Топологическая гомология Хохшильда

В математике топологическая гомология Хохшильда представляет собой топологическое уточнение гомологии Хохшильда , которое устраняет некоторые технические проблемы с вычислениями в характеристиках. $p$ . Например, если мы рассмотрим $\mathbb {Z}$ -алгебра $\mathbb {F} _{p}$ затем

$HH_{k}(\mathbb {F} _{p}/\mathbb {Z} )\cong {\begin{cases}\mathbb {F} _{p}&k{\text{ even}}\\0&k{\text{ odd}}\end{cases}}$

но если мы рассмотрим кольцевую структуру на

${\begin{aligned}HH_{*}(\mathbb {F} _{p}/\mathbb {Z} )&=\mathbb {F} _{p}\langle u\rangle \\&=\mathbb {F} _{p}[u,u^{2}/2!,u^{3}/3!,\ldots ]\end{aligned}}$

(как структура разделенной степенной алгебры ), то возникает серьезная техническая проблема: если мы установим $u\in HH_{2}(\mathbb {F} _{p}/\mathbb {Z} )$ , так $u^{2}\in HH_{4}(\mathbb {F} _{p}/\mathbb {Z} )$ и так далее, у нас есть $u^{p}=0$ из резолюции $\mathbb {F} _{p}$ как алгебра над $\mathbb {F} _{p}\otimes ^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}$ , ^[1] т.е.

$HH_{k}(\mathbb {F} _{p}/\mathbb {Z} )=H_{k}(\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {F} _{p}\otimes ^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}\mathbb {F} _{p})$

Этот расчет более подробно описан на странице гомологий Хохшильда , но ключевым моментом является патологическое поведение кольцевой структуры на гомологиях Хохшильда. $\mathbb {F} _{p}$ . Напротив, кольцо топологических гомологий Хохшильда имеет изоморфизм

$THH_{*}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}[u]$

давая менее патологическую теорию. Более того, этот расчет лежит в основе многих других вычислений THH, например, для гладких алгебр. $A/\mathbb {F} _{p}$

Строительство

Напомним, что спектр Эйленберга – Маклейна может быть вложен в кольцевые объекты в производную категорию целых чисел. $D(\mathbb {Z} )$ в кольцевой спектр над кольцевым спектром стабильной гомотопической группы сфер . Это позволяет взять коммутативное кольцо $A$ и построить комплекс, аналогичный комплексу Хохшильда, используя моноидальное произведение в кольцевых спектрах, а именно: $\wedge _{\mathbb {S} }$ формально действует как производное тензорное произведение $\otimes ^{\mathbf {L} }$ над целыми числами. Определим топологический комплекс Хохшильда $A$ (которая может быть коммутативной дифференциальной градуированной алгеброй или просто коммутативной алгеброй) как симплициальный комплекс, ^[2] ^{стр. 33-34} называется Барский комплекс

$\cdots \to HA\wedge _{\mathbb {S} }HA\wedge _{\mathbb {S} }HA\to HA\wedge _{\mathbb {S} }HA\to HA$

спектров (обратите внимание, что стрелки неверны из-за форматирования Википедии...). Поскольку симплициальные объекты в спектрах имеют реализацию в виде спектра, мы формируем спектр

$THH(A)\in {\text{Spectra}}$

который имеет гомотопические группы $\pi _{i}(THH(A))$ определение топологической гомологии Хохшильда кольцевого объекта $A$ .

См. также

^ Хессельхольт, Ларс; Николаус, Томас. «Лекции по топологической гомологии Хохшильда и циклотомным спектрам» .
^ Морроу, Мэтью. «Топологические гомологии Хохшильда в арифметической геометрии» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 24 декабря 2020 г.

[1] Хессельхольт, Ларс; Николаус, Томас. «Лекции по топологической гомологии Хохшильда и циклотомным спектрам» .

[2] Морроу, Мэтью. «Топологические гомологии Хохшильда в арифметической геометрии» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 24 декабря 2020 г.

[1]

[2]