Изоморфизм Картье

В алгебраической геометрии изоморфизм Картье — некоторый изоморфизм между пучками когомологий комплекса де Рама гладкого алгебраического многообразия над полем и положительной характеристики пучками дифференциальных форм на скрутке Фробениуса многообразия. Он назван в честь Пьера Картье . Интуитивно это показывает, что когомологии де Рама в положительной характеристике представляют собой гораздо более крупный объект, чем можно было бы ожидать. Он играет важную роль в подходе Делиня и Иллюзи к вырождению спектральной последовательности Ходжа–де Рама .

Заявление

Пусть k — поле характеристики p > 0 и пусть ${\textstyle f:X\to S}$ — морфизм k -схем . Позволять $X^{(p)}=X\times _{S,\varphi }S$ обозначим поворот Фробениуса и пусть $F:X\to X^{(p)}$ быть родственником Фробениусом . определяется Отображение Картье как уникальный морфизм $$C^{-1}:\bigoplus _{i\geq 0}\Omega _{X^{(p)}/S}^{i}\to \bigoplus _{i\geq 0}{\mathcal {H}}^{i}(F_{*}\Omega _{X/S}^{\bullet })$$оцененных ${\textstyle {\mathcal {O}}_{X^{(p)}}}$-алгебры такие, что $C^{-1}(d(x\otimes 1))=[x^{p-1}dx]$ для любого локального x раздела ${\mathcal {O}}_{X}$. (Здесь для того, чтобы отображение Картье было корректно определено в общем случае, важно, чтобы в качестве кообласти были взяты пучки когомологий.) Изоморфизм Картье — это тогда утверждение, что отображение $C^{-1}$ является изоморфизмом, если $f$ является гладким морфизмом.

Выше мы сформулировали изоморфизм Картье в той форме, в которой он наиболее часто встречается (например, в статье Каца 1970 года ). В своей оригинальной статье Картье фактически рассматривал обратное отображение в более ограничительных условиях, откуда и появилось обозначение $C^{-1}$ для карты Картье.

Предположение о гладкости не является существенным для того, чтобы отображение Картье было изоморфизмом. Например, это справедливо для инд-гладких морфизмов, поскольку обе стороны карты Картье коммутируют с отфильтрованными копределами . По Попеску тогда существует изоморфизм Картье для регулярного морфизма нётеровых теореме k -схем. Офер Габбер также доказал изоморфизм Картье для колец нормирования . В другом направлении можно полностью отказаться от таких предположений, если вместо этого работать с производными когомологиями де Рама (теперь с учетом соответствующей градуировки сопряженной фильтрации) и внешними степенями котангенс -комплекса .