Гомоморфизм модулей

В алгебре гомоморфизм модулей — это функция между модулями , которая сохраняет структуру модуля. Явно, если M и N — левые модули над кольцом R , то функция $f:M\to N$ называется R - модульным гомоморфизмом или R - линейным отображением если для любых x , y в M и r в R ,

$f(x+y)=f(x)+f(y),$

$f(rx)=rf(x).$

Другими словами, f — групповой гомоморфизм (для основных аддитивных групп), который коммутирует со скалярным умножением. Если M , N — правые R -модули, то второе условие заменяется на

$f(xr)=f(x)r.$

Прообраз под нулевого f называется ядром f . элемента Множество до всех гомоморфизмов модулей от обозначается N M через $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$. Это абелева группа (при поточечном сложении), но она не обязательно является модулем, если только R не коммутативен .

Композиция . гомоморфизмов модулей снова является гомоморфизмом модулей, а тождественное отображение модуля является гомоморфизмом модулей Таким образом, все модули (скажем, левые) вместе со всеми гомоморфизмами модулей между ними образуют категорию модулей .

Терминология

Гомоморфизм модулей называется изоморфизмом модулей, если он допускает обратный гомоморфизм; в частности, это биекция . И наоборот, можно показать, что гомоморфизм биективного модуля является изоморфизмом; т. е. обратный является гомоморфизмом модулей. В частности, гомоморфизм модулей является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является изоморфизмом между лежащими в основе абелевыми группами.

Теоремы об изоморфизме справедливы для гомоморфизмов модулей.

Гомоморфизм модулей модуля М в себя называется эндоморфизмом , а изоморфизм модуля М в себя — автоморфизмом . Один пишет $\operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)$ для множества всех эндоморфизмов модуля M . Это не только абелева группа, но также кольцо с умножением, заданным композицией функций, называемое эндоморфизмов M кольцом . Группа единиц этого кольца является автоморфизмов M группой .

Лемма Шура гласит, что гомоморфизм между простыми модулями (модулями без нетривиальных подмодулей ) должен быть либо нулем, либо изоморфизмом. В частности, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом .

На языке теории категорий инъективный гомоморфизм называется также мономорфизмом , а сюръективный гомоморфизм — эпиморфизмом .

Примеры

• Нулевая карта M → N , которая отображает каждый элемент в ноль.
• Линейное преобразование между векторными пространствами .
• $\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)$.
• Для коммутативного кольца R и идеалов I , J существует каноническое отождествление

  $\operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J$

данный $f\mapsto f(1)$. В частности, $\operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)$ является аннигилятором Я. ​ ​

• Даны кольцо R и элемент r . Пусть $l_{r}:R\to R$ обозначим левое умножение на r . Тогда для любых s , t в R ,

  $l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t$.

То есть, $l_{r}$ право - R линейна.

• Для любого R кольца
  • $\operatorname {End} _{R}(R)=R$ как кольца, когда R рассматривается как правый модуль над собой. Явно этот изоморфизм задается левым регулярным представлением $R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}$.
  • Сходным образом, $\operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}$ как кольца, когда R рассматривается как левый модуль над собой. В учебниках или других справочниках обычно указывается, какое соглашение используется.
  • $\operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M$ через $f\mapsto f(1)$ для любого левого модуля M . (Структура модуля в Hom здесь происходит от правого R -действия над R ; см. #Структуры модуля в Hom ниже.)
  • $\operatorname {Hom} _{R}(M,R)$ называется двойственным модулем к M ; это левый (соответственно правый) модуль, если M — правый (соответственно левый) модуль над R со структурой модуля, полученной в результате R -действия на R . Это обозначается $M^{*}$.
• Учитывая кольцевой гомоморфизм R → S коммутативных колец и S -модуль M , R -линейное отображение θ: S → M называется дифференцированием , если для любых f , g в S f θ( fg ) = θ ( g ) + θ( ж ) г .
• Если S , T — ассоциативные алгебры с единицей над кольцом R , то гомоморфизм алгебры из S в T — это кольцевой гомоморфизм , который также является гомоморфизмом R -модуля.

Структуры модулей на Hom

Короче говоря, Hom наследует кольцевое действие, которое не было использовано для формирования Hom. Точнее, пусть M , N — левые R -модули. Предположим, что M имеет правое действие кольца S , коммутирующее с R -действием; т. е. M является ( R , S )-модулем. Затем

$\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$

имеет структуру левого S -модуля, определяемую: для s в S и x в M ,

$(s\cdot f)(x)=f(xs).$

Оно четко определено (т. $s\cdot f$ является R -линейным), так как

$(s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),$

и $s\cdot f$ является кольцевым действием, поскольку

$(st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)$.

Примечание: приведенная выше проверка не удалась бы, если бы -действия использовалось левое R- вместо правого S действие . В этом смысле часто говорят, что Хом «израсходовал» R -действие.

Аналогично, если M — левый R -модуль, а N — ( R , S )-модуль, то $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ является правым S -модулем по $(f\cdot s)(x)=f(x)s$.

Матричное представление

Связь между матрицами и линейными преобразованиями в линейной алгебре естественным образом обобщается на гомоморфизмы модулей между свободными модулями. А именно, для правого R -модуля U существует канонический изоморфизм абелевых групп

$\operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))$

получено при просмотре $U^{\oplus n}$ состоящий из векторов-столбцов, а затем записывающий f как матрицу размера m × n . В частности, рассматривая R как правый R -модуль и используя $\operatorname {End} _{R}(R)\simeq R$, у одного есть

$\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)$,

который оказывается кольцевым изоморфизмом (поскольку композиция соответствует умножению матриц ).

Обратите внимание, что приведенный выше изоморфизм является каноническим; никакого выбора не происходит. С другой стороны, если задан гомоморфизм модулей между свободными модулями конечного ранга , то выбор упорядоченного базиса соответствует выбору изоморфизма $F\simeq R^{n}$. Затем описанная выше процедура дает матричное представление относительно такого выбора оснований. Для более общих модулей матричные представления могут либо не иметь уникальности, либо вообще не существовать.

Определение

На практике гомоморфизм модулей часто определяют путем указания его значений в порождающем наборе . Точнее, пусть M и N — левые R -модули. Предположим, подмножество S порождает M ; то есть имеется сюръекция $F\to M$ со свободным модулем F с базисом, индексированным S , и ядром K (т. е. имеется свободное представление ). Тогда, чтобы задать гомоморфизм модулей $M\to N$ состоит в том, чтобы задать гомоморфизм модулей $F\to N$ который убивает K (т.е. отображает K в ноль).

Операции

Если $f:M\to N$ и $g:M'\to N'$ являются гомоморфизмами модулей, то их прямая сумма равна

$f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))$

и их тензорное произведение

$f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).$

Позволять $f:M\to N$ — модульный гомоморфизм между левыми модулями. Граф заданным Γ _f функции f является подмодулем M ⊕ N, формулой

$\Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}$,

который является образом гомоморфизма модуля M → M ⊕ N , x → ( x , f ( x )), называемого морфизмом графа .

Транспонирование ​ f ​ ​

$f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.$

Если f транспонирование обратного f называется контрагредиентом f является изоморфизмом, то .

Точные последовательности

Рассмотрим последовательность гомоморфизмов модулей

$\cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .$

Такая последовательность называется цепным комплексом (или часто просто комплексом), если каждая композиция равна нулю; то есть, $f_{i}\circ f_{i+1}=0$ или, что то же самое, изображение $f_{i+1}$ содержится в ядре $f_{i}$. (Если числа увеличиваются, а не уменьшаются, то он называется коцепным комплексом; например, комплексом де Рама .) Цепной комплекс называется точной последовательностью, если $\operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})$. Частным случаем точной последовательности является короткая точная последовательность:

$0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0$

где $f$ инъективен, ядро $g$ это образ $f$ и $g$ является сюръективным.

Любой гомоморфизм модулей $f:M\to N$ определяет точную последовательность

$0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,$

где $K$ является ядром $f$, и $C$ это коядро, то есть частное $N$ по образу $f$.

В случае модулей над коммутативным кольцом последовательность точна тогда и только тогда, когда она точна во всех максимальных идеалах ; это все последовательности

$0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0$

точны, где индекс ${\mathfrak {m}}$ означает локализацию в максимальном идеале ${\mathfrak {m}}$.

Если $f:M\to B,g:N\to B$ являются гомоморфизмами модулей, то говорят, что они образуют расслоенный квадрат (или квадрат обратного образа ), обозначаемый M × _B N , если он вписывается в

$0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0$

где $\phi (x,y)=f(x)-g(x)$.

Пример: Пусть $B\subset A$ — коммутативные кольца, и пусть I — аннулятор фактор A -модуля / B ( который является идеалом A ). Тогда канонические отображения $A\to A/I,B/I\to A/I$ сформировать волоконный квадрат с $B=A\times _{A/I}B/I.$

Эндоморфизмы конечно порожденных модулей

Позволять $\phi :M\to M$ — эндоморфизм конечно порожденных R -модулей коммутативного кольца R . Затем

• $\phi$ убивается своим характеристическим полиномом относительно генераторов M ; см. лемму Накаямы#Доказательство .
• Если $\phi$ сюръективно, то оно инъективно.

См. также: Фактор Эрбрана (который можно определить для любого эндоморфизма с некоторыми условиями конечности.)

Вариант: аддитивные отношения

См. также: бинарное отношение

Аддитивное отношение $M\to N$ из модуля M в модуль N является подмодулем $M\oplus N.$ Другими словами, это « многозначный » гомоморфизм, определенный на некотором подмодуле M . Обратное $f^{-1}$ модуля f является подмодулем $\{(y,x)|(x,y)\in f\}$. Любое аддитивное отношение f определяет гомоморфизм подмодуля M в фактор N

$D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}$

где $D(f)$ состоит из всех элементов x в M таких, что ( , y ) принадлежит f для некоторого y из N. x

Трансгрессия , возникающая из спектральной последовательности , является примером аддитивного отношения.

См. также

• Отображающий конус (гомологическая алгебра)
• Смит, нормальная форма
• Цепной комплекс
• Сопряжение

Ссылки

• Бурбаки, «Глава II», Алгебра.
• С. Маклейн, Гомология
• Мацумура, Х., Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8, Перевод с японского М. Рида (второе изд.)