Спектральная последовательность Ходжа – де Рама

В математике спектральная последовательность Ходжа-де Рама (названная в честь WVD Ходжа и Жоржа де Рама ) — альтернативный термин, иногда используемый для описания спектральной последовательности Фрелихера (названной в честь Альфреда Фрелихера , который фактически ее открыл). Эта спектральная последовательность описывает точную связь между когомологиями Дольбо и когомологиями де Рама общего комплексного многообразия . На компактном кэлеровом многообразии последовательность вырождается, что приводит к разложению Ходжа когомологий де Рама .

Описание спектральной последовательности

Спектральная последовательность следующая:

$H^{q}(X,\Omega ^{p})\Rightarrow H^{p+q}(X,\mathbf {C} )$

где X — комплексное многообразие , $H^{p+q}(X,\mathbf {C} )$ — его когомологии с комплексными коэффициентами и левым членом, который является $E_{1}$-страница спектральной последовательности — когомологии со значениями в пучке голоморфных дифференциальных форм .Существование спектральной последовательности, сформулированное выше, следует из леммы Пуанкаре , дающей квазиизоморфизм комплексов пучков

$\mathbf {C} \rightarrow \Omega ^{*}:=[\Omega ^{0}{\stackrel {d}{\to }}\Omega ^{1}{\stackrel {d}{\to }}\cdots \to \Omega ^{\dim X}],$

вместе с обычной спектральной последовательностью, полученной от фильтруемого объекта, в данном случае фильтрацией Ходжа

$F^{p}\Omega ^{*}:=[\cdots \to 0\to \Omega ^{p}\to \Omega ^{p+1}\to \cdots ]$

из $\Omega ^{*}$.

Вырождение

Центральная теорема, связанная с этой спектральной последовательностью, состоит в том, что для компактного кэлерова многообразия X , например проективного многообразия , указанная выше спектральная последовательность вырождается в точке $E_{1}$-страница. В частности, он дает изоморфизм, называемый разложением Ходжа.

$\bigoplus _{p+q=n}H^{p}(X,\Omega ^{q})=H^{n}(X,\mathbf {C} ).$

Вырождение спектральной последовательности можно показать с помощью теории Ходжа . Расширение этого вырождения в относительной ситуации для правильного гладкого отображения. $f:X\to S$, также был показан Делинем.

Чисто алгебраическое доказательство

Для гладких собственных многообразий над полем характеристики 0 спектральную последовательность можно также записать в виде

$H^{q}(X,\Omega ^{p})\Rightarrow H^{p+q}(X,\Omega ^{*}),$

где $\Omega ^{p}$ обозначает пучок алгебраических дифференциальных форм (также известных как дифференциалы Кэлера ) на X , $\Omega ^{*}$ — (алгебраический) комплекс де Рама , состоящий из $\Omega ^{q}$ причем дифференциал является внешней производной . В этом виде все члены спектральной последовательности имеют чисто алгебраическую (в отличие от аналитической) природу. В частности, вопрос о вырождении этой спектральной последовательности имеет смысл для многообразий над полем характеристики p >0.

Делинь и Иллюзи (1987) показали, что для гладкой собственной схемы X над совершенным полем k положительной характеристики p спектральная последовательность вырождается при условии, что dim( X ) < p и X допускает гладкий собственный подъем над кольцом векторов Витта. W ₂ ( k ) длины два (например, для k = F _p это кольцо будет Z / p ² ). Их доказательство использует изоморфизм Картье , который существует только в положительной характеристике. Этот результат вырождения в характеристике p > 0 затем может быть использован для доказательства вырождения спектральной последовательности X над полем характеристики 0.

Некоммутативная версия

Комплекс де Рама, а также когомологии де Рама многообразия допускают обобщения на некоммутативную геометрию. Эта более общая установка изучает категории dg . Категории dg можно сопоставить ее гомологии Хохшильда , а также ее периодические циклические гомологии . Применительно к категории совершенных комплексов на гладком собственном многообразии X эти инварианты возвращают дифференциальные формы соответственно когомологии де Рама X . Концевич и Сойбельман в 2009 году выдвинули гипотезу, что для любой гладкой и правильной dg-категории C над полем характеристики 0 спектральная последовательность Ходжа – де Рама, начинающаяся с гомологий Хохшильда и примыкающая к периодическим циклическим гомологиям, вырождается:

$HH_{*}(C/k)[u^{\pm 1}]\Rightarrow HP_{*}(C/k).$

Эту гипотезу доказали Каледин (2008) и Каледин (2016), адаптировав приведенную выше идею Делиня и Иллюзи к общности гладких и собственных dg-категорий. Мэтью (2020) дал доказательство этого вырождения, используя топологическую гомологию Хохшильда .

См. также

• Спектральная последовательность Фрелихера
• Теория Ходжа
• Якобиан идеал - полезен для вычисления когомологий разложения Ходжа.

Ссылки

• Фрелихер, Альфред (1955), «Отношения между группами когомологий Дольбо и топологическими инвариантами», Proceedings of the National Academy of Sciences , 41 (9): 641–644, doi : 10.1073/pnas.41.9.641 , JSTOR   89147 , МР   0073262 , ПМК   528153 , ПМИД   16589720
• Делинь, Пьер ; Иллюзи, Люк (1987), "Отзывы по модулю p ² и разложение комплекса де Рама», Invent. Math. , 89 (2): 247–270, Bibcode : 1987InMat..89..247D , doi : 10.1007/bf01389078 , S2CID   119635574
• Каледин, Д. (2008), «Некоммутативное вырождение Ходжа-де Рама с помощью метода Делинь-Иллюзи», Pure and Applied Mathematics Quarterly , 4 (3): 785–876, arXiv : math/0611623 , doi : 10.4310/PAMQ.2008.v4.n3.a8 , MR   2435845 , S2CID   16703870
• Каледин, Дмитрий (2016), Спектральные последовательности циклической гомологии , arXiv : 1601.00637 , Bibcode : 2016arXiv160100637K
• Мэтью, Ахил (2020) [arXiv 2017], «Теорема Каледина о вырождении и топологическая гомология Хохшильда», Geometry & Topology , 24 (6): 2675–2708, arXiv : 1710.09045 , Bibcode : 2017arXiv171009045M , doi : 10.2140 /гт.2020.24. 2675 , S2CID   119591893