кольцо

В коммутативной алгебре или G-кольцо кольцо Гротендика — это нётерово кольцо такое, что отображение любого из его локальных колец в пополнение является регулярным (определено ниже). Почти все нётеровы кольца, которые естественным образом встречаются в алгебраической геометрии или теории чисел, являются G-кольцами, и довольно сложно построить примеры нётеровых колец, которые не являются G-кольцами. Концепция названа в честь Александра Гротендика .

Кольцо, которое одновременно является G-кольцом и J-2-кольцом, называется квазиотличным кольцом , а если оно, кроме того, универсально цепным, то оно называется превосходным кольцом .

Определения

(Нётерово) кольцо R, содержащее поле k, называется геометрически регулярным над k, если для любого конечного расширения K поля k кольцо R ⊗ _k K является регулярным кольцом .
Гомоморфизм , колец из в S называется регулярным если он плоский и для каждого p ∈ Spec( R ) слой S ⊗ _Rk R ( p ) геометрически регулярен над полем вычетов k ( p ) кольца p . (см. также теорему Попеску .)
Кольцо называется локальным G-кольцом, если оно нётерово локальное кольцо и отображение его пополнения (относительно максимального идеала ) регулярно.
Кольцо называется G-кольцом, если оно нётерово и все его локализации в простых идеалах являются локальными G-кольцами. (Достаточно проверить это только для максимальных идеалов, так что в частности локальные G-кольца являются G-кольцами.)

Примеры

Каждое поле представляет собой G-кольцо
Каждое полное нётерово локальное кольцо является G-кольцом.
Каждое кольцо сходящихся степенных рядов от конечного числа переменных над R или C является G-кольцом.
Всякая дедекиндова область в характеристике 0, и в частности кольцо целых чисел , является G-кольцом, но в положительной характеристике существуют дедекиндовы области (и даже кольца дискретного нормирования ), которые не являются G-кольцами.
Любая локализация G-кольца является G-кольцом.
Любая конечно порожденная алгебра над G-кольцом является G-кольцом. Это теорема Гротендика.

Вот пример кольца дискретного нормирования A характеристики p > 0, которое не является G-кольцом. Если k — любое поле характеристики p с [ k : k ^п] = ∞ и R = k [[ x ]] и A — подкольцо степенного ряда Σ a _i x ^я такой, что [ к ^п( а ₀ , а ₁ ,...) : k ^п] конечен, то формальный слой A над точкой общего положения не является геометрически регулярным, поэтому A не является G-кольцом. Здесь к ^п обозначает образ k при морфизме Фробениуса a → a ^п.

Ссылки

А. Гротендик, Ж. Дьедонне, Элементы алгебраической геометрии IV . Опубл. Математика. IHÉS 24 (1965), раздел 7
Х. Мацумура, Коммутативная алгебра ISBN 0-8053-7026-9 , глава 13.

Эта коммутативной алгебре статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .