределами нулевой степени. В нулевой степени у нас остается

$H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)=\operatorname {Tor} _{p}(M,N)$

$H_{q}^{II}(M\otimes Q_{\bullet })=\operatorname {Tor} _{q}(N,M)$

В частности, $E_{p,q}^{2}$ члены исчезают, за исключением линий q = 0 (для I спектральной последовательности) и p = 0 (для II спектральной последовательности). Это означает, что спектральная последовательность вырождается на втором листе, поэтому E ^∞ члены изоморфны E ² условия:

$\operatorname {Tor} _{p}(M,N)\cong E_{p}^{\infty }=H_{p}(T(C_{\bullet ,\bullet }))$

$\operatorname {Tor} _{q}(N,M)\cong E_{q}^{\infty }=H_{q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))$

Наконец, когда p и q равны, две правые части равны, и отсюда следует коммутативность Tor.

Проработанные примеры

Лист первого квадранта

Рассмотрим спектральную последовательность, где $E_{r}^{p,q}$ исчезает для всех $p$ меньше, чем некоторые $p_{0}$ и для всех $q$ меньше, чем некоторые $q_{0}$. Если $p_{0}$ и $q_{0}$ может быть выбрано равным нулю, это называется спектральной последовательностью первого квадранта .Последовательность упирается, потому что $E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}$ держится для всех $i\geq 0$ если $r>p$ и $r>q+1$. Чтобы убедиться в этом, заметим, что либо область определения, либо область определения дифференциала равна нулю для рассматриваемых случаев. Визуально листы стабилизируются в виде растущего прямоугольника (см. рисунок выше). Однако спектральная последовательность не обязательно должна вырождаться, поскольку не все дифференциальные отображения могут быть равны нулю одновременно. Аналогично, спектральная последовательность также сходится, если $E_{r}^{p,q}$ исчезает для всех $p$ больше, чем некоторые $p_{0}$ и для всех $q$ больше, чем некоторые $q_{0}$.

2 ненулевых соседних столбца

Позволять $E_{p,q}^{r}$ — гомологическая спектральная последовательность такая, что $E_{p,q}^{2}=0$ для всех p, отличных от 0, 1. Визуально это спектральная последовательность с $E^{2}$-страница

${\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&E_{1,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&E_{1,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&E_{1,0}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,-1}^{2}&E_{1,-1}^{2}&0&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{matrix}}$

Дифференциалы на второй странице имеют степень (-2, 1), поэтому они имеют вид

$d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}$

Все эти карты нулевые, поскольку они

$d_{0,q}^{2}:E_{0,q}^{2}\to 0$, $d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0$

следовательно, спектральная последовательность вырождается: $E^{\infty }=E^{2}$. Скажем, оно сходится к $H_{*}$ с фильтрацией

$0=F_{-1}H_{n}\subset F_{0}H_{n}\subset \dots \subset F_{n}H_{n}=H_{n}$

такой, что $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}$. Затем $F_{0}H_{n}=E_{0,n}^{2}$, $F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}=E_{1,n-1}^{2}$, $F_{2}H_{n}/F_{1}H_{n}=0$, $F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0$и т. д. Таким образом, существует точная последовательность:

$0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0$.

Дальше пусть $E_{p,q}^{r}$ быть спектральной последовательностью, вторая страница которой состоит только из двух строк q = 0, 1. Она не обязательно вырождается на второй странице, но все равно вырождается на третьей странице, поскольку дифференциалы там имеют степень (-3, 2). Примечание $E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})$, так как знаменатель равен нулю. Сходным образом, $E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})$. Таким образом,

$0\to E_{p,0}^{\infty }\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to E_{p-2,1}^{\infty }\to 0$.

Теперь, скажем, спектральная последовательность сходится к H с фильтрацией F, как в предыдущем примере. С $F_{p-2}H_{p}/F_{p-3}H_{p}=E_{p-2,2}^{\infty }=0$, $F_{p-3}H_{p}/F_{p-4}H_{p}=0$и т. д., мы имеем: $0\to E_{p-1,1}^{\infty }\to H_{p}\to E_{p,0}^{\infty }\to 0$. Собрав все вместе, получаем:

$\cdots \to H_{p+1}\to E_{p+1,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-1,1}^{2}\to H_{p}\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to H_{p-1}\to \dots .$

Последовательность Вана

Вычисления в предыдущем разделе обобщаются простым способом. Рассмотрим расслоение над сферой:

$F{\overset {i}{\to }}E{\overset {p}{\to }}S^{n}$

с n не менее 2. Существует спектральная последовательность Серра :

$E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))\Rightarrow H_{p+q}(E)$;

то есть, $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(E)/F_{p-1}H_{p+q}(E)$ с некоторой фильтрацией $F_{\bullet }$.

С $H_{p}(S^{n})$ ненулевое значение только тогда, когда p равно нулю или n и в этом случае равно Z , мы видим $E_{p,q}^{2}$ состоит всего из двух строк $p=0,n$, следовательно $E^{2}$-страница предоставлена

${\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,0}^{2}&0&\cdots \\\end{matrix}}$

Более того, поскольку

$E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))=H_{q}(F)$

для $p=0,n$ по об универсальных коэффициентах теореме $E^{2}$ страница выглядит так

${\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots \\\end{matrix}}$

Поскольку единственные ненулевые дифференциалы находятся на $E^{n}$-страница, предоставленная

$d_{n,q}^{n}:E_{n,q}^{n}\to E_{0,q+n-1}^{n}$

который

$d_{n,q}^{n}:H_{q}(F)\to H_{q+n-1}(F)$

спектральная последовательность сходится на $E^{n+1}=E^{\infty }$. Путем вычисления $E^{n+1}$ мы получаем точную последовательность

$0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to E_{n,q-n}^{n}{\overset {d}{\to }}E_{0,q-1}^{n}\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.$

и записанное с использованием групп гомологии, это

$0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F)\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.$

Чтобы установить, что эти два $E^{\infty }$- условия есть, пишите $H=H(E)$, и поскольку $F_{1}H_{q}/F_{0}H_{q}=E_{1,q-1}^{\infty }=0$и т. д., мы имеем: $E_{n,q-n}^{\infty }=F_{n}H_{q}/F_{0}H_{q}$ и таким образом, поскольку $F_{n}H_{q}=H_{q}$,

$0\to E_{0,q}^{\infty }\to H_{q}\to E_{n,q-n}^{\infty }\to 0.$

Это точная последовательность

$0\to H_{q}(F)\to H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to 0.$

Суммируя все расчеты, получаем:

$\dots \to H_{q}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q}(E)\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q-1}(E)\to H_{q-n-1}(F)\to \dots$

( Последовательность Гайзина получается аналогичным образом.)

Термины низкой степени

С очевидным изменением обозначений тип вычислений в предыдущих примерах можно также выполнить для когомологической спектральной последовательности. Позволять $E_{r}^{p,q}$ — спектральная последовательность первого квадранта, сходящаяся к H с убывающей фильтрацией

$0=F^{n+1}H^{n}\subset F^{n}H^{n}\subset \dots \subset F^{0}H^{n}=H^{n}$

так что $E_{\infty }^{p,q}=F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}.$С $E_{2}^{p,q}$ равен нулю, если p или q отрицательны, мы имеем:

$0\to E_{\infty }^{0,1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to E_{\infty }^{2,0}\to 0.$

С $E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}$ по той же причине и с тех пор $F^{2}H^{1}=0,$

$0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0$.

С $F^{3}H^{2}=0$, $E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}$. Сложив последовательности вместе, мы получим так называемую пятичленную точную последовательность :

$0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to H^{2}.$

Карты краев и нарушения

последовательности

Позволять $E_{p,q}^{r}$ быть спектральной последовательностью. Если $E_{p,q}^{r}=0$ для каждого q < 0, то должно быть так: для r ≥ 2,

$E_{p,0}^{r+1}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{r}\to E_{p-r,r-1}^{r})$

поскольку знаменатель равен нулю. Следовательно, существует последовательность мономорфизмов:

$E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}$.

Их называют картами ребер. Аналогично, если $E_{p,q}^{r}=0$ для каждого p < 0 существует последовательность эпиморфизмов (также называемых картами ребер):

$E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}$.

Трансгрессия — это частично определенная карта (точнее, карта от подобъекта к фактору )

$\tau :E_{p,0}^{2}\to E_{0,p-1}^{2}$

дано в виде композиции $E_{p,0}^{2}\to E_{p,0}^{p}{\overset {d}{\to }}E_{0,p-1}^{p}\to E_{0,p-1}^{2}$, первая и последняя карты являются инверсиями карт ребер.

Когомологические спектральные последовательности

Для спектральной последовательности $E_{r}^{p,q}$ когомологического типа, имеют место аналогичные утверждения. Если $E_{r}^{p,q}=0$ для любого q < 0 существует последовательность эпиморфизмов

$E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}$.

И если $E_{r}^{p,q}=0$ для любого p < 0 существует последовательность мономорфизмов:

$E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}$.

Нарушение — это не обязательно четко определенная карта:

$\tau :E_{2}^{0,q-1}\to E_{2}^{q,0}$

вызванный $d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}$.

Приложение

Определение этих отображений имеет фундаментальное значение для вычисления многих дифференциалов в спектральной последовательности Серра . Например, карта трансгрессии определяет дифференциал

$d_{n}:E_{n,0}^{n}\to E_{0,n-1}^{n}$

для гомологической спектральной спектральной последовательности, а значит, и для спектральной последовательности Серра для расслоения $F\to E\to B$ дает карту

$d_{n}:H_{n}(B)\to H_{n-1}(F)$.

Дальнейшие примеры

Некоторые известные спектральные последовательности:

Топология и геометрия

• Спектральная последовательность Атьи–Хирцебруха необыкновенной теории когомологий
• Бар-спектральная последовательность гомологий классифицирующего пространства группы.
• Спектральная последовательность Бокштейна, связывающая гомологии с коэффициентами mod p и гомологии, приведенные по mod p .
• Спектральная последовательность Картана–Лере , сходящаяся к гомологиям факторпространства.
• Эйленберга–Мура для сингулярных когомологий обратного образа расслоения Спектральная последовательность
• Спектральная последовательность расслоения Серра

Гомотопическая теория

• Спектральная последовательность Адамса в стабильной теории гомотопий
• Спектральная последовательность Адамса–Новикова , обобщение экстраординарных теорий когомологий .
• Спектральная последовательность Баррата , сходящаяся к гомотопии исходного пространства корасслоения.
• Спектральная последовательность Баусфилда–Кана , сходящаяся к гомотопическому копределу функтора.
• Хроматическая спектральная последовательность для вычисления начальных членов спектральной последовательности Адамса–Новикова .
• Спектральная последовательность Кобара
• Спектральная последовательность ЭДП, сходящаяся к стабильным гомотопическим группам сфер
• Спектральная последовательность Федерера , сходящаяся к гомотопическим группам функционального пространства.
• Гомотопическая спектральная последовательность с фиксированной точкой
• Спектральная последовательность Гуревича для вычисления гомологии пространства по его гомотопии.
• Спектральная последовательность Миллера , сходящаяся к модулю p . стабильным гомологиям пространства по
• Спектральная последовательность Милнора — другое название спектральной последовательности баров .
• Спектральная последовательность Мура — другое название полосовой спектральной последовательности.
• Спектральная последовательность Квиллена для вычисления гомотопии симплициальной группы.
• Спектральная последовательность Ротенберга-Стинрода — другое название полосовой спектральной последовательности.
• Спектральная последовательность Ван Кампена для вычисления гомотопии букета пространств.

Алгебра

• Спектральная последовательность функтора, полученного от Чеха, от когомологий Чеха до пучковых когомологий .
• Замена спектральных последовательностей колец для расчета групп модулей Tor и Ext.
• Спектральные последовательности Конна , сходящиеся к циклическим гомологиям алгебры.
• Спектральная последовательность Герстена – Витта
• Спектральная последовательность Грина для когомологий Кошуля
• Спектральная последовательность Гротендика для составления производных функторов
• Спектральная последовательность гипергомологий для вычисления гипергомологий.
• Спектральная последовательность Кюннета для вычисления гомологии тензорного произведения дифференциальных алгебр.
• Спектральная последовательность Лере , сходящаяся к когомологиям пучка.
• Спектральная последовательность от локального к глобальному Ext
• Спектральная последовательность Линдона–Хохшильда–Серра в групповых (ко)гомологиях
• Спектральная последовательность Мэй для вычисления групп Tor или Ext алгебры.
• Спектральная последовательность дифференциально-фильтрованной группы: описана в этой статье.
• Спектральная последовательность двойного комплекса: описана в этой статье.
• Спектральная последовательность точной пары: описана в этой статье.
• Спектральная последовательность универсальных коэффициентов
• Спектральная последовательность Ван Эста, сходящаяся к относительным когомологиям алгебры Ли.

Комплексная и алгебраическая геометрия

• Спектральная последовательность Арнольда в теории особенностей .
• Спектральная последовательность Блоха–Лихтенбаума , сходящаяся к алгебраической K-теории поля.
• Спектральная последовательность Фрелихера, начинающаяся с когомологий Дольбо и сходящаяся к алгебраическим когомологиям де Рама многообразия.
• Спектральная последовательность Ходжа–де Рама, сходящаяся к алгебраическим когомологиям де Рама многообразия.
• от мотивика к K -теории Спектральная последовательность

Ссылки

Введение

• Фоменко Анатолий; Фукс Дмитрий, Гомотопическая топология.
• Хэтчер, Аллен. «Спектральные последовательности в алгебраической топологии» (PDF) .

Ссылки

• Лере, Жан (1946a), «Кольцо гомологии представления», Les Comptes de l'Académie des Sciences , 222 : 1366–1368.
• Лерэ, Жан (1946b), «Структура гомологического кольца представления», Les Comptes de l'Académie des Sciences , 222 : 1419–1422.
• Кошуль, Жан-Луи (1947). «Об операторах дифференцирования в кольце». Известия Академии наук . 225 : 217–219.
• Мэсси, Уильям С. (1952). «Точные пары в алгебраической топологии. I, II». Анналы математики . Вторая серия. 56 (2). Анналы математики: 363–396. дои : 10.2307/1969805 . JSTOR   1969805 .
• Мэсси, Уильям С. (1953). «Точные пары в алгебраической топологии. III, IV, V». Анналы математики . Вторая серия. 57 (2). Анналы математики: 248–286. дои : 10.2307/1969858 . JSTOR   1969858 .
• Мэй, Дж. Питер . «Букварь по спектральным последовательностям» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 21 июня 2020 г. Проверено 21 июня 2020 г.
• Макклири, Джон (2001). Руководство пользователя по спектральным последовательностям . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 58 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-56759-6 . МР   1793722 .
• Мошер, Роберт; Тангора, Мартин (1968), Когомологические операции и приложения в теории гомотопии , Харпер и Роу, ISBN  978-0-06-044627-7
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .

Дальнейшее чтение

• Чоу, Тимоти Ю. (2006). «Вы могли бы изобрести спектральные последовательности» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 : 15–19.

Внешние ссылки

• «Что такого «спектрального» в спектральных последовательностях?» . MathOverflow .
• «SpectralSequences — пакет для работы с фильтрованными комплексами и спектральными последовательностями» . Маколей2 .