Пятичленная точная последовательность

В математике точная последовательность из пяти членов или точная последовательность членов низкой степени — это последовательность членов, относящаяся к первому шагу спектральной последовательности .

Точнее, пусть

E_{2}^{p,q}\Rightarrow H^{n}(A)

быть спектральной последовательностью первого квадранта, что означает, что $E_{2}^{p,q}$ исчезает, за исключением случаев, когда p и q оба неотрицательны. Тогда существует точная последовательность

→ Е2 ₀^1,0 → Ч ¹( А ) → Е ₂^0,1 → _Е2^2,0 → Ч ²( А ).

Вот, карта $E_{2}^{0,1}\to E_{2}^{2,0}$ является дифференциалом $E_{2}$ -член спектральной последовательности.

Пример

инфляции Точная последовательность ограничения

0 → Ч ¹( Г / Н , А ^Н) → Ч ¹( г , А ) → ЧАС ¹( Н , А ) ^{Г / Н} → Ч ²( Г / Н , А ^Н) → H ²( Г , А )

в групповых когомологиях возникает как пятичленная точная последовательность, связанная со спектральной последовательностью Линдона – Хохшильда – Серра.

ЧАС ^п( Г / Н , Ч ^д( Н , А )) ⇒ ЧАС ^р+q( Г, А )

где G — проконечная группа , N — замкнутая нормальная подгруппа , А — дискретный G -модуль .

Строительство

Последовательность является следствием определения сходимости спектральной последовательности. Дифференциал второй страницы с кодоменом E ₂^1,0 происходит от E ₂^−1,1, который по предположению равен нулю. Дифференциал с областью определения E ₂^1,0 имеет кодомен E ₂^3,−1, который по предположению также равен нулю. и исходящие дифференциалы Er _{Аналогично входящие}^1,0 равны нулю для всех $r \geq 2$ . Следовательно, член (1,0) спектральной последовательности сошелся, а это означает, что он изоморфен до первой степени градуированного куска упора H ¹( А ). Поскольку спектральная последовательность находится в первом квадранте, градуированный фрагмент первой степени равен первой подгруппе в фильтрации, определяющей градуированные фрагменты. Включение этой подгруппы дает инъекцию E ₂^1,0 → Ч ¹( A ), который начинает точную последовательность из пяти членов. Эта инъекция называется картой ребер .

Е ₂^0,1 член спектральной последовательности не сошёлся. Он имеет потенциально нетривиальный дифференциал, приводящий к E ₂^2,0. Однако дифференциальная посадка на E ₂^0,1 начинается с Е ₂^−2,2, которое равно нулю, и, следовательно, E ₃^0,1 является ядром дифференциала E ₂^0,1 → _Е2^2,0. На третьей странице член (0, 1) спектральной последовательности сошёлся, потому что все дифференциалы в и Er _из^0,1 либо начинаются, либо заканчиваются за пределами первого квадранта, когда $r \geq 3$ . Следовательно, E ₃^0,1 - это кусок H с нулевой степенью градуировки ¹( А ). Эта градуированная часть представляет собой частное H ¹( A ) по первой подгруппе фильтрации и, следовательно, является коядром отображения ребер из E ₂^1,0. Это дает короткую точную последовательность

→ Е2 ₀^1,0 → Ч ¹( А ) → Е ₃^0,1 → 0.

Потому что Е ₃^0,1 является ядром дифференциала E ₂^0,1 → _Е2^2,0, последний член короткой точной последовательности можно заменить дифференциалом. Это дает точную последовательность из четырех членов. Карта Н ¹( А ) → Е ₂^0,1 также называется картой ребер.

Выходной дифференциал Е ₂^2,0 равно нулю, поэтому E ₃^2,0 – коядро дифференциала E ₂^0,1 → _Е2^2,0. Входящий и исходящий дифференциалы E _r^2,0 равны нулю, если $r \geq 3$ , опять же потому, что спектральная последовательность лежит в первом квадранте и, следовательно, спектральная последовательность сошлась. Следовательно, E ₃^2,0 изоморфен градуированному куску второй степени H ²( А ). В частности, это подгруппа H ²( А ). Композит Е ₂^2,0 → Е ₃^2,0 → Ч ²( A ), которая является еще одной картой ребер, поэтому имеет ядро, равное дифференциальной посадке в E ₂^2,0. На этом построение последовательности завершено.

Вариации

Точную последовательность из пяти членов можно расширить за счет того, что один из членов станет менее явным. Точная последовательность из семи членов :

→ Е2 ₀^1,0 → Ч ¹( А ) → Е ₂^0,1 → _Е2^2,0 → Кер( H ²( А ) → Е ₂^0,2) Е2 _→^1,1 → _Е2^3,0.

Эта последовательность не продолжается непосредственно с отображением на H ³( А ). Пока существует карта ребер E ₂^3,0 → Ч ³( A ), его ядро не является предыдущим членом семичленной точной последовательности.

Для спектральных последовательностей, первой интересной страницей которых является E ₁ , существует точная последовательность из трех членов, аналогичная точной последовательности из пяти членов:

0\to H^{0}(A)\to E_{1}^{0,0}\to E_{1}^{0,1}.

Аналогично для гомологической спектральной последовательности $E_{p,q}^{2}\Rightarrow H_{n}(A)$ мы получаем точную последовательность:

H_{2}(A)\to E_{2,0}^{2}\xrightarrow {d_{2}} E_{0,1}^{2}\to H_{1}(A)\to E_{1,0}^{2}\to 0

Как в гомологическом, так и в когомологическом случае существуют также точные последовательности низкой степени для спектральных последовательностей в третьем квадранте. Когда известно, что дополнительные члены спектральной последовательности исчезают, точные последовательности иногда можно расширить дальше. Например, длинную точную последовательность таким способом можно получить , связанную с короткой точной последовательностью комплексов.

Ссылки

Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Основы математических наук , том. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4 , МР 1737196 , Збл 0948.11001
Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4 . МР 1269324 . OCLC 36131259 .