Гипергомология

В гомологической гипергомологии гиперкогомологии или алгебре ( $\mathbb {H} _{*}(-),\mathbb {H} ^{*}(-)$ ) является обобщением функторов (ко)гомологии, которое принимает в качестве входных данных не объекты в абелевой категории. ${\mathcal {A}}$ но вместо этого связывают комплексы объектов, поэтому объекты в ${\text{Ch}}({\mathcal {A}})$ . Это своего рода нечто среднее между производными функторными когомологиями объекта и гомологиями цепного комплекса, поскольку гиперкогомологии соответствуют производным глобальных сечений . функторам $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ .

Гипергомология больше не используется широко: примерно с 1970 года она была в значительной степени заменена примерно эквивалентной концепцией производного функтора между производными категориями .

Мотивация

Одна из причин использования гиперкогомологий связана с тем фактом, что не существует очевидного обобщения когомологических длинных точных последовательностей, связанных с короткими точными последовательностями.

$0\to M'\to M\to M''\to 0$

т.е. существует связанная длинная точная последовательность

$0\to H^{0}(M')\to H^{0}(M)\to H^{0}(M'')\to H^{1}(M')\to \cdots$

Оказывается, гиперкогомология дает методы построения аналогичной когомологически ассоциированной длинной точной последовательности из произвольной длинной точной последовательности.

$0\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots \to M_{k}\to 0$

поскольку его входные данные представляют собой цепные комплексы, а не просто объекты из абелевой категории. Мы можем превратить этот цепной комплекс в выделенный треугольник (используя язык триангулированных категорий на производной категории)

$M_{1}\to [M_{2}\to \cdots \to M_{k-1}]\to M_{k}[-k+3]\xrightarrow {+1}$

который мы обозначаем

${\mathcal {M}}'_{\bullet }\to {\mathcal {M}}_{\bullet }\to {\mathcal {M}}''_{\bullet }\xrightarrow {+1}$

Затем, взяв производные глобальные сечения $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ дает длинную точную последовательность, которая представляет собой длинную точную последовательность групп гиперкогомологий.

Определение

Мы даем определение гиперкогомологии, поскольку оно более распространено. Как обычно, гиперкогомологии и гипергомологии по сути одно и то же: из одной в другую переходят путем дуализации, т. е. путем изменения направления всех стрелок, замены инъективных объектов проективными и т. д.

Предположим, что A — абелева категория с достаточным количеством инъектив , а F другой точный слева функтор абелевой категории B. — Если C комплекс объектов A — ограниченный слева , то гиперкогомологии

ЧАС ^я( С )

числа C (для целого числа i ) равнорассчитывается следующим образом:

Возьмем квазиизоморфизм Φ : C → I , здесь I — комплекс инъективных элементов A .
Гиперкогомологии H ^я( C ) группы C тогда являются когомологиями H ^я( F ( I )) комплекса F ( I ).

Гиперкогомологии C не зависят от выбора квазиизоморфизма с точностью до единственного изоморфизма.

Гиперкогомологии также могут быть определены с использованием производных категорий : гиперкогомологии C это просто когомологии RF ( C ), рассматриваемые как элемент производной категории B. —

Для комплексов, обращающихся в нуль при отрицательных индексах, гиперкогомологии можно определить как производные функторы H ⁰ = ФХ ⁰ = Ч ⁰Ф.

Спектральные последовательности гиперкогомологий

Существуют две спектральные последовательности гиперкогомологий ; один с E ₂ термином

R^{i}F(H^{j}(C))

а другой с E ₁ термином

R^{j}F(C^{i})

и E ₂ член

H^{i}(R^{j}F(C))

оба сходятся к гиперкогомологиям

H^{i+j}(RF(C))

,

где Р ^джF является производным справа F функтором .

Приложения

Одним из применений спектральных последовательностей гиперкогомологий является изучение гербов . Напомним, что векторные расслоения ранга n в пространстве $X$ можно классифицировать как группу когомологий Чеха $H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})$ . Основная идея гербов заключается в когомологическом расширении этой идеи, поэтому вместо того, чтобы брать $H^{1}(X,{\textbf {R}}^{0}F)$ для некоторого функтора $F$ вместо этого мы рассматриваем группу когомологий $H^{1}(X,{\textbf {R}}^{1}F)$ , поэтому он классифицирует объекты, которые склеены объектами исходной классифицирующей группы. Близким предметом, изучающим гербы и гиперкогомологии, является когомология Делиня .

Примеры

Для многообразия X над полем k вторая спектральная последовательность сверху дает спектральную последовательность Ходжа-де Рама для алгебраических когомологий де Рама :
$E_{1}^{p,q}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\Rightarrow \mathbf {H} ^{p+q}(X,\Omega _{X}^{\bullet })=:H_{DR}^{p+q}(X/k)$ .
Другой пример — голоморфный лог-комплекс на комплексном многообразии. ^[1] Пусть X — комплексное алгебраическое многообразие и $j:X\hookrightarrow Y$ хорошая компактификация. Это означает, что Y — компактное алгебраическое многообразие и $D=Y-X$ является делителем на $Y$ с простыми нормальными пересечениями. Естественное включение комплексов пучков
$\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X}^{\bullet }$
оказывается квазиизоморфизмом и индуцирует изоморфизм
$H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ .

См. также

Ссылки

^ Питерс, Крис AM; Стинбринк, Джозеф Х.М. (2008). Смешанные структуры Ходжа . Шпрингер Берлин, Гейдельберг. ISBN 978-3-540-77017-6 .

Х. Картан, С. Эйленберг, Гомологическая алгебра ISBN 0-691-04991-2
В.И. Данилов (2001) [1994], «Функтор гипергомологии» , Энциклопедия Математики , EMS Press
А. Гротендик, О некоторых точках гомологической алгебры Тохоку Матем. Дж. 9 (1957), стр. 119-221

[peters-steenbrink-1] Питерс, Крис AM; Стинбринк, Джозеф Х.М. (2008). Смешанные структуры Ходжа . Шпрингер Берлин, Гейдельберг. ISBN 978-3-540-77017-6 .

[1]